(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Biodiversity Heritage Library | Children's Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes"

Google 



This is a digital copy of a book thaï was prcscrvod for générations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project 

to make the world's bocks discoverablc online. 

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject 

to copyright or whose légal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books 

are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover. 

Marks, notations and other maiginalia présent in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journcy from the 

publisher to a library and finally to you. 

Usage guidelines 

Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the 
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we hâve taken steps to 
prcvcnt abuse by commercial parties, including placing lechnical restrictions on automated querying. 
We also ask that you: 

+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use thèse files for 
Personal, non-commercial purposes. 

+ Refrain fivm automated querying Do nol send automated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machine 
translation, optical character récognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encourage the 
use of public domain materials for thèse purposes and may be able to help. 

+ Maintain attributionTht GoogX'S "watermark" you see on each file is essential for informingpcoplcabout this project and helping them find 
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. 

+ Keep it légal Whatever your use, remember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is légal. Do not assume that just 
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other 
countiies. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any spécifie use of 
any spécifie book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner 
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe. 

About Google Book Search 

Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps rcaders 
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full icxi of ihis book on the web 

at |http: //books. google .com/l 



Google 



A propos de ce livre 

Ceci est une copie numérique d'un ouvrage conservé depuis des générations dans les rayonnages d'une bibliothèque avant d'être numérisé avec 

précaution par Google dans le cadre d'un projet visant à permettre aux internautes de découvrir l'ensemble du patrimoine littéraire mondial en 

ligne. 

Ce livre étant relativement ancien, il n'est plus protégé par la loi sur les droits d'auteur et appartient à présent au domaine public. L'expression 

"appartenir au domaine public" signifie que le livre en question n'a jamais été soumis aux droits d'auteur ou que ses droits légaux sont arrivés à 

expiration. Les conditions requises pour qu'un livre tombe dans le domaine public peuvent varier d'un pays à l'autre. Les livres libres de droit sont 

autant de liens avec le passé. Ils sont les témoins de la richesse de notre histoire, de notre patrimoine culturel et de la connaissance humaine et sont 

trop souvent difficilement accessibles au public. 

Les notes de bas de page et autres annotations en maige du texte présentes dans le volume original sont reprises dans ce fichier, comme un souvenir 

du long chemin parcouru par l'ouvrage depuis la maison d'édition en passant par la bibliothèque pour finalement se retrouver entre vos mains. 

Consignes d'utilisation 

Google est fier de travailler en partenariat avec des bibliothèques à la numérisation des ouvrages apparienani au domaine public et de les rendre 
ainsi accessibles à tous. Ces livres sont en effet la propriété de tous et de toutes et nous sommes tout simplement les gardiens de ce patrimoine. 
Il s'agit toutefois d'un projet coûteux. Par conséquent et en vue de poursuivre la diffusion de ces ressources inépuisables, nous avons pris les 
dispositions nécessaires afin de prévenir les éventuels abus auxquels pourraient se livrer des sites marchands tiers, notamment en instaurant des 
contraintes techniques relatives aux requêtes automatisées. 
Nous vous demandons également de: 

+ Ne pas utiliser les fichiers à des fins commerciales Nous avons conçu le programme Google Recherche de Livres à l'usage des particuliers. 
Nous vous demandons donc d'utiliser uniquement ces fichiers à des fins personnelles. Ils ne sauraient en effet être employés dans un 
quelconque but commercial. 

+ Ne pas procéder à des requêtes automatisées N'envoyez aucune requête automatisée quelle qu'elle soit au système Google. Si vous effectuez 
des recherches concernant les logiciels de traduction, la reconnaissance optique de caractères ou tout autre domaine nécessitant de disposer 
d'importantes quantités de texte, n'hésitez pas à nous contacter Nous encourageons pour la réalisation de ce type de travaux l'utilisation des 
ouvrages et documents appartenant au domaine public et serions heureux de vous être utile. 

+ Ne pas supprimer l'attribution Le filigrane Google contenu dans chaque fichier est indispensable pour informer les internautes de notre projet 
et leur permettre d'accéder à davantage de documents par l'intermédiaire du Programme Google Recherche de Livres. Ne le supprimez en 
aucun cas. 

+ Rester dans la légalité Quelle que soit l'utilisation que vous comptez faire des fichiers, n'oubliez pas qu'il est de votre responsabilité de 
veiller à respecter la loi. Si un ouvrage appartient au domaine public américain, n'en déduisez pas pour autant qu'il en va de même dans 
les autres pays. La durée légale des droits d'auteur d'un livre varie d'un pays à l'autre. Nous ne sommes donc pas en mesure de répertorier 
les ouvrages dont l'utilisation est autorisée et ceux dont elle ne l'est pas. Ne croyez pas que le simple fait d'afficher un livre sur Google 
Recherche de Livres signifie que celui-ci peut être utilisé de quelque façon que ce soit dans le monde entier. La condamnation à laquelle vous 
vous exposeriez en cas de violation des droits d'auteur peut être sévère. 

A propos du service Google Recherche de Livres 

En favorisant la recherche et l'accès à un nombre croissant de livres disponibles dans de nombreuses langues, dont le français, Google souhaite 
contribuer à promouvoir la diversité culturelle grâce à Google Recherche de Livres. En effet, le Programme Google Recherche de Livres permet 
aux internautes de découvrir le patrimoine littéraire mondial, tout en aidant les auteurs et les éditeurs à élargir leur public. Vous pouvez effectuer 
des recherches en ligne dans le texte intégral de cet ouvrage à l'adresse fhttp: //book s .google . coïrïl 



"-Jp^T'T ^ 






•4 






C3W 




/ 



/' 



NOUVELLES METHODES 



POUR LA DETERMINATION 



DES 



ORBITES DES COMETES; 



PAR A. M. LEGENDRE, 

Membre de l'Institut et de la Légion d'honneur , de la Société 

royale de Londres , &c. 



1 > i i ! ' ; . "■~-^ 



. ' - * 



.-\ 







m 



• - 



A PARIS, 

Chez FiRMiM DIDOT, Libraire pour les Mathématiques , la Marine , 
TArchitecture , et les Éditions stéréotypes , rue de Thion ville, n° 116. 



AN XIII 



8o5. 



!■ ■■ 



• • • 



- • •• • • • • t • ... 

•••••• • • • - • 

* • • 

• • •ml • • • 2 * 
• • ••? • • 



:•: 



• • 






NOUVELLES MÉTHODES 

POUR LA DÉTERMINATION 

DES ORBITES DES COMÈTES. 



XjE problème dont je m'occuperai dans ce Mémoire, consiste à 
délerminer l'orbite d'une comète d'après trois observations don- 
nées de sa longitude et de sa latitude. Depuis Newton , qui le 
premier a donné pour sa solution des constructions géométriques 
fort ingénieuses , ce problème a fait successiyement l'objet des 
recherches d'un grand nombre de géomètres. 

Parmi ceux qui l'ont traité avec le plus de succès, on doit 
distinguer particulièrement Lambert , qui a donné de très-beaux 
théorèmes sur le mouvement des planètes et des comètes dans 
son ouvrage intitulé : Insigniores orbltœ cometarum prcprietates, 
et dans les Mémoires de TAcadémie de Berlin , année 1771. 

Dans ce même recueil , année 1778 , La Grange a discuté les 
principales méthodes connues jusqu'alors, et après avoir fait 
connoilre les causes de leur imperfection , il a donné l'analyse 
complète du problème^ fondée sur une belle théorie à laquelle 
il a ajouté ensuite de nouveaux développemens dans le volume 
de 1783. Celte méthode n'auroit sans doute rien laissé à ApeÀrcxi : 
si son illustre auteur en eût fait l'application à des exeîft'^îes'-, \ 
ce qui l'auroit conduit lui-même à y apporter les modificatiûni^ T: 
nécessaires pour en rendre l'usage facile dans la pratique. . ' -f .: 

La Place, dans les Mémoires de l'Académie deè Sciences^ 
Paris , année 1780 , a proposé une autre méthode qui revient à 
supposer connue une portion infiniment petite de la trajectoire 
apparente de la comète , et à conclure de cette portion la gran- 
deur et la position de la trajectoire vraie. Par la supposition 
des quantités infiniment petites, les formules se simplifient et 
conduisent à une solution peu compliquée; mais la difficulté est 



de dëlerimi>if'ir«M^ipi4oUfoftlëâ'ëbëfl pte- 

mikttiiûâ^^hconà ordre , tant de la longitude que de la latitude. 
Il semble , au premier coup-d'œil , qu'en liant ensemble plu» 
sieurs observations par la méthode des interpolations j on en 
déduira les coëfficiens dont il s'agit avec d'autant plus d'exac- 
iiUêétfiqoMy a plus d'observations combinées ; et cela auroit 
lieu en effet, si les observations étoient exemptes d'erreur , .ou 
si les lieux de la comète étoient calculés d'après une formule 
ciiff9fi\(^li m^W il en est autrement dans l'état réel des choses. 
Çqiihiiq flwites les observations sont affectées de quelqu'erreur , 
<i$4](iQ.Qi^}^e «erreur ne suit aucune loi d'une observation à l'autre^ 
iis'^ntttilqueplus on combinera d'observations, et plus Terreur 
des coëfficiens différentiels qui Xn sont déduits pourra devenk* 



' i * . ; ' ' • I 



/''..■■ ■ 



kn^Sb%4*onÈiiérén% trais obsei^Vations de ]ùn^iûdtd^\a''j^, 
fy\\9^è'.d^}irAgifralh» do iemp9 que pour plus Ût SithpV^ité' 
t¥H|Bj#i:ip|K^arrotisK égaux à IHiDtté. Ces totigittidès réponidroht 
a^j( lejupif^iV^y'^f iV^t lalon^tode ponrikn temps qoet^î 
conque t compris entre' -^ i et + i ^ auM''{)dttr elpi^éssion' 



«.tm a• + r(«'^•^<^)^+^ («>''— ^<»^^ ' 



. f ■■> 



I 



d'où l'on dédaitiles ooëfficier» différentiels /./v U h^^ à' > ^T^ 



— = a"' T- a,<+ a'. 



ji*:;«-*»t '■•' ' : 'dcb^ 



• • •_ ^ . . • . _ . --■... ftrtm ■ •■ 1 ■ . • • , » » • ■ 






• • 



•/•.*;/: ;•;..• Considérons onsuite les cinq lohgitùdês à^ ct^ ofyà*\ a"', qui 
• • •••• ••^•Cwipbndentpapeti1«le»t«ljciempi -i^i; "^K^i +V,' +V> ^s- 

pectivement; on en déduira la longitude àubôu^^du^emps/^ 
*:^a''-4-A*4-B«^*f^<3^*+ &c.,<rtirônaura ' * ' 



•;-,''r 



. dt 

êdx ■ ■-■■' •'■'■ ■''■•■ •■■•■ ■■■'■•"•' '■■• (*> 



'^^P'^.W^.i («"Wa?''+a') --'T. (a-'-aA^^.*»). 



T r. 



• : • 1 , ■ • . - ' . ■ • . ♦ \ » ■ f '■'.'• • . f I 



alors ^ suivant les éqoatioiis (à) , les erreurs des coëffiokkit^âiffâ^ 
rentiels^ dues à cette cause , seront *" 

de dt* . :j\ ^ :l^•::•>^ 

Mais par les équations ( 6} les erreurs de ees cbëfficietttseroîttltf 

dx i ddx '"H** ff.t'jrvl 

^dl ~ J ' dff^ - 3 ^^ • .ri,,a ,,^, ie 

d'qù Ton voit que dans le cas de cinq observations -eMBbifM0ér|' 
l'erreuif' dés coëfficiens différentiels y due à la cause meMiôhMv^' 
est plus grande dans le rapport de 4 À 3, que celle qui a 4ièil^ 
dans le cas de trois observations. Elle àugmenteroipétiiMM'Bi^ 
bnrôwJbÎAoU ensemble plus de cinq observotioiû. xv»ij;fl >oo t^^y 

D'après ces réflexions^ j'ai pensé que èe qu'il y àvoit de^tbtolAtt^ 
à fiûre danii^Iç problème des* cooiièleè ^Moîtfèm^pkhofAo^^ti^diieA 
im^édiiites 4^ l'observaticm. ^ ci.d'jRn^o^lSKtôavfleé^teéyëlîéi 
ppfi}: :4iniplifies^ aiitaot qu'il «ilrpttssiU<if^kff(fanio4i%Mèt^tl^^ 
égiqfçlionst^ai sei?v«at.à dé4^(i«ttn0mfe$5éléni0ha»ie i?étli|f^^^ 
l'«bJÊt.qvi#je>mefuîa proposé dw^toéJMUtaMre^i'V ^ joprro 

Je l'ai divisé en deux parties : la première coinprend ririfiA^ë'< 
générale du p|!pbléci|e^.ÀYec deusi applicaliotn^tTétaïtléès de là 
solution qui en résulte aux coilàtea^dGtf^Saetvflèisi^j^'' ^ 

Dans l'aiialyse je supposé^ ccfmme cela oat indispensable, que 
les trois observations données né' édmpremient pas un inter- 
valle de temps de plus de i5à sô jours , àAil^que lès séries qui 
expriment les coordonnées, tthit^^de forbiiêvdela comète que de 
éellç de là terre > soient «u£SiÂ^>mc4't^^i^^<^is84nif8 , etqùfonivé 
soit pas obligé d'employé^ les i^pfm^}:^ «cmtAraoïieQ^ desipui^ ^ 
saocés.du,tefnp3SupérifM;irç;$.^4À Ux^siè .«> ^ -- » • m. 'i? -• 

'Après avoir mis Ips équi^t^ons g^néfaiesicdn piK^blème sens H 
forme la plus simple dont elles paroissent susceptibles , je déve- 
loppe en particulief^y-avéc/beaUT^oùp d'étêhdiié, )e cad du les 
tfois observations sont faites à des intervalles de t^àips égaux. 
Cette si|ppoâitioii7 ^i ne restreint guère la géfiéralité^ du pro- 
blème^ sidiplific beaucoup les fbhnules^ et contribue mèmt k 



(vjO 

)^«cmclre|>lia»;Màctes , fiar te disparition /de ^plotleavs tetioep 
dmitit£MdFoitiemvoraaf]^tdi, ifti lèMMerrâles de temps cnAré' 
les bb^érTalions' n^étcH^âi 'pâs^éjgÂ^^^ ..;-.. -m <■ .•-»,! 

XorsquW ne fait AOdUfté^sWppMitiaft sinr^ tialnrederorbiie; 
le^prôb^hnèi^ffiiâr^fiéoiséttiettlt ttUUtitid^^aiidds^qued'mcMi^ 
ji)oér;fWttie«kfM4iyQ(iiiiie^ye<9^ ùàt^; 

nttiles^yourroî^t lie piuiiioâner dM tftail tttls»'iès^ exacts^' C'est 
lwil}ti^lWbyte«ppttrbiile'€iei«il«iéê à tn^peuiprès d^ns le pliai' 
d'un mêoie grand «erde y^eV^bfte <e. ces y làiidkU^ 
cottièt6*aa'soicaly lov&de Fobiservm^iin inoyetinef ^îffàcetldu- 
joorfttrèsri^en'de k dÎJtâqê&ife blerreâvreoleiLâilesin^odeà 
«ladyfîqntos oHlt peo' de succès 'dâtis' de '^cos^ porticuliQSv itin* 
téenHe^^au moitis^ o^e^eonMÔssaiMe iitile:eBr bt dislanee^déld 
OMIëte âtt édkikv lAquelrk'8eFvifa^tt>uf0tiw& dtrigertesifnwAu 
Msmi des* i»dciylàtein«» <iD-ail)e«ireV'e» oliotstSBatkl.'trcwi «niMd 
oiviftt^tKHi^V^ à> qdelqftie distincè ^ei' premières v <n>4mlûè9m 
PiWsotirtffédlmf'décevâspaiticolîer ,'a moins qnUl ne^se^eiif 
edrilrètifote4!ft'JllH(bis'qiijB'|tft'ceiiièle3oit très^^isin^ du^ périi^: 
htitos «tqili^ kdteiânoe pérîfaélie diffère très*^peu>dê htdistaM» 
de la terre au soleil \ circonstances qui, toot en faisant %xeèp^ 
tibtts avarf celroiént beaucoup v ers la couKoiasAnce • de la "vdi-i-* 
kiUe 'orbite. - ' .- ' ■- ••• • .-.■.• •■ î" ■.- i ./ivrcro: 

'^Maië^cdînmé on suppose eommaoënienl , d'après lesrtadtBtf 
à^ l^abdërratton ^ que l'of bile est paraboKque , cette coddilîoii 
dôftiie une ^nation de. pk» que d^incomiraes / et o^ * la lacullé 
deiôhoisir èrilris les ditèrses combinaisons des éqnaliof^yasdle 
qift "doit'Cdndfri re ianx rëstiltate les pios exacts. Je suis entré k 
eë «njet dans une 'diiienssîoh fort éte^ae. J'at fait rwt qeriin 
sont les éq citions ^i mèneroienli dans joerlaina caxi:^ à:dea 
|-éaul tats dè&otoeox V enquéries sobt exiles- smrleisqitellei^ioff |mit 
établirla -solution la moina sujette à' ôtre affectée des<'enwws 
dcH observations.-- .:*^-.' -i. . •' •.;> ■ .m. v»',-v 

'Les'é^atilms ddrtt il é'agrl donnent imtnMffStementp^rietïr 
résolution les distances delà comèt^'wi soleil et '&*ltt^ferrc^f il 
frUft eiiéui^4ty caiiciUr)^ leréléAit^^l^bHe.^ 4«Mné^ pour 



((MM) . 

cet e&t 4mii€sfi^fep ibramkfr^^eaâaîjecf -, .^i^)i^i^[^ tmoyieiui 
rétrograde j si la comète m^f^l^jV^rp lfii9ér&béUft<p»ifHtfi'ftlle>ai 

délkpnsBéiv^iX'tf^ifm^i fliJjQ jaepi^daaioo ii^tc«ikal4<Jfripqgi- 

dQ.Bf tromiNec'âarift^igcit d'aiJ«sùo9.4U9ntiiéc^t5Na^fl«(tJ^|^ÎU9W 
d^atumaiimtiMîtiUa qu'il ioipQista de jét^^ '^rfiCiu uulf 

-\Aprteijiiroirt%rai4é cooit^tèlflUMnl leiCas^pùi'iktDrittleov^^ilM 
da'rteiii|MieidJrarl€S«ibieffira^<mfl^aQ^ il iWlto^wl«nmM« 

Imtèr (da:;1»îiiofar iMjdffîi^lé» 4'aii«ly«t> qii^ pfé«Qni#|l0fimn 
UâiticrïMiBttâésà |àa9MaiU^)aa«:#i«waU(fé<i2fir wil^jrfpiio wt^itlt 

haQmttfiQme9if»'(^l#«(|étoktfi|fMi^tit^ spititifmvfpto 

racnpa.iiiteiyàUUfitii ^nf^Qlvtm^fi^ti^^ 
vajllaa4€iiNM|P4£iîiimraéfifiirM < h \ut i./ oi-ij.) ol j! 

comète de 1781 et à la comète de 1769 , f entre d»njhkflh^MàiiBi 
Jfenainine «aimaaîyeitMt J<^ div^»;fty^tèmfii^4'<^«ttA)«e«f^a;^ 

stàiénmmi^ #tMi(!itef fi^qtt^pMUpeM^^in^llpdpjil A#lp<;^ihl€i(Ae 
déduire de trois observations données d'une coia^tf ^ daiia.uq 
w»et yéU^eapwAidf^rrtii»]^ irsieurs .fort i^pp^oçhcesdes 




' 1 ' \ 



'A 



"eVkta'cfd'iâia'liiik^ rétnproqoe otitre la terxt 

et la comète. r^y^ 

ni/ Gela poâé^ soiéttt encore m j >a,^p , r, les valears respec* 

f = o. Si on suppose qa'à compter. 4Ç({l'4fiP%I^^A ^^9tM^ 
intervalles ^e temps ne som^J^ pas trop considérables en deçà 
et au-del^'i^<!Rtè i^pSqite;; 4es cdordomtéesi, tent de la comète 
que de la .l^rre , seront déterminées ayec une exactitude suffi* 
santé par lea éqnalictes suivantes, <>h l!on la omis seulement 
les termes affectés de 1^ ^et des puissances supérieure^ de I. 



i <• 



g ^ p +pt+p'r +p"'^ 

X =s M -h M'# + M V + M"'i 
Y «: N + N'/ + N V + N"'^ 

CflBfViâei^rs doivent être sabstUoées daps les équations (;i), 
afin de réduire au plus petit nombre les coëffîciens indé- 
terminés , ëVconune on (i ;■ 

si on fait pour abréger 

/t ra mm'+ nn'+ pff j 

K==MM'+NN', 
on Aura 

d'où résulte 



y. 






5 /r*" V» ""r»"^ +^*'-» V^-r5 



+ :ôf c 



fit la sttbâthulîimt fidteA dui$yé(fâ^\ifa^'^àèS^V^ypVifi: enr^ 

donnera s , ^ 

- tn ,,, mh fit 

%^ ôbliéhclrit u^ s^tnbkblezëBiiHat <feit >axitrei é^piatioits diffiS- 



•BiC*: ni 






* . . . ) ♦ 



• = "(''-^+17) +/:'.& -67") (^ 

rV. An moyen de ces coordonnées , on peut déterminer la 
loh^ttide ^ delà eomëtè etsà iMitiide C^ parles équaitÎDns :) 






tang<t^=- rr , 3" ^ ^« 

. AT X COSd X — X 

De sor)e qu'en géfilral/pbàr tin temps qo/elcpn^qiu) t qui n'ex- 
cédera ^ptis ^ëriaînés linfités àvaiit ou après répoqne choisie, 
on aura les deux équations : < '; .-i : . . . . . v i t 

«(i T + TJ-J '^ V * "■ T:r + — T ) 

"'('-6-) h'^v 



-•^■Kisp) ')' À-^d^ 



6RV 






V. Soit pour abréger : 
et de plus, 

Si on xiiQlUp^ie les équations (3) par i -l — -r -r, et qu'on 

néglige toujours les ^, elles deviendront : 

(6) 

On pieut simplifier encore ws équations en omettant le facteur 

1 + "T3 qui multiple /ù , /, jj%- car la suite du calcul prouvera 

que Toniission peut être faite sans qu'il en résulte d'erreur dans 
les texmes^ qu'ott; doit; conserver. 



VI Sai^posonstnainte^ant que les trois observations don-; 
nées de la comète répondent successivement aux temps : 

en sorte que- répoqne t = p réponae-i i'ôbserrfitiqn moyenne. 
Soient ' ;.].,.,[■' ''"''' !• ' ^ -- » i 'q -f- 

les longitudeé observées a** , a , o% -^ 

et leslatUudeà b^y byb'. 

Faisons de plus , pour abréger ^ 



C05 a^ ^ C05 a ° cos a 



.'j ;:> 



Si dans les équations (6) oafait siiccessî vement ^=0^ f= — 8^ 
/ = û'j on aura les six équations suivantes : 

. • (8) 

« a. V ==i ■«.' I'' + •''*'-^ î M - fl" 

' VIL Après la flnit>8titùtion qui se fait immédiatement des 
vAlétiirs dé p ^% àep^ ces^ six^éqiàtio&t M rédûiVoicit à quatre 
c^n\çnant les quatre inconii,ues (a, , (A\y\^\ sous^ forme linéaire. 
II. faut à^abord Voccuper'de la résôlutibn de ces quatre équa- 
tidnti' ^^ i- . ' .' j*^'. ■ ■• .• ' L'.. p T r^: i^l." "> -^ *■ *-^ ■' ■ ^;. • : ■ . 
Dans le cas présent ^ où les éqoatioiii?(jS) ne^MptaaBaotei' 



s 



qu'aux quanikés^prSà 3d l^ordre t^, il laà^rtt ièimre ^ dans le 
calcuL/cle T^nâbatibn , IcÀi^ lâT tehabirdMiUeMieiit de cet 
ordre ou d'an ordrd Tujf^érietirV atteiiti9& \m Cantribuera à 
simplifier If^ résultats. Oi^ |jpurroit ^imi 4Ublif les formes 
des diverses inconuâes ff^ m^^, p\ èp'^l^s re|ir{ésentant chacuDe 
par A + B 9 + CV+. p 9* f Êi 9' f F f'rF-^&ç. j^oii^onnoîtroit 
bientôt par là substifutioh y q.ûe ces quatre ificcamnes ne con- 
tiennent aucun terme constant indépendant de t et^A^; qtie 
Jl^.c^uaii^ M^^tf par^caUer, ne contient pas mém^ I^ctermes du 
premigr^^egréj ^ qu^^elle^ dût être 4Îv^isib]b pe^H\jii^9arle 
qu'on dpit fairçj/j* = A^^'i BAV^'-h Cfla\ On trouvera paisible- 
ment que les trois autres inconnues doivent être de la forme 
A 9 + Bfl'+ €«•+ Ty9V+EB'% sans alter au-delà , afin de ne 
as introduire dans les équations ( 8 ) des tenqes du quatrième 
rcfre; et cette forme justifie l'omission que liou^ avons jfaifè 

du i^oj|e|^ i^ ^ dans les équatiojis (6). O4 pourrpif donc 

par les coëflBciena indéterminés , effectuer la résolution des 
équatiotti (8^; mais^ on y parviendra aussi facilement tpar les 
moyens ordinaires ^ et voici le résultat de ce calcul présenté . 

VIII. Soit pour abréger, 

^'Afg-f^) + ir8'-f8') + ifêT-fg)- (9) 

Çâle^itMLtîlietqiil se présente d'abord dài^ le résultat de Péli*^ 
ininalioiL mérite une attention particulière : elle peut se mettre 
jioyateforuie "^ "^ [ 

j0t alors on voit aisément qu'elle es* de l'ordre 9f f9 + 9M, 
c^ert - à - dire dû 'troisième ordre , et cette e:&tréme petitesse 
empêche le plus souvent qu'elle ne soit àéterînirtée asçez exac- 
fêh*iit^l)âr1èè^ibfifiééraè¥ï«^ 






M (yv'-jîTa") + NX**-*') =:B 
M {fif-^ra) + N (*.-«r) =.B' , 

M* (/y-/^') +*(«■'-;?) = E° 

M'(/^-/"g) + N'(«— g»,) = É'i 

quantités entnt lefqoell^Dii a les z«littiooa 

B" + B+B'=Mi E" + E + E' = M'4 {ii4 

/■B°+/B+/B'= Ni /•E'+/B+/'E'=ii N'a 
«»B* + gB+'/B'= o /fÉ° + ^É+g'B'=bi 

les Taleurs réduites de nos quatre, i^conanos serout ; 
,^-f''^^'»-B^'",-')»E (u) 

Il A 6A 

^.^.(j'_«) + (iM'.-iMO (•■-"'+»") .'. 
^ = *~^''*"^ (8/'B'— »yB')+ '''V^'^ (t/»B'-.«yEO 
+ îi. ()■_() + CjK'. — iNf) {)•— U'+J") 

XX. Avec ces valeurs, on calculera celJea des six cti^eiedi 
m , njp^m'f n'fp'iveqai se fera par les équations 
m = F + M Bï' = p' + M' 

n = > + N n' = f' + N' (i») 

P — SI* p'. — p' 

et ces six valeurs ne contiendront que les deux ioconnaet 



(8) 

^et tt sous forme linéaire. Calculant ensuite la râleur de h par 

la formule 

h = mw! + nn + pp'> (i3) 

t I 
et substituant cette valeur ainsi que celle de «^ ^= 3- — ^9 

dans l'équation 

•• ^ *== 7" "" S» » ' (**J 

I 

on aura une première équation entre les quantités ^et r, dans 
laquelLe (" ne montera qu^au second .degré. 
Enfin on a de plus les deux équations 

m*+ /!•+/)• = r* " (i5) 

m'*+ /^^•+p'*= - — -, (16) 

r a 

dans lesquelles il fEuidra faire de semblables substitutions pour 
obtenir les équations finales auxquelles se réduit la solution 
du problème. 

U'équation (16) appartient à une orbite elliptique dont le 
depircrapd flixe==:a j mais comme on suppose ordinairement 

qtte Pdtbité dèA comètes est parabolique , on pourra faire - = o , 

ce qui donnera une équation de plus que d'inconnues. Et cette 
circonstance pourra offrir diverses combinaisons dont on pro* 
fitera pour rendre moins difficile la détermination des incon- 
nues r et f. 

' Nqus donnerons ci-après le moyen de vaincre ces difficultés 
et de parvenir à des résultats dont la pratique puisse s'accom- 
moder. Mais avant tout, nous examinerons , avec tout le détail 
nécessaire , le cas où. l'on a 0' = ; c'est*à«dire où les trois 
observations sont faites à des intervalles de temps égaux. Cette 
condition apporte dans les calculs une grande simplification , 
et on peut toujours y satisfaire , en interpolant les observations 
fjEÛtes à peu de distance les unes des autres. 



(9) 

. . . ^ 

X, Soit donc 8' = 9 , et les formules (ii) se réduiront aux 
suivantes : 

/x = — B 

3A 

-'= ^(/"B'-ZB') + (|N'— iNO «• 
p'=^%5»B'>-5'B'). 

I 

Or j'observe qu'on peut omettre les termes affectés de fl* dans 
les valeurs de i^ff et /. En effet, dans les équations (6) on a 

négligé , par rapport à (Ji\ la partie ^r-j , parce que le premier 

terme de fdf étailt de la forme AO, cette partie seroif devenue^ 

^-j ; et multipliée par , comme l'est [a dans les équation» (6)| 

elle seroit montée au quatrième degré j ainsi elle a dd être exèlue 
des équations (6) qui ne contiennent pasl les termes affectés 
. de t^ ou 0^ D'un autre coté cependant , en, conaidémnt.ft çomipa 
très-petit y le coefficient A qui affecte 9 doit être très-grand , 
afin que^ A9 ait là valeur fiiiie èiui cdnvieât à là' qnatltlté^//; 
de sorte qtie A 9' désigne réelleràent *uhe qùahlité de Pordre 9\ 
Ainsi en éonsérYailt dam lés fbrinùles (hrècédèntes les terioQlés 
affectés de 9% qui ne peuvent être beaucoup augmentés par 
Jeûrs coSfficiens , '6n n^kfotitè pas à Pe^aetitude dé ces formules 
dans lesquelles des quantités du même ordre ont été omises: 
Donc il faut supprimer entièrèmeni ces termes , et on aura les 
valeurs très-simples : ' 

«9* 

/=t!(B'>-B') (17) 

2 



(lO) 

SA ^ ' 

dans lesquelles rinconnue ^ ne se rctrpavo plus. 

XI. Avant d'aller plus loin, il convient de déterminer les 
quantités M, N , M', N'^ qui dépendent du mouvement de la 
terre. Et d'abord , si on appelle A la longitude de la terre , ou 
celle du soleil augmentée de 180% au moment de la seconde 
observation , on aura 

M = R cos A , N = R sin A. 

Appelons encore pour un temps quelconque t : 

f l'excentricité de l'orbite terrestre , 
4 la longitude faéliocen trique de la terre , 
y la longitude de l'aphélie , 
V ou R le rayon vecteur , 

oxk aura par les propriétés du mouvement elliptique et en 
regardant y comme constant, 



t 



= 1 — fco^C» — y) 



R 

dt ~ K\ ' di ~ v/(i — ••) * 
Or on a X = R cos ♦ , Y = R ^m ♦ ; de-là on déduira les 
valeurs de -j— et -7—, lesquelles en faisant / = o ou *=i'Ay 
deviendront celles des coëfficiens M^ et N' : on aura donc 

XII. Si au lieu de la constante > on introduit l'anomalie 



( '» ) 

I 

vraie **• = A -^ > , ce qui donne > = A — ^ **• ; on aura , en 
développant ces expressions jusqu'aux «* inclusivement , 

M' = — ain A ( i — t cos *** + ^ t*) — « cos A sin "*■ 
N' = Ç05 A ( i — f cos **• + 7 «• ) — g ^in A JÎn '*'. 

Par un semblable développement on a 

R = i + t C05 * — f • «m • ^ 
I 



JtL 

De sorte qu'on peut écrire ainsi les valeurs de M' et N' , 

M' = — sin A f — :—- j — t sinfço^ A 

N' = + C05 A f — g^— ) — • f /» ^ 5m A j 
d'où résulte 

r 

M'* + N" = :i- — r 

Ji. 



('9) 



(ao) 



(91) 



MM'+NN'= — .«5m^.R. 

On conserve dans ces expressions le quarré f * de rexcèntrîcité , 
quoique ce terme soit très -petit , parce qu'il ne coix^pllque 
presque pas le calcul y et que si on Fomettqit entièrement , la 
valeur de R se réduiroit à i + t cos **•, et ne côrrespon droit 
pins asses exactement au logarithme donné par les éphémé- 
rides. On peut supposer pour les temps voisins de celui-ci, 
f = 0,0167g , alors on a f*= o.oooaSig , et 

% ^~^^ j = fo/jr i^ — ô.oooo«ia, 

A l'égard du terme f sin "^^ on le calculera en prenant dans 
tes tables le lieu de l'aphélie y qui e^t très-peu variable, d'où 
l'on conclura l'anomalie ^ = A — y. On peut encore déter^ 
miner la quantité i sin "F* avec une précision suffisante par la 
seule valeur connue du logarithme de R ; car tirant de ce 



( la 

logarithme le nombre -^ = i + m , on aura i cos lr z=zi*'^ ti ^ 
etde^îà 

Qu^nt au signe de cetteqiiiii^îté^ iliaera positif depuis le pre- 
mier juillet jusqu'au premier janvier , et négatif dans les siix 
autres mois. . 

Enfin on peut encore observer que les quantités — — — et 

ûsin^iTy qui entreront comme coëfficiens dans nos formules ^ 
sont liées entr'elles par cette relation : 



i^y 



+ I* sin* * =5 ^ — I. 



Xin. Il s^agit maintenant de former les coëfficiens des équa- 
tions à résoudre, de la manière la plus simple et la plus com- 
mode pour la pratique. Pour cela, il convient de remettre à la 
place de /, gyf^y g^y &c. , leurs valeurs en a , b^a^jb^y &c. 
données immédiates des observations. Cette substitution étant 
faite d'abord dans la quantité A^ on prendra pour abréger, 

D = tang b' sin (a—^ a?) + tangb^sin{a''^a) 

+ iangbsin (a* — a") , (a3) 

et on aura a = j. Faisant ensuite les même» 

cos a* cos a cos a 

substitutions et celles de M = R cos A , N = R^m A, dans les 

valeurs do B% B , B', on aura 

A JJ 

Il _ ^^^^^' 

A ~ D 



[iang b" sin (A — o ) — tang bsin{A'^ o*)] (2^) 



B* lR.cosa^ ^ » . rA t\ ./ . \#* %n 

— = — =r — [tangb sin{A — aj-^tangb sin {A — a )J. 

A U 



(i3) 

Soit encore pour abréger , 
C = tahgb' siniA^a') — te«fir6°««( A— a'), (a5), 

la première des équations (17) donnera fA= ——.Ccosa; or 

par les triangles rectangles TCK, TKG (fig. 1), on a TK = p cas ç^ 
et TG on iA= ^cos bcos a ; donc en introduisant p à la placé' 
de ft, on aura 

Substituant de même l'expression de ft en p ^ dans les valeurs 
de m y n^p^ des équations (12), on aura 

^ m = p cos a cas 6 + R cos A 
n s= p ^171 a cos b + R sin A (27) 

p = p ^m 6 , 

et Téquation m*+ii*+p*= r* deviendra 

r» = R*+ aRpcMftco5(A— a) + p\ '•- 

Cette équation seroit donnée immédiatement par le trîariglè! 
CST; car en appelant c l'angle entre le soleil et la coitièrte'y' 
les côtés compris sont R et p ^ et le côté opposé r, ce qui dbùrie '" 

r^ = R' — aRp cos c + p% . ^7^ 

Or l'angle c a pour mesure l'hypoténuse d'un triangle sphé- 
rique rectangle dont les côtés sont b et 180^-— A4- a^ on a 
donc CXI5C = —C05 6 cos (A —a). ' •' 

XIV. Les coefficient C et D se déduisent immédiatement dés 

données du problème par les formule^ (siS) et (aâ); si ensuite' 

on fait 

. j . (•• « R^C 

cosc=^ — cM^co^fA — a) j A = — ^ (38) 

' :mDcos b\ ^ ' 

op aura les. ^eux (équations 

ï'ïs k*— p(3iRc05c) + p% (19) 



( i4) 

dans lesquelles il n'y a d'inconnues que les deux côtés r et p 
du triangle SCT« 

Si on élimine p de ces deux équations, on aura une équation 
en r du huitième degré , liiab qui sera divisible par r — R , et 
s^abaissera immédiatement ao septième. CTest le résultat auquel 
sont parvenus tous ceux <j[ui ont traité avec succès le problème 
des comètes ; et ce résultat est d'autant plus remarquable , que 
les équations (29) se déduisent assez facilement des données 
de l'observation , et qu'elles ont lieu sans supposer que l'orbite 

de la comète soit une parabole. 

..^ 

XV. Comme les quantités r et p sont essentiellement posi- 
tives, il n'y aura d'admissibles , parmi les diverses solutions 
des équations ( ^g ) 9 que celles qui donneront r et p positives. 
Or en construisant les deux courbes de genre hyperbolique 
qui représentent ces équations , et examinant les diverses interr ^. 
sections dont elles sont susceptibles , on parvient à cette cou- 
ckision générale sur le nombre de solutions utiles que ces 
X équations comportent : 

Si ih 00s G est positif et plus grand que R^, les équations (39) 
admettront une solution et n'en admettront qu'une ; dans les 
autres cas , ces équations auront deux solutions ou n'en auront 
aucune. 

XVL A l'inspection de Téquatioi^ p = A f -j- — -3 j , on voit 

f I 11 

; ^«; que le signe/ A doit être le même que celui de -j ?— ^. Donc 

/A V r Sx 

I /^ sî A est positiy^ , on aura r < R , c'est-à-dire que la cx>mète 

' sera moins éloignée du soleil que n'est la terre. Au contraire, 

si h est négatif, oh atfra r>R. Dans le cas où l'on auroit 

D = o , A seroit infini et ou auroit r ::= R, o'est-à dire que la 

comète et la terre seroient à égale distance du soleil. Ce cas est, 

d'après la remarque de Lambert , celui où les trois lieux 



( i5) 

apparens de la comète seroient situés dans le plan d'un même 
grand cercle ; car pour que trois points dont les longitudes sont 
û®, a , a\ et les latitudes b% b , b\ respectivement, soient situés 
dans le plan d'un même grand cercle, il faut qu'on ait l'équation 

o=ztang b' sin {a — a**) + Umg i' ^in {a'^^+tang b sin (à* — a). 

Donc lorsqu'on aura Û = o, ou Aealemeiif'D très-petit, on 
pourra en conclure, ou exactement, ou au moins par approxi- 
mation , 

r = R et f = aR cos c. 

XVII. C'est une circonstance peu favorable que celle où l'on 
tombe sur des valeurs de D lrès-|>etites j car alors une eryéur 
très-possible d'une ou de deux minutes sur quelqu'une des 
quantités données par l'observation, pourroit changer dans une 
proportiofi notable la valeur de D, ou même lui donner un 
signe contraire a celui qu'elle doit avoir. Dans ce cas , il n'y a 
aucune conclusion certaine à tirer des équations (29), sinon 
qu'on a à- peu- près r = R et p = 2Rco5c; on se dispensera 
donc alors de chercher les racines de cei équations , et on aura 
recours aux autres équations qui seront données ci-après. 

XVIIL Dans les autres cas , la résolution des équations (29) 
s'effectuera assez facilement parles fausses positions; mais pour 
cela il est bon de connoître d'avance les limites de r et de p. 

Lorsque h est positif on a r < R j mais la seconde des équa- 
tions (29 ) donne r* = R' sin^ <? + (p — R C05 c)* ; donc on a 
en même temps r>Ksinc. Ces deux limites auxquelles on 
peut joindre celles de p, savoir p > o et p<aRco*c, sont 
suffisantes pour diriger le calcul et rendre la résolution assez 
prompte. 

Si h est négatif et cos c positif, soit A = — i ; ayant déjà 
r > R , on doit avoir par conséquent p > a R co^ c ; mais de 

l'équation 7J = rs — J > ^^ ***'® '^ "^ b? ' ^^"^ ^^ ^°" 



( i6 \ 

'on 



r<\/llV ^pl-— /+ 5^-Jî û .%ut observer que w o 

n^avoit pas i> 2 R^ cas o^ leirdeiix Innites de f sefoient incom- 
patibles , et il nV auroit pas de solutibn/t 

Enfin «')k'^if ril^w, àîrtsi que coiic; soit A = — ï, et 

C08 c = — /, on aura toii)o^r^ ii(< ^^ » Ifautre limite sera 

simplement p>o : celles de r seront en même temps r^JOU 



•.\ • -.-.S r "'■ 



.,p^£K. If faut maintenant faire la substitution des valeurs 
de n^f^-a^ /^/dant. iJéquatio»- ('16) r or erf v^ttà ^éè Mt^' 
mule(<i aj^t/f *7^ «t )(S4>V^o^ ^ 

2D ( -^côi* hTiàngh^sin (A— a**) — cm o' te/i^ ô* sin (A — a)) 



i :* ct^\ (3o) 



^ TM' / **" • j **'* ^** ^^g ^ ^^^ (A — a' ) — 6m a'' f a/2^ b sin ( Ar?-nâ) I 

2D [+5OTa' ^/îg-ôtfi/î (A— ra**) — sina' taimgVsin^h. — a)} 



V 4^*<> « '^.^ ... ] ' '"■' ' 






.•! l 



, _^ ^R«M iangh^^ngbsin(A'^a) — tangb^'tangb'sin^A — a)) 
■^ y aD ( + tc^n^J>': ïan^ b.sin\jÈi—Q^) — tangV fhhg bUin^Xr- \ 

Appelons F, G^ H les quantités qui multiplient -m^\d9^1^ 

valeurs de m'y n\p' respectivement ; nous aurons en substituant 
aussi les valeuwidcB^ fetN\- : .' ; U. 

^(=Ç* ryy/»fAf 'j. j — t «m^ ccw A +'-^P 

. il /.. r 2D ' 

d'où résulte 

1 . l • 1 I • • . 



( 17 X 



«'*4. it'» = iL _ , -, lîi 



(*i:^£J(fikA-Gco*A) 



■ • ■■■»■■ J' j' ■ 




•*»*(f««»A + G»«A) 



Doiio il pwr abréger èmxHra Im ta tpt iÉ a iewoii tifl 

(10 

— taiy »«w(A*^ ) «te (A-») 
H =a ~ a Auy ft* iwy &' «H» (A~a) «f ««i« fr <Mv Ji**«A» <A •- O 



I • • 



lie» trou qcuntité» m', «', /', powncOit Mat mum êom oètt» 



m'ss sm 



' A^*"*i> ii-!:i^V a/ï^»*/^ • «^ 



t ■ • 



et lenr Miha^tiition êêm ViqutXkitf (i6> tatoeM ' ' . ^ 

• ff ' M m m 



^' -,,',„ . 



3 



degré. '. » _ :. ..'li 




r ■ 




^C 



•■» ■. 



-^''^^jÉjA'^ttaiiè» sera une parabole ordinaire i ayant son axe 
îjBggé^iÉriÉ ài#ieim>i|ei A y d<«> ilé 4 si CelH^ tcqaxbe e$f sitnértjriÀé 

- -cnUèrç .di; cpté'd^;^ PositiTék, et ne coape point la ligne des 
abscisses , parce qàe le secoild meinoré db.lMqatiOdt] ('33) fdrmé 




f.;.'' 



ordonnées sont' pids granadei^ véih Porîgine <tes absciss'ès que 
celles de la première paraboles «Hèt^iedmnie à aM'giraffde ilis- 



aura Viié^éessdflreme^Àrf tihè ii^èfâebtidfl ; et il ne peut y «raidir 



y aurai 



f)ài^t^i^i km i ^md'fêimt miif» f^ tf¥t 



tr é-" 



(49 ) 

• [Le systâiiiedea éguatîons :(;33) et (34) est donc pnîâMtijtofi 
:orii)i des éq aations ( ^9 ) f ijBôndiei;|ïei^q|.' paroç qa6 le degré de 
Téqualion filiale' est moimlre, mais encore parce que la solu» 

ambigoité» . . .j . v '>: ,• •/ • r^'i'! 't.; . -yjii^^.f/ 

- '^irFdét'ieFbseH^lfdMiiin^ 

.^t^.^^^nie^^iiiporiYiéqient que la première ides équations (ag ) , 
^ans le /"cas où !>' est três-pelii , par^ qu^Ik>ftf ^ek' i i ' êèi/ lr ri ^ès 
observations ont upe trop grande inflqjjNHif^jU^ 
etqà'dnsi la réBolt^tiondes éqoaticnas (3S^ett(!34J>^oiinM^ 
conduire à Ides r^iiâtafts^^dK£eêtaeinc«|, ^ .^. 'f^ r 5 . -i: ^^ •:. » 

. ' • ■ » » 

XXL Pour obvier, à cet iapï^fésiieaiv^il ^^lut éyiter.tout 
emploi du coefficient D| et oji: éa. & I^earensçiaent la. facilité^ 
puisque le probléttie des eomètea, dons -Itt^uppQij^iQp ^ua6 
orbite patabâlîqiïé^y'^ifiP^ ^»4qo»>ÎAa <fle^>|l[l»t>4i>t tfayO^BH?'^ 

; Par W4tl^on;fi^ / oà a ^Ùi^:^èê(tB^i&^ 

' ^Wtaabdtifiïé^dlMl^uMi^tt (33) f bwwhoè^ «MHMapt %|^^ 

jours lliypotnèse pai^bohque,.p'est-a-dirn tn taisant * t:;;^ x> , 

U*t /) ......,J.,-v.^ : f«<*«»*' ^;-';»J '^l^;> :'»••=' >- ,i •-•rlN?'^ 

^alo ««oA^oibîlpii ,enfi9i;#ii^;^» 4i^à^,4^]^^^ D^^illecirs les 
>esë^bâtfiftd««i»|(^MlM{|ia«^ M»îl^» dK^^ fi*S*i^9^<^ 




^ 





cwon } eu* CH regardant t comme tme ^«ntité da premier 
4ukÊt fXlMit^pimàimiOiéi^imÊifi él4» tgak AatMi 1*,^,'^ 

^ (35) ittuat toM lés «vitogea qw^oit psat ,j^(ipfiiffi;^if9|!^#t 
solattoo da problème des comètes , et c'est à celte combtn»isott 

1^ ai on déeiit les f^nx coorbè» ^ répotideat 4^o«9 














'oar 



meml 




•nc'^ 






'M 










donné enjoazs et fractions de jour , temps moyen, soit conxfuli 

etf^«iî^ic^'fiitf(tVI»kdHi'<M<MlK»F,^^ 

rédnit en partît' tfé<ïaif«ti"ll9on% fëi^^tSmifBH^'ÀJajiâiHà^'' 

ila:«iiéa{ti-<l^è<îtfttWé/i4i^M2^MW^atï^^^ 








de lMi«â^^'lM^t^o^'pMf^ «t-ïrerïim'^la o&m^-v^^' 



uwt pvt uBMfcf tfpproxiniBtioiri 
et 4)M9nitti^:!»«)aai«9ièa'«r^ ibr^i^^ ^'r'ife bto^ein'<foéMr- 




tu 









■ : dû 

on sMn-a^é^^â eomèlè s'approche ^e soir p^i>î^tlë j^'WMI jHle 

♦ ■ - ■ 

Qdàm distance fééaiit. (Mi nue y^m* déterminera PanamÉiîèiîi^nAp 4 
p^m^ap^womèét *Bdi'iiiei|ieAt de la ^eeconde ofaBerràtiott>y^)piitfi|a 



r 



/^P^n Tanomi^ étaiit^ct^Q^e^ on cherchera, ^dana.l^ table 
dea. comètes li|. ^pm^ .X. ^u^jr^j^nd i cçttg^ a^pmaUe ; taisant 

i6nliMHiiKrli»4emps^# emplcqiré par la eomètéà<pai«mnrffon»*^ 
inalie 4. Cb)itf;iDpt>' étant «^doté à . répdqiz&i do l^bfteTati^ 
éuyynîhei, vkrlmmtÉaétA^^èEvmïiasninéTB aonpécîliéUnvJiw^cfcuftaht 
retranché*, si elle s'en éloigne^* donnera Finstant du pasbtgeatr 



périhélie. ..:: " - r • 



^ ^^r:'\^ 




on trouve . ' 

. ■ • ■■ ^ -.^ f . .. ... * 



. •^c^^rftfoif) (T:^,Q--«;«>iA 



.- .s fit* ■ 



de «« et il faudra calculâr lés valeurs des six aûiaitliiés 
p , m\ n', j9', par les éguations ,( 87')„e,t (3?^). 
, Ces valeurs . étant connues, on en déduira immédiatement 
cel]e§'^4^s :Xso^ \ ^qtiaqtûâ^ mnM:^'n^y mp'mrm^Pi nip^^m^rp. 




déoB le second il sera négftti£ 
; rjEpp^dBit«MÛtiteMMliX£hiolinaiaoii: tbc.l}«adktto:i{Bt>6»i«é40- 
!^itfH|e.dtt;ci^i'4tf» déuKi seeada qa« Ja.eofn^ osmose» Siéis 
l'ordre des signes. On aura, par les propriétés du moaVomeiii 
parabolique , les trois équa^nj. • .. ^s 

OT/i'— m'» = =t co* I |/an 

Dans ces formules qui doiyent . toujours donner I<^ go- et 
f;/?n positif, il faut prendre -Ics^ signes ambigus du second 
xdràbiB lomrf osHlTemont, iorsqaé mis' 4^f|p»ies£p«BBtif^ et 
tdturmégdfi4reBien^.:iiifi'^us éf b( f?^* te^jg: «al |itfgatiO i ^ : r n:t 
^^ tiaioBgiUtdeg jbo^ |»rë«iUeraem^ JétepMfcné# $Ar lâsfiiramiè 




pas l'iin des nœiids plutSique 

miner S en calculant l'inplinaisçn I par la formule . \ . ; 

,,,. ^, (mil — yîi 1^) c^o* S 

et prenant des deoiri^'ji^lNmi tle fi^cêttç^^ jk^ê<it09fff}^:igosiij^v^ 






•(W) limgl = , . _^*~i^. - , (43J 

X* ^{vw^ «iiui é^tfrminé par la Valeur de S , atra le nçeuiT 
{l/cenâant, site mouvc'ment est direct et ta latitude boréale, ou 
si% mouvement est rétrograde et la latitude australe. Dans les - 
éèux autres eas , ce sera le nœud descendant, et il Jaadi'ti' 
ajouter 180° à S pour avoir le lieu du rîœud ascendant. 

Xjt% ângtes S et I étant dcicrminés, on iiura la tlistancc" 
bririhilie n par la ibrinule 

W „J(W-^y. y-: j 

acew'.I . ^ , . 

pmr It formule •■ " , 

• "»B=:(n»ii'— in'»)' + (i(ip' — m»'+ (n/— n'^)", (45) 

qtft'^xSSfQlte ^i^èl^^t^éé' équations (4i } j et il est aûé de 
voii''^tfi6 éètfë dilrtSèfe'viiiéà} s'accorde avec [a formule (37),' 
ci» en iénïràf M irôâuïk''fV>' +«■'+»•) (»•'■ + «'■ + »'•) se 

di^siSfarda'#i^"giXri.: -^ . • '^ ' 

(iii*i'+iw>'+w'5'+(W— n'iO*+(»>X— »i»"+(npT(JrilV u» 

XXVI. Avec U distante n^héhç.net Crayon vectear r, 
01^ isakulera Fanonulift Tra]o4 ïe^^à'eovtèie %a moment de la 



^«^ ftoî|l.jU t^boi^^eji^e les^ciu apiglea f et »+ 180° qui 
conTÎMiiicut è^Teueal a cette tangente, celui qui nadsin^ de 
nféni.e s^gôçp aae .», pqj cas ^ de même signe qiie m. 

p étaut 4i|isl,conoil, pn trouvera tpujoutis que «—S «M 
poailtÇfjtplof .]^U:t qae 180**, conformément à la supposition 
^tiD ^w S irA ik îodjUiude (ie celui des deux noeuds qui esl 
moins aT>IVé.<iae U oonète dans l'ordre des sigues. Cela posé» 
Vott„« l«.«ÙtMiçe dti-lkMiihtte au nœud doDt la longitadr est 8, 
on citiciileTa r pttlà formule ^ , .... ; ^^.^ 

et le Uea dapéiikâUo >ti' l'orbe «eu . . 

on s 4- •■ — 4 M elle y'a d^fAiaé. :, . ' .^ * 

5CXVIÏ. Pour éviter la peine de chercBer ailleurs^ la démon»» . 
tralion des formules ( 4i ) , noua croyons deTOi|', l'ajouter ici. 

Des équations différentielles (i) on déduit iininédiatemcpt > 
les intégrales suivantes, qui expriment que les aireu déc^/tn, 
dans les direrses projections de l'orbite sont proporttonnelUa 
•a «Mta^-'^.'-J +"■.-<■■■"■ ■•^"^ >A. ■*''■*•■ .v». S "^ K\" '■•■ ■ ""''^ 
'\'\\ - '-. +■ iftj r^-^flilHT^^-.^^^À^-iï tiM •i,mn.:.\. tri -wvJX 

' on en lue d'abord Intuition ,,..,.. ..t.->.-t 

4 



rayon lilécrivôhs ctanis lè'fj^AtL '^k'^y'Yitt înJéfiiii «doiit 






Torigine soit sor J'axe 4^9^; 1^ coordonnées du plan qtti 
répondent à i'^pE^i^iiiilé of^ seroat : ^ ^^' 

\ G' ^ ^ 'C 

x = coss . jyzzzsini ^ z = -^6in s — ^cptë,: 

On aura donc «(«M"" ^'Z "*" '^ '' ' ^' *- * ^' * ' 

A4êm h cas ioà^ 1 9^ S ^ nr ^ viwi U <u 
son ou tonjT r : on à donc ''*' 

- • • • • 

donc C = C CM S to»^ I et Cr' = C3in S to/i^ f. 
Cela posé , lès éqnations (48) rapportées % l'iSpbqfbé oii foia a 
(ur.^Tai^;^r>ps]Sy &a derieniMilt • 

'. «V< %* 1. ■;.-.." . ^ . 

,,4!tdm«j;>^r«|lf .à4étaq|niaer i^iv <^« O^ àaa» Tëquatidn (iiS). qni 
j^atVécnMtMfai':'.-' ■■';"•• -.r.: •..•-• . 

■:<•.•• ■■ ■ ..-.' . .' '4^ , : •■ - .r,.-r ••*' 



-I 

'■il ■ V«'. ■■ .- 



le premier memore sa > — t - ^^ - - / ipaitipliant de put et 



• r 9 



s'-^n- T^t* i. . .. ^. .. 'j^i ' 



d^âùtre par r^, et inettant a la plaos de -^ m VaTéur 'il', oïl )fté 






MaÎB l'aies i(jpdy f^yds) es^ k^ pjrojectiou.siyr le pUa ^ç 



^«^W^^ ^; - -^ v^- ;:^ 



'Afj ... . ^"f 



I 1 



CM*J f ait — —Y pope on a ëû 'généra) , ^ ' 

et en-paTticaUàr, losamie. l'orbite i^t pèrabqllquçy 

œ qui donne lés formules (4 1}. .);>:;*: 

' XXTfn. La solotion qw¥fe<ls^ftl»tt^4p^i|^il^<j— yuan 
te este ôiii les obserratioiis soqt j^h^ ,i .j«^<|(J^rvidlw dff t^^ 
égaux, parolt (iMm tli«<iR iRe^taBUtsuIcLet !f siinpIiiiiU-qa'^» 
peut désirer daia\ii|ie;4}i99ti9n, :dwt la. diflS^ est généaÉie^ 
. méAt recbnmie, Bi par dçs eirctotislanceii pèm tktOfhkHtt^ «^te 
solution nvéoûiàit^M r^i^^liti'lti^ 
faudra Ven priindrd à rimneifeetion des < !Éiil « rii< ^ é n ^«^ Win? 
aux négligences q«i»«oâs.iabdu&imks'pâribises itans la rédiio** 
tïon des formula En^vaih iron^fOit-on pousser ptus loin' 

p^ des tafcultf trop' compntfkiés pour êfrè d^ quét^^iiiinté 
f dans 1* piffiliqaq J i lèi errp^i» ,^8 ol»fi;if^tj;!pim^dp 
ibofèurs et empéc{tÀ*oieBt lés ^résuhata 4e passer un certsin 
^«gré.d'api^v^iiiaiioii. S^fûUcuc^^ mU asse? q^e trois olÉi^r- 
vat^nk pxiM| à pei]ih4o:dt^faif^ ^es autres ^ ne .peuvent 



rectifier In étémens dététniiinés pw une première h^iMbom^ 
tion. Il est donc inolile de pousser le scrapole trop loi^ sar cette 
première approximation, et l'(^|(|dai|)^cp«'j^]|i£u^ai^n^ 
rempli par la méthode qoe zions avons exposée. ^ '^ 

distanler entr%nêiiyil uâditt-, coAiftie nons; l'avons ^Ujà dit. 




/ 



Dans ce calcul d'interpolation^ il gke faudra Uàté entres, que les 

trois observati^ li^D^ 

tions connues les plus prochàs du moment pour lequel on veut 

desquels on pbtiendra toujours une sol ution suffisamment app ro- 



chée dans la pratique. ^r^t ^ '**5 



r:zc K 



i' C 



^XIX. Mab à consid^r^^ le p^r9l^léme mus un pOift de vue 
punp»n\^ êlÊml^pB^I^ ]teÀpTr qà'ijnparfiuîe- 

mjnt notre objet , m noiu )^e Isiski^ yoif nar aue|s^ moyens^ 
on peut obtenir une sQlatukl^SiîilM sup^ 

poàition ^e C'sssf, 

*ous*obierv:«rQns d'almrd que les mêmes raisons piiir ^squelles 

90tts «vous »Qp|i^W\a^ tfl^^iiPH^ ^ ^a^i^fmxmlef^ 
de Tart. X» doivcQt également faire omettre, dans ta valeurs 
d©/ et f\ les terp^e^(Bfit4|4^fi^ 
aloiv^dMM.lesf ^nations (tf) qiie deux sortes oe tèfmes, les 



• » 

«ar la diSérenee de et» ûeax qturtit» U » ;if i iiiM l IKf M)S|{éB 



tiofit0 4»>MoriwrxJig>?î|^taÉiliyirii£^ 






> Jw. 



*'.i£jdl,v/ ••.Mdn^b . :>*iJi:'mf-* >i.i:i .Ui>a) jîj^.;;i î»».vK'j;< /. • \. ,'i 

ijh ;W>J:> J^ frétai I»* ^'>Ù«^ 



-'«I 





■ j . » » 



liéèilraÎA ^omière* expi^méÀtflieÉitej^Ilfiènt encore aa moyen 




(. 3o 1 

a'A 

■" +^/(B+TyE) + ^jîyN ' 



- ' j 



£^ .■'.•■ «.7. ..■ ■..!>. L,«-<rf^ 



^.»'->-' ^^2^^'^pà :rï"4y E).. ' 



; XXX. Maihtenant la sabstitution des râleurs ^e f^ ^, /', &ç. 
en Oy by et y &C. , donné, suivant les dénominations employées 
4«ns ies trt. XIII it XIX ; . 



* -. < 1 • • "••"- •. / ■•— 



* , ^ I 



.'• • » 



f^^^fV - G 
g°B'-/B' ^-^ H 

A l'égard des autres quantités composées eiji^JS* eomnvB^^^^ 
le sont en B , il iimt observer que E il'flU; aotrf îbhG^c; que B 
dans lequel on met M' et N' à la place de M et N« Or en 
négHgMWt iV3cettitHci(é'« (qe atti^wortM feir» Mlrsiiic^ 

auahtité'très-petitei/)^6h a M'séMà^êinik^^'nic<mh. 



ou encore^ par 1» «âme raison, M' « — A ^ A i N' xs R co^ A. 
Observons de plus y que chaoàiié^ dé qu^^flés C , F, G, H , 



considérée comme fonction de A, eal de la forme /co« A + Csin A. 

et' et C' ne contena^ ^Hàt Ai doiffe prift^^^P^^^ passer des 

jbrjctipns B anx fonctions E, il suffi jt de cl^anger C09 A eji 

— sinA et sinA ed^-V co^A ,rSLife&A|t-<|iie4si la fonction 

B C \ ' ' 

R cos o.—y par exemple . est repré^iilée par *' cça A 

+ f sin A , la fonction ^y . — le sera par jjr' {—f^'sin A + (fcosA)y 



on 






et la somme des deux — (B + fy E) y le s^ fiar 

*'(c^A— fy«iiA) + ^ui^M4^coiA)\ 

ou ce qui revient an même^ en négli|^aiit 4c8 ^secondes puis- 
sances de^ par _ "" ' ' " : ' » 

d'qù il snit que f^tte fonction ce sexija aat|r<^ ^posoj^n^ la^qui^m^r 

tilé — ou Rco^a.— , dans laquelle aé litfa ilo^A^iPifelg^t 

A+yy;là partie ^y ou .5 (•'--') devant être exprimée en 
degrés , minutes et secondiez du moyen mouvement du soleiL 

XX2I« VnxémlHt atimbbible aan^ lieu pour ks fonction^ 

analogues de B et de E qui entrent dans nos équations. Soient 
donc ^ • " 

ce que deviennent leçrqtfànlltésfî , F; 0-,H, lorsqu'on y mtt 

A + f y à k pfaot èBÀf^ naus «utom wfifi; afiièa avoir nais 
f cMtt d(WWàlajria««^^^ " * - 

ù cos b liwtr ^ - 

. ^'^ ^ ■ ï=»- — çr Ci'" ^ -• ■ , 



• '• '' > .» ■» • • •■*)'*.• 




iM) 






iro -Hkgfmfl' 'Mf^ifiy't ')Jit<«ïâf /**n< .♦ Hiî</r .: î ^ 



"gr ***"*■ SD ^-~-»^' >---'.'. Lr . 



• ■ / 

les trois ooëffidens Fs , Ga ^ Ha , d'après les ralears 
' F^..ff« -imnar-tC^^Fi +/Ci co*«+ /piNW A) 



CM 









^ans. les^eHes fl iSHiit~80 nppetet qii^bn a i^ sis {(V +'§).. 
^'b±^(|rj.|.)*l etiladkscftiaii^NtiipIekeài, purFéUiàiinatioà 

ifiVkitokùiw'Z ,*'■-■'■ *" >' <' ^ ' ''■ "'■• -V •■ ') 

li im ristilte donc 

Wf*" l#f?v4***%- • • . I • »■ ■ . ' ■ i. ■:*.'», 1 • i> # ■• • . • IM. 

- = ~ - i + ?| (M'Fs + î^'Csl+ #• (P>f Ô*i+tt«a), ^5!^ 
ltt|<Mlle ti«f>Hi»<irë'«BiilMttA «V^trrCipàêtSMt'oitfiiMdfé ' 

afin dPen tirer les yalears de jB. et f. 

^^n est ^0idÊlè jM fet^^oâtiônl sont ^ ôième/fi»fiM fue 
«elles qu'on € ^timfties àuS le ^tofiài de f s t ; dé sorte qae la 
solution générale » an mtÀm^ éàkù Wff^^^ 



paral>olique^^^nVii6r^0|^ç ^s^ifc oon^|)i|âàibn qae^^w^^^ qui 
a liea dans ce cis particulier. D*tilleura VA équations précé- 
dentés une fois résolues , tout io jpeste s^ad^^ comme on Ta 
expliqué ci-dessas. ^ ^«^"^^ ' ^ {\^ ' ^^"^ {^]: ' ,^ 



'•.*'t.. 




,if*>-*-.- 



il ta 



;î «sv^ 



Proposons-nous de délerminer l'^^^^^tç àe la seconde 
comète ad ijBïj d^ptës les trois 'Steàrvftti^s^imvlintes, 
réduites pour chaque jour à 8^ sg' 44', temps moyen à Paris. 



comète de^ 



Tlmy* dir fahê. 1 Lêngiiudê. 



sJSpyfmhre, 



19 



M S 



, i4 a* 3o7. i4 45 i 



3o6 5i a6 






ii 



S 



D M S t^ 



& 39 >4 48 



*'7 , i78„é 



99*oa8 



Ces lieux sont tirés des J^^* lA^ lr.^€ad. des Scienc. année 
Içlto , pag.^ 67 ; et afin df iTPtidpre jÉigaiix Ws intervalles de temps 
entre les observations ^xu^ftilnterpolé-.lë^r trois lieux des iQ, aa 

aérons icL Ces sortes d\>péràtioua se pratiquent fréquemment 
à l'égard des comètes , et elles sont utiles pour siim^Ii&brJâ 

^culde§,^mç>^.^ ^^^ . j^, ^ ^ 0-^ ' - ' - ' 
5i Œy a , a"^ sont trois tongitûdes^ obsêrVees auxJrlemp^ 

Quelconque ^ + ^1^ intermédiiaipe ^entre (^uj;-9|à , se calcule par 



la formule 



\ \ 



t ( 



■,\ 



5 



• ■ 



( U ') 

coiistance peti ^Àyofitv|>lQ.pQ)i£-l>pp|tc^ÎRn^ notre métho4ç^ 
et «ur-ioMt pouEf}i|{dt^€;r#^H^U9i^^ D^ Cependant 

on peût.otwerjTi^rtqiMjp^^^ Ifjjtpii^^YfiS^^ft^.Çft longitpde est 
ausai ïriôt qii4i4atisr'Sif/^xei^{f^ pas 

wjettes h 4l»- ai^igrwjl«b!f ri^&JpfJfP^ (ju'/^ori^ j^ jjpçxètc. est 
CQQ^parée peii49nt ipl^W^Joiir^ a,,la joéujç/é^toile,. ce q[ni 
di^jàne df s difiËéfcf^c*^ aM^sj^ayleiK. ; : r^' j/ v, .....:,- . . . .»• 
rfriÇQiw.pnH^âdfir i^;4I«j?IRlâc*liPïir4^ iiKi*rf |nçtho|^^ pn cpjWf? 
mencera par calcaler les coëfficiens C Bt Dmi i moy e n âoB.l^rah 






%fti:i^k(^64iirài ■^' ' ''-^iii^^&i^^ • ^^^ -% 0.0077035 

TT ,0.0040^09 . .. . ^ —0.0079*093 



v^ OiflÉofgogS ..> ' '^^^c ? •Dt ?==— ^ouooosobo 

-^•- i./Mr\i ^j^*"^°'-' ■'^^r 57'L'*^'.f.^-:.i. ...■:, ;> 

.; i ::!;<_., *;<,..,• ,. .: ilj^l^ Sj*^ ^m'\^.^ir .p ■■■■■"' - '•-. ■ •' 
A — rf^e* 1 io''4a'- ï9' ; ., ^ 4f-ra' ï= 1 ufj i4' iif 

*i»......;i..; -9,9710027 it . ' .;rv4*o.„.....-.\ Q.9&)4327 

<*»f *'•'••• g •'^»o 1663' " •' ^ ■'•''"tâ>^'^:-.. ô.'i5939"39 

A«m&...+ 0^3856 ., ■■■'.: , . ^1.345320 



, I ç,-*-.v — • , ;', .. + 0.563856 

>1 'un :à!uI r '-! 



. .. Ji .'. 



«r.:.i'?^:o' -.Ciz^' ô.^8i464 



/ 



(55) 

coefficient C àuiàlt k^ te 

coëfficteht I>^è ^(irdtt i^taeà -^d'^ï)ôdiya^^ Valeur neaf fois 
moindre 4uèVaàtV^!'Uike'ji^gè¥^**tt ée plus dans Ift 

lôDgîttide a', àvLvdh fâit^pà^ier^ D^'dâ'^iiégmif' àû pOBiUf^^ (l'où 
Ton vôîl d>t]|rW<^h 'iï ëft *^ oràhàÉK*€r'«(iàl^H kr^^W ^«61 1> lié 
soit pàsr dohhéè i^èè aSi^èiEf de JÊ^rédiâraâ^piifèii'éi^ <^«^^ 
Dans des cas sèmbUBlës ', 1! 'éotiTièiiâM^ d'évi^ tpot «B»|»toi 
de ce coefficient. Coûtinooiis -^^eëjteiidflfM d*a{ipliqiier lios Ibr** 

Puis^aêCèt I> sont de nfdÂo«îgÉfif<^it«?€tiMÎt ^ à fki^Jk 
cfèst-^-diré-qu!ati ig na^mabrei épac|ae dei», seconde obaerr 
YJatioa» 1^ comète étoit moins éloignée qae la. t»|:e da soleiL 
]^uite pour détermiAçr r ainsi que p^ diatimc^. de^la (SPlaièlt 
k la téî^ré, on tésoodi^a ïtesiquâiiond^isig) ;;;xp«i8â\il^ 
isalcùler les coëfficiens A et ^Rcos v^ d'aprèa leï^âanules (^8)| 
0Ù Ton fera = 6^' « ayant soiq d^îoater ào. logarithme, de i 
le log. constant 8 . addâoi u 



■ * ■ • ' 

cas h 9.88898a ;, '^6-*7"64 • 



"(..^ 



R ^•99**3*î 

i/:D 3.686i33 

I : cf|tf 2^».> 0<iiioi8 
h ..•.«. I«!i5a666 



co^e. ^.kkSx^i .,1 

(aRccw t)... g.^617 

Z^^IKXXiy'. Cela posé , en substituatit fif yâTëuf de R dans les 
termes tout constans', les équations (39) deviennent 

-j i.oSgaôSJ ^ 



tM). 



.11 



r*.-»;: p. 974658 — p(aRco^c)+/. 



/<)^'J^iBati>^.:^9é46âb Mî .\,r)V /;^^, >'^;i;i/; 
'^5^f ^^ 9.713736. 

|i!^ÇW»W.-4» .i>rlpil». (^«9). cité pag.,71), spiit. 



T ^ T- 



2£o-«i:;CO m-''>nf 9-99007» 

/(0^, P = 9*709236. 

Iràu l'on Toit que par;;çQ pcemier calcul la oiAlÀiy^er est déter- 
minée , à moins d'un looo^-et la distance p a moinsd'un lao^^; 
résultat beaucoup plnreMfct qvTon n6 devbît''è'jr'titteiidré, à 

■ 

cause de l'incertitude attachée à la valeur de D« et aussi parce 

1ifm^o8(mil>l».)âevQii^ 4ti9 ' exact». -^n'A^rMi vkon un 1 4o^ , 
Kd%qpiè if .Mt^dé 9V^tu:>«Dfai le la^ d«r68 jours pris pour unité 
(lii^^'.^S^^QII). j-.., ^.:|., . . .... , 

Mais si on examine de plus près l'influence de cftla atQOnde 
atûké^bîà (trouvera qu'efte n'est pas à beaucoup près aussi consi* 
dérable. En effet, la. seconde des équations qa!an vient de 
résoudre , est une équÂCt<Àlirigo«reuse , qui ne peut être affectée 
que d'une très-légère erreur^dàns la valeur de cosjS. Quant à 
la première équation tiit-A est la seille quantité qui peut par- 
ticiper à la fois de l'erreur des observations et * de celle de la 
Aiétei*, il^'aïsé dfe Vôît^V p«*^ W^^euS^t^ dô r et 

dé ^ , ibm'on « è'ttès* pet^f èa: — i;^. -r- , ijc«e^*=« "^^r^j de 

..T,:-*,^ '^ i p 1 5 A ï 1 20 h 

so^ Qu'une erreur i^if^ exemple, lAî^^A ; n'en donne 

qû^ftAe^de ~ sur p,:;et. ta»a-^ ^ 7— seuleqM^ suf r. Cela 

explique suffisamment l'^txactitQde que nous avons obtenue . 

dî^4^ solxilio^fpréc^jalj^^^'ians.avoi cependant une valeur 

de D fort approchée. 

XXXV. Venons maintenant aux équations indépe^dantei» 



de D e«^^ni âoxvtrit GfinftéréifftnréMil lits plan éet^tainërll faûi^ 



d'abord calculer ted ieôëfflcaett^ Jjr' 
mules (3i )• Voici le déteil.dc ce ealeul:/ 



^a^^ 




o.i53654x 



— 1.78X34S7 
P ^: — 0.3567733 

A— a*=>«o^ 4*' »9* 



9.711045^ 



— • 0.5160729 



0.0987035 

— 1.255^7^8 



•^*^ 



/h.>r.-. 



••-Il 



— .1.731245.7 



« . 



'■• •> i/î./ 



A — fl' = 1 II 14 44 «yA-a ).. g.9fl9S779 M^-^'Ps-^^i 



n ■ ■ '■■ 



2Ar-a^'-â^= 221 57 3 

«£» 9.8250966 

/4(rii0ft«...» i9»9i2i887- 



^%99i>9 

9.6884179 



' ».. ) 



9.7379883 
— 0.54611 65 



+ o>487a979 

Hr 0.1968417 

- ■ 

. + 0.68^396 
.— U.5461165 

Qss .-|-:e.j 497*3 ( 



* i 



■vl 



t f 



I. 



Vf. 



• - î 



f . 



«i#i(A— c').%. 9-9694327 «wi(A— a*;).,, 9.9710027 «i/iCA— a)... 99698.779 

toii|^ fr 9.9121887 long &....;. 9.9121887 tang &«... 0,1593909 

1^171^ 6»...^ 0.16939:19 - ■ taiig ^'..... 9>^78ox65S . ^^ar^b'^.oyo^ii^S^ 






0.0410^3» 






^ Q«4ao6548 



* .' . 



Al 



. .o.9iQ466i. 

~ k«623&Si7 
+ 1.6596768 






4- LôSè^-Zèir «r~ ^ ô.o63874g 

il faut ensuite substituer ces valeurs de P, Q, H, dans l'équa- 



Voibî le calcul des cè^9l!i4eiis danai lesquels là'>alefir de é,dn ^ 
»4^4^duile de fo^; |L p^çla méthode de Tari, XII. 

9. r. 8.934552 cos b '' 

t:cos6*.. 0,111018 'UTd G- ^ ' il, *-«wia3i 

8-93847a7"rV 0.61391 3 ' o.aogfeSy 

y ^y^ ,w,v -•- ^ è*;rt'r...'.-8;<J43643 

^•i^^o/r. i^r;v ., . o r^^-— .,- o,oo5^i3 ..... ^.., .^ ^r . .h .^ , ■ 



9.8668?i ' f : - —4.16319a 

^(P+Q* + H-) = 20.06817. 

» . 

On aura dnéô Véqaation - > 

- = 0.512917 -—fr4. 14526) + p*0o-o34oq) 

i''f- • '•:y'îM!' ■■■■ ;. T, .. . li ^ :.= ;■ .-: - .e 

log.... o. 6^7^52 i.OOi47o/ 

qu'il fiiul ççin^er ave^^r^quation déjà trouvée , 

., : ■.. .... i^kg-K'-uO^'i^^i^^ ._ ■.^^, 

et on trouvera pour solution , 

,(og. P — 9-7P95Haî 

valeurs qui onlrtauto l'exactitude qu'on peut désirer ^ puisqu'il 
n'y A que très-p^ dç^diS^érejnce entre, ces yaleurs et celles qu'on 
a données ci-dessus d'après les yrafs éléméns de l'orbite. 



■w 



f 

XXXVI. Il faut maintenant déterminer ces élémens tels qu'ils 
résultent. de nostroib ob;unryati<ms-;-or par 'le« calculs précé- 
dens on a 

^P 0.61 3913 -i^^... '€ilib9887 ^H... 9.866851 



r7. 






I_P= 2.1^6177 L-^Q==_o.83o748 

--^ — ....... 1.OÎ2775 I êinir o.oito57 t . ^ . ^^ ^r,. : | 



i^iKiM 






F9=+ 1^193409 Q'=-r-o.84i8o5 ^ 

Des deux nombres P' et Q' ainsi trouvés , il sera facile de 
déduire m' et n par les formales ( 3a) , qui donnent 

i' = P' «m A + Q'cos A 
n = — P' cos A Hh Q' *«'» A. 

EnfiilleB- trois autres qoantitéis m, n^pue calculefont par leè 
formules (27) , et on aura pour résultat Igs logarithmes sui^ 
vans: .. , " ., ; l 

m 9.881887 m 9.68i3oi 

n .9.715418 ( — n' )....:. 9.tt2$397 / .. -Q 

,p..y-:i.. 9.510753. ï /?'...!.... 9.576433 , 

où Ton a; indiqiié' (|ne ^t^nt la seule de ces six quantités qui 
soit négative. On conclura de-lii " 

mn — m'/i ==— r/iS4955. o-.ogrBSi * 

1»/?'^— m^p == *' -o.i3Te>^éi-;... 9«xig^499. 
np' — ^p-ss:^ o.6^5i83 9«7E90oi 

XXXVn. Puisque w»'— m'heai négatif, 1è mbùveine^i de 
la comète est rétrograde y et té/'équafionët 4i) deviendront : 

mn •— 171 >i' = cos I v/Tll. 



j 



'.'i 



'l/ott 



(4o) 

Des deux dernières on tire 

mp—m'p 9.119499 

np' — n'p 9.789004 

tangS 0.669505. 

Ainsi Tangle 8 est de 77* 55' 7% ou de ^S;* 55' f-, or il fout, 
ptr les équations précédentes , que sin S et cos S soient néga- 
tifs ) paisqne sin I ne peut l'être ni (/an • donc on a 

S = 257^ 55' rj\ 
GcNiBoissant S, on trouTera immédiatement I par la forînule 



{np' — n'p) 



ain S tang 

. mn — mn 

qui donne 

I = a6» 59' 45'' 5. 

IBufin on aura aussi la distance périhélie par la formule 

l/^n ss = — - $ d'où Ton tire io^. n==: 9 .9894749 ou cette 

distance elle-même 

n = 0.960449. 

n 
L'anomalie déduite de la formule coa^ t 4 = — 9 sera 

4 = i5«6'46'. 
Atcc cette anomalie , on trouve dans la table des comètes la 

temps correspondant T = i o> . 9697 ; ensuite la formule I =n * T, 
donne /= loî. 82154. C'est l'intervalle de temps entre l'observa- 
tion du 19 novembre et le passage de la comète a« périhélie. Pour 
savoir si la seconde époque précède la première ou en est pré- 
cédée^ il faut calculer la quantité k ^ ou seulement en déter- 
miner le signe d'après la formule 

h = mm' + nn + pp\ 

Or à l'inspection des nombres qui entrent dans cette valeur , 
on reoonnoil bientôt que k est négatif ^ et qu'ainsi à l'époque du 



(4i ) 

19 novembre, S'* 29' ^i^ temps moyen , U comète n*avoit pas 
encore atteint son périhélie. Donc en ajoujfwtà cette date l'in- 
tervalle trouvé lo' 3^54 ou*- 10' 7^ 48' 35", on aura l'instant du 
passage au périhéliip ^; ag novembro, f6^.i8' ig"^, ou novembre 
^9>6794. - . . ' r 5^ 

AJi.XVUl. Il reste a trouver le lieu du péràiél|e , !st d'aboi:^.: 
il fieiut trouver la longitude .liéliooentri(g[U6 ^^de i^^^pomètç^: 

par la formule tang^=^ — qui donneP^ = 34® 16' 42^', ou 

771 

= âi4® x6' 42' } la premier? ^at celle ^^îL^aot pficnsif^ipmiNi^ 

que «m 9 et ços p doivent avoir les mêmes signes que n 

et 771 respectivement , lesquels sont positifs; £a£n la formule 

to;^((p— S) , 

ta7ig ^ = — 2-i — L donne 

^ cos I 

^ 34** 16' 42^^ ta7ig(p — S).... 9:97937r 



t ! 



S.v- aSj 55 7 
— S =;= i36 21 35 



cosi*. ... 9-940890 



toTfg^ 0.029480 r ^ 

(r=i33®3'25'' 

. « • * i 

et par la quantité ^ — 4 + S > on trouve ce que les astronomes 
appellent le lieu du périKélie , 

^ i5*5iU6'. 
Rassemblant ces divers résultats , en aura les élémens de l'orbite 
de la seconde comète de 1781 , tels qu!ils résultent des trois 
observations données ; nous les mettons ici en comparaison 
avec les élémens corrigés qu'on trouve dans les Mémoires de 
178/, I«ge7i. 



»5 



.'t..'; 



ÉLÉMENS APPROCHÉS. 



ÉLÉBCENS CORBIGÉS, 



' . 



Distance périhélie o . 960449 

Lieu du nœud ascendant 77° 55' 7^ 

Inclinaison * 26 Sg 44 

Lien da périhélie.... .,..;...; i5 ÔY 4S 

I Passage an péril^iiu^mobre îigi^: ilP»î fS^ 19" 



9.960^95 
77» aa' 55'" 
27 la 4 _ 
16 3 7 
%^ ii^ 4s' ' 46*^ 



Sens du mouvement Rétrograde, 



;i 



» 



- '• 



^1 



y 



'Cli2 ) 

/ SX&IX, la différence de. cea d^tpi^ 3yslêines d'élémens est 
aeaez petite p^ior qu'on ai^ Um dç^éioaner qa'un premier essai 
de eateni » fandé sapr tcoia observations faites dans TintervaUe 
de dix jours seulement , ait pu conduire à une connoissance si 
approchée de la véritable orbite. Mais pour comparer encore 
mieux les deux sysléïnes , nous avons calculé dans chacun 
d'eux les lieux géocentriques de la comète aux époques des 
trois observations. Voici le résultat de ce calcul : 





» 


ÉLÉMENS APPROCHÉS. 


- 




/ 


Époque»» 


Long 


'. calculée. 


Long, obêervée. 


Diffén 


Latii, calcul. 


léOtit. «bterv. 


Diffir. 




i4 

ï9 

* 


D 


M 


S 


D M S 


S 


D M s 


D 


M 


S 


S 




3o7 
3oG 

3o6 

• 


>5 
5i 
4i 


46 

27 

59 


3o7 14 45 
3o6 5 I 26 
3o6 42 20 


+ 61 

+ 1 
— 21 


55 20 55 55 
39 14 4939 
3i 3 5o3i 


>7 

14 

4 


9+aa6 
48+ I 
5a — fia 








ÉLÉMENS CORRIGÉS. 


• 


' 




14 

24 


3o7 
3o6 
3o6 


17 
53 

43 


59 
6 

98 


307 i4 45 
3o6 5i 26 
3o6 42 20 


+ 194 
-f-100 

+ 28 


55 i5 14 
89 i3 53 
3i 6 34 


55 

39 
3i 


>7 

14 

4 


9 
48 
5a 


— Il5 

— 55 
+ 9» 



n résulte de cette comparaison , que nos élémens approchés 
représentent mieux les longitudes que les élémens corrigés , et 
qu'ils n'ont du désavantage sur ceux-ci que dans la seule lati- 
tude du i4 novembre. Ce résultat inattendu prouve que notre 
méthode a toute l'exactitude nécessaire pour une première 
approximation ; mais on devra toujours corriger , par des cal- 
culs faits sur des observations éloignées, les élémens donnés 
par des observations peu distantes entre elles ; car on ne réussit 
pas tpujours à représenter par une même orbite parabolique 



( 43 ) 



toutes les obsetràtiôhs d^ùné comète ; et-^n' m^ cle idlfi^rience 
sensible dans les 'ràlultatà>*ôtitfcii )^téîêfèt Termite ic^i ^tiê- 
fait le mieux aux observations éloignées. Enfin si k différenoe 
étoit plus considétablé^'it fsùdrtitBVOlil'^l^ei^^ tineûirbite 
elJipûque 0u hypfe'rbbKtJiié. '"- ^• 




f i 



•• ' i. 



• jfiuire application à la comète de 1769. 

* 

XL. Pour apprécier encore mieux l'exactitude de notre 
méthode I nous allons l'appliquer , non à des observations tou- 
jours susceptibles d'erreurs d'où peuvent résulter des compen- 
sations ^ mais à des lieux de la comète de 176g , calculés d'après 
les élémens connus. Les différences qu'on trouvera entre les élé- 
mena déduits de ces observations fictives et les vrais élément , 
seront des erreurs dues tout entières à la méthode, et servi- 
ront à fixer le degré d'approximation auquel elle peut atteindre. 



4 



Epoquê8, 



Longitude^ 



Latitude aiutrX Lieu du Q 



Log. R. 



I 

i 
O.OOS6S48 î 

or.ooa^^oi! 
O.OOSI838; 



Septembre. 
8 à i4h- 
10 id. 
ifl id. 



D M S 



D M S 



a"^ 101 
a lia 



18 
5i 
26 



9 
3i 

47 



6^ aa x4 S5 
h a3 a8 i5 
V 23 48 36 



D M S 



166 35 3i 

1 68 3a aa 
1 70 39 ao 



i - P U. 



Voici d'abord le calcul des coeffîciens D et C : 

o— a- ss 1 1" 33' fl3' a'— a = 1 1» 36' i& a'-^a" v= a3' 8' %' 

sin,.....: 9.3017609 êin g.Sos^iflS ain ,. 9-5944435 

tangh'.. 9.6446956 tcMgb'.. 9.6116907 tangb.. 9.6376970 



8-9464460 

Nmtib. + 0.0883988 
+ 0.08a 149a 

+ O.I7O&48O 



8.gi46o55 
+ o.o8ai4g9 



g.5i53i4*o6 

— 0.1706635 
+ o. 1705480 



••^ 



D = —0.00011 55 



(44) 

A = 348* 32' aa" 
A — a« = 247* i4' i4' A — a =? m^ 6' 35" 

sin 9-9647849 sin g.SiaBooS 

tangb'.... 9.6446966 tangV.*.- 9.6116907 



9.6094806 
Nonib...^^ 0.4068933 



9.454191a * 
+ 0.2845714 



—0.4068933 
+0.2845714 

C=^-o.iaa32ic) 



A — a = 235^4o'5i'' 



Puisque C et D sont de même signe y il s'ensuit qa'on a r 
comme dans l'exemple déjà apporté ; ensuite faisant S = 
on aura 

{o.3oio3oo 
6.4711642 

COS. 9.7611269 ' C 9.0876041 

cos b 9.9624933 R 0.0024242 

cas c. 9.7136207 ' • ^ 3.9374180 

aR o.3o34542 i icosb.. o.o375o62 



a'-, 



rfl*. 



(aRco5c)... 0.01707(19 



h 9.8370467 



XLI. Au moyen de ces valeurs , on aura à résoudre les 
équations 

p = *(— — 0.983394 j 

r*r= 1.011226 — p(2RcM c) + p*j 

et comme on sait que r est compris entre R et ïisincy on 
trouvera aisément la solution 

log. r = 9.946165 
log. f = 9.5o64i4* 

Les vraies valeurs de ces logarithmes , calculés par les élé- 
mens exacts^ sont 9 '940^73. et 9.513676^ d'où l'on voit que 
l'erreur est +692 sur le premier logarithme, et — 726a sur 
le second , ce qui répond à une erreur d'un 740^^ sur le pre- 



(45:) 

uiier nombre, et cVun 60*"* sur le second. Si' ces premières 
déterminations ne sont pas p}u« exactes , -c'est i^ck&'ihcosc est 
plus grand que R^, mais en diffère peu ;4e80Ftç,que,suiv;a.nt 
l'art. XY, les équations à résoudre sont très-^prè^. de lajimil^, 
passé laquelle elles seroient susceptibles de deux solutions. 
Alors les deux courbes qui se coupent sont très-près de se 
toucher , et leur intersection se détermine moins exactement. 
Four faire cadrer entièrement la solution de nos deux équa- 
tions avec les vraies valeurs de r et de p , il suffi roit de prendre 
ii5o au lieu de ii55 pour la valeur de D, changement qui 
répond à un dixième de seconde sur a? ou sur a\ 

XL II. Il faut passer maintenant au calcul des coëfiiciens 
P, Q, H, d'après les formules (3i) : 



sin (A— a»)... 9.9647849 
<m(A — a' )... 9.8425oo5 
a tang b 9.9387270 

9.^60124 

Nomb + 0.5572017 

— 0.5710873 



sin (A 
sin (A 
iàng b* 



).. 9.9647849 sin (A— o')... 9.8495oo5 

;)... 9.91693115 sin (A — a )... 9.9169325 

... 9.6446956 tang b° 9.61 16907 



F = — 0.0138856 



9.5264130 

— 0.3360571 
— • o.235o3o2 

— 0.5710873 



9.371 1237 
— o.235o3o2 



sin{A — a ).. 9.9169326 
co^A— ^0- 9*85625iB 
tang 6° 9.6116907 

9.3848750 
iVbm&...— 0.24^5912 



«in(A— 'a ).. .9.9169525 
co«(A— a*»).. 9.58761 74 
tang b' 9.6446956 

9.1492455 

— 0.1410086 
-.- 0,2425912 

— 0.3835998 



A-a« 
A — a' 



247» 14' 14'' 
224 5 35 



2A— a°— a'= 1 II 19 49 

sin 9.9691824 

tangb 9*6376970 



9.6068794 

4- 0.4044635 
^ 0.3835998 

Q= + 0.0208637 



( 46 ) 

«/i(A—<0... 9-9»M*5 «w(A-^).,. 9.84^5oo5 «KA-^-à*»)... 9.9647849 
ZLtangV 9.9457256 <an^ 6».... 9.6116907 <aiig 6' 9.6446956 



«■Éki^Wi 



» ' .. ■ "V ■ ^' 



9.4743488 9.091888a 9.4471775 

Nomb + 0.2980910 — 0.1235629 — 9P1766760 

— o.3ooâ389 «^ 0.1766760 

^H=: —^,0.0021479 — 0.3002S89 

!^ IW'w-èût voir quel est le résultat qa'on tireroit des équa- 
tions (33) et (34), il ikut multiplier les -valeurs de ï*, Q, II, 

car TTOi 4«4ïi le IctgfkriJthrae est a. 4764543 jd'aiUetunpfur, l'ar- 

iHîlè-Xtt'oii à /og^.t»»/^'*') = 8.1969643, ce qui donne :^ 



.rx.jR^î»î.-.f j^i4*6547 Q 8.3193914 , H,....v 7.3Î!»qi4i 

j;.. ■ .. V, .a.4764543. fl.4764543 . a.4764543 

f.^:r..'.L 9*^^90190 0.7958457 « 9.8084684 

rf^rr7---.,5-9975i4fi «««T-.. 8.1969643 . . 



■ r". ". . • 



0.61 65336 8.9928100 

^bmJ...— 4.J 35553 +0.098358 

— 4.1^6553 

. : — 4^937195 = eoe/I de ». 

On trouve de même , potxr le coefficient de a»*^ 

|^\p*+Q"+«')= 14.198485. 

• •■ • • . . ■ *. • ■ 

Subatituant ces valeurs dan» kfl.iquationa (33)-^t (340»^^^ 
faisant toujours - = o , on aura à résoudre les équations 

At ; ■ I. 



( 47 ) 

- c= 0*494434 -^ »(2.oi85g8) + ••(7.096243) 

T 

log»... o.3o6o5o o« 851098 

— r= 0.983394 + ». 

r 

Or connoissant déjà les limites de r, on trouvera facilement la 

solution 

log. r = 9.945435 

log. » = 9* 676141!; 

R.9 C 9 

et de la valeur de « , on déduira celle de p = • . -— . , 

D 2 cos b 

qui donne ^S'f = g.SiSigS. 

Les vraies valeurs de log^ r et log. f étant 9.945573 et 9. 613676/ 
on voit que Terreur est — i3& sijr le premier logarithme , et 
— 481 sur le second, ce qui ne fait quHin 3ooo*** d'erreur 
sur r, et un 900**^ sur p. 

XLIII. Venant ensuite à l'équation (35) , on pourra déduire 

ses coëfficiens de ceux de l'équation précédente , au moyea de 

^T) cos 6 - -I,.. 1 1 , , ^ 

la valeur « = f.- T>ii«r> > ^^^* °^ * ^^)^ calculé le coefficient 

pour passer delà valeur de » à celle de p. On aura donc de cette 
manière les équations suivantes en r et p : 

- = o.494434-.p(C') + p*(C') 

log.... o.468oo3^ 1*176934 

r» = i.oiifk26'^ — f(aKcos c) + f^ 

log.... 0.017076, 
dont la résolution donne 

logr=i 9.945619 
log. p = 9.6i3io3. 

On voit que l'erreur est encore diminuée sur le premier loga- 
rithme y mais qu'elle est augmentée à-peu-près d'autant sur le 
second. ^ 

Comme le résultat de ces dernières équations est celui qui 



( 48 ) 

mérite le plus de çonfiaocei l^orac^u^pp n'a çncore^açune çon- 
noisdance des élénEiens de.VQr))||p.,,ipoQ^ ç^ 
ce résultat , le catcul nécessaire pour pl^tçxur une première 
approximation vers ces élémens. 

XLIV. Il suffit le plus souvent de connoitre la distance 
périhélie I parce qu'avec cette distance et le rayon vbcteut o 
on détemiine facilement Fanomalie vraie au temps de la seconde 
obseryationi , et l'instant du passage de la comète par le péri^ 
hélie. Or ces premiers élémens étant connus d'une manière 
approchée p on a les moyens de les rectifier et de déterminer les 
autres élémens de l'oroite , en comparant les observations les 
plus exactes faites à de grands intervalles de temps. 

Si donc on veut se borner a la recherche de la distance péri« 
hëlieî il fout faire usage des formules (37^ et (4o); savoir, 
n = r— i*%et 

]b:=zfco3 6*/n(A— a).F+(R— p coA c) Q' + p 8in b.H' j (56) 
formule où Ton a fait pour abréger, 

,_ fcosb (î~7t') „, l£?iACT 

Q'^i^Q-../.^. (57) 

Or dans cet exemple on trouve 

p cos b sin (A-'^a).... g. 3925:^83 
F 7.8983630 



^tm 



7.3908913.... +0.0019538 

R — pco^c 9.9227514 

Q' 0.1754585 

o . 098S099 .... — 1 . 3537470 
ùsinb.TÏ S.agGjSSS.... +0.0x98055 

— 1 •^«31988 = 4 



éf 



(49') 

Puisque '£eist négatif > il s'ensuit qu'au lo septembre/ époque 
serVatîcm'iiioy'ennc , la comète n'avoil pas encore atteint 
son périjbélie'*;: on en déduit 

n = r — ^if =o.i234o8. 

. XLV. Pour avoir à la fois tous les élémens de Porbite , tels • 
qa-iift peaiivîent réralter de nos trois <>bséiTaÉion97 il fattt ^t-' 
cuier lesiTAfeori des six coefikieiis m, n, p^ ni\'n\ p^,^ d^près. 
les forn)ulta> - » / . m '- 



m = FsmA + QçosA 



' li* =i= 'K'sià A-h p co* ft jm a 

et on Uouvera leurs logaiîfhnies' comme il suit-, en observant ?- 
que m' est la seule de ces quantités qui soit négative^: ' 

lin...... g.gSga^iSg ( — m').^., o.i6(5a465 

n 8.8788956 «"...i..- 9-r4848i45 ! 

p....... g.iiSagaS p' g'iS^$37 

De-là on déduit les logarithmes des trois quantités suivantes , 
dont les deux pirmières sont positives et la troisième négative 

{mn! — m'n) 9.5766968 

(^mp' — 'w'p) g.5og30oiS 

— {np — n'p)..., 8.4485937 

• ■ 

XLVI. I^e^ce que ^mnf-r^^^^X^^^ positive, on conclut 
d'abord que le mouvement de la comète est direct ; il faut donc 
prendre le signe supérieur dans lea ^(^ciationfi (4i ) , et oii aura 

mj/'^m'p =i'amIco5S\/2n 
^^ »^'— n'p ^'MnX'8inS\/^n '' ' 

A l'inspâDtion des dhix dernières , on voit que sin S doit être 



i ■-> 



f*. . 



X^o) 



:-A 



^négatif «t^Mt'S'pbB^flâfr'Bor^ flr;Qalcalé ptr h 

.formule .,\ . 

'^ m/i — /n j? ; 

tangS 8*9399999^- « ' 



*• r \ 



doit être compris entre 270^ et 36y* j-èf comme la tangente, 
qai est négative^ appartient également aux deux anglçf 176^ i' 

45". a et 365* 1' 45". a, on doit s'arrêter au dejrii^pr^ . 

» = 365oi'45\a. . - «fV;., .. 

Ceat le llea da nœud descendant, suivant la règle de Part. XXV, 
puisque le mouvement est direct et la latitude âcutimle» 
- L'inclinaison I se caleal cr a par la formulé * 

mp — mp 

(mn — m il) cos o 

• - •. 

qui donne I = 4o® 44' i4'7. 
£n£n la distance périhélie étant calculée par l'équation 

(mn' — m'ny 



n = 



aco^*I ' 



on aura log. n = g.ogiSSgS, ou n =o.ia34i26, valeur qui 
s^accorde suffisamment avec celle que nous avons déduite de la 
valeur de ^. 
La distance^n étant connue^ oà aura ranomalie 4 par la for- 

mule co«*H — '^i^'*«**^rf'^^'4^^***^^W^'*'^8<>'^4'--^ ï 



T 



■-.■'.kv 



Cette anomalie répond^ da|is Ja ^ble des comètes, au temps 

T = 6a 1^749, «t ce tibmbre tétant moltiplié :par n^^ #a aura 
/ss a6^956o, qui a)ottlé:aoi temps de l'observation moyenne 
êept. 10. 5833, donnera M)^^37ï.&393^ cm; aa<Q(#^9»^3j^.pou 
rinstant du passage'delii[4)oniètè4)2rae.pérîliéliev 1 > 
La longitude hélittK^Mrtrî^tte f est dotinée fMr 1«. formule 



'( -fil ) 

conforme appelai de n , ou celui de cos p k celui de m.'tM É^ra, 
ainsi f ===#SH6'' et ç — S = gl56[^io\S. Ensuite la dis- 
tance o' aè' là -^iëmlte au nœud dont 1^ longitude cal ^ ^ ae calcule 
par la fipiTpft^ : 9 ^ ^ 

.- tangiP-S) 

COS L 

qui doniîe V=== i3* i' 5a*. 8. Enfin la somme S+^+4, puisse 
.la comète in àixfaé vers son périhélie (art XXVI), donnera 
pour le lieu du périhélie, i44<''8' 8'. 4; 
'\Wmm le résultat de tous ces calculs cot]i{MUE;é aux Trais él^« 
mens de l^orhite : 



■fli " I I I ■! ■ I II. 'I I I I , ^ II I IU,1,!,I ,,.' ,11 ■ 



ÉLÉMENS APPROCHÉS. 

> L-^ , 'l 



ÉLÉMENS VRAIS. 



4 

T 



1 

Log. dist. périhélie. ... 1 ..•.«. . 9.091360 

Passage au périhélie Octobre 7.'6393 

Lieu .d« noend ascendant 175^ i' 45"^ 

Inclinaison .... 7 ^o 44 ^^ 

Liieu du périhélie 144 ^ .8 

Sens du mouvement. ..<;.«;,..« Direct. 



9.090847 I 

175» 3* 46" 
^ 4o 4? 56 
144 II 3^ 



«v 



•\ ' 



QBSBRVATIPJÎ^ QÉNÉRALE. 

, XliYH- ^ft deux exemples que nous avons choisis pour 
l'application de notre méthode , sont aussi difPérens qu'il est 
possible^hDdiis le'ftemiei:,^nK)avffment en longitude est très- 
lent , et le mouvement en latitude très-prompt. Dans le second^ 
au contraire', lé m ouVement etrloûgitude est très-prompt, et 
)« flMuv<ement m latitude irès^lent. Dans l'un , TintervaUe des 
ob<eY^atÎMia«sl do 10 Jours; dans r^auire, il n'est que de 4 ; 
«toe|ifeAda]Sble^acaès4^3a ipétlwdeaéléà-^peu^près le méline 
dans l'un etridita»i^utre»<Oii A^btenu les élémens de l'orbite 
très'peu d^irûùBàoiJCGuaL f uft^^niio la.oopibiQai^ad'mi plus 



■a . • ■ ^i . ; 



< 5a ) 

grand nombre d'observations ou d'observations faites à de plas 
grands intervalles db temps. • 

Il y a lieu de croire que le spccès sera le même dans les 
diveurses application^ qu'on .voudra faire de celte méthode , saaf 
peut-être quelques exceptions qui pourront dépendre ou de 
l'inexactitude des observations ou de quelques circonstances 
particulières peu &vorables, telles qu'une très-pet)le ÎAçlipai- 
s6ri ^ë l'orbite, qui ne permèttrcHt pas d^employer avec sûreté 
M Ikdtudeé crbsèrVéeà. lié cas le plus défavorable de tous seroit 
celui OÙ Ià>wlétirbîtédifféreroil très-sensiblement d?ttne para- 
bdie : è{ dh ëil tUêÛë' tettips la distance de la comète au soleil , 
lors de la seconde observation , différeroit très-peu de celle de 
]a'tecf«'aa'<aeleit$ car alors l'emploi des éqaatiOYtf {'^9) pourra 
être défectueux à cause de l'incertitude sur la valeur de D , et 
on ne pourrait pas non plus faire usage de Féquatîon (35) , 

puisque - ne seroit pas assez petit pour être n^ligé* 

[ Au reste/ nous avons réduit les formules autant qujil a été 
possible pour la commodité des calculateurs* nous aypns donné 
des règles sûres pour distinguer , dans le résultat des formules, 
le nœud ascendant, du noeud desceadaut-^ l a s é poquco -arant le 
périhélie des époques après le périhélie , et epfin pour prendre 
chaque chose avec le signe qui lui convient, san^. ayoir recours 
aux figures qui sont cependant utiles pour diriger le calcula 
Mais on ne sauroit trop recommander att;^ calculateurs d'an- 

-";r".'i* ■■! ** ■'•■X 

porter le plus grand soin à bien déterminer les signes des différens 
termes qui entrent datis les foxliitiîéis^ , ^ét prinéipalement dans 
les valeurs des coëffioiënS'(D>'D| P, Q; H, d'Ài>rë&iés règles 
connues des sinus> cosinus et tangentes considérés danstles divors 
quarts d^ }fi circonférence. X4'attei|tion,ià.Geié§ird y est d'autant 
plus, nécessaire , que rien n'y. p^oA suppléer^, eft que lat moindre 
négligence peut if^i;e /augt^tenterrCQnsidérablenMntua travail 
déjà long et^|astidfeux,.ipu 40QQWv^ Cffoic^ oai-à^propm quela 
meiho4e qi^'on a mivip esik/défevcttfease.v \ * 1 ' '' ^' ■ 



^^•m 



SECONDE PARTIE. 

Méthode pourootnger les Mémens dèPofhite connue 

' par ufié première approximation. 

« ■ 

bus prendrons pour exemple la comète d^ 17^ 
qui a été observée pendant un long espficè da.tejofips ,1 ayant et 
après son passade par le périhélie^ et nous choisirons les trois 
observations suivante:^, tirées de la Cométog^rf^gb^c; {^^ Fingré^ 
tome u • page 368. . î. > ♦ m.l 



« I 



Tefnpê moyen 
à Paris. 



làongitudê 
de la Comèùe^ 



Sa Latitude, 



, i • î ; i I » "» 'i • • ■ • 

. ■ ■ ui i >-i j rvn . r „ ^ 



Lieu du 



Log. R. 



Août. Ti^. 52353 
Sept.. ij^i6(^8 
Dec... ft.2i4i3 



D M S 



D M S 



D M S 



I ;. . ■»- 



39 
i4o 

276 



58 
4i 



16 

ao 



3 17 3o A 
32 43 34 A 
23 33 2i5 B 



mmi'm 



SES 



. ' ! ■ ! L - ' ■ ■ ; f 1 ■ ■ ' ' ^ ■■ 



142 ai 26 
173 3i 3o 
25o 54 12 



0.0052440 
0.0018100 

>6o 



S 




Ui£î2^ 



«Maiivi 



'V' ♦ . ■ n ^ 



■ ^*' 



Supposons qtië pat les' premiers essais on a trouvé le loga^ 
rilhdfie dé la distance périhélie = 9.0900000, et Tinstanidu 
passage au périhélie le 7 octobre a la heures environ; nous 
prendrons pour 'tes deux éléijiens corrigés , 



1 . 



t. 



Passage aii péril|éli(e^ . ^.y . pçtobre 7 .5o + t (o. 26 ) 

La . correction «» ( loooo) est exprimée en unités décimales du 
septième ordre j et la correétWil V ( a. 26) réprésente une frac- 
tion de jour qui iroil à | de jour ou 6"", si on avôitr = i. Ces 
nombres sontainsi choisis y 'j^rte'ti^^on suppose qiie la véri-- 
table époque d a passago au péribfHe, doit être entre 7*25 et 
7.75 j et que le vrai iog. de la ^istanc^ périhélie est pareille- 



( 54 ) 

ment compris entre^gioS^, et gi/>Oi ^ ou da moins quUl /s^éoirle 
peu de ces limites. 

XLIX. Celaposé à Tiiidedecesdéux éiémeiisj^ôÂ doit cftf- 
culer les anomalies elles rayons vecteurs gui ont lieu a Hns- 
tant de chaque observation. Voici le détait de ce calcul àppli- 
qpe a la seconde observation : on y verra lés pncauttoiià a 
prcnare pour tenir compte des corrections iuaeteirihmëeÉf. 



'^■- J ; 



Passage au pérjhélic... ôcl'*'* 7.60, ou sept**" 37.5o+t(o.^?5)^^ ^ , 
Teinpsdo l'observation sept^ 15.63398. 

Différence t = ai<.8o664+T(ot.-i6) 

liC logaril^Hlieidediz^SoSoa çst i. 33 £5764 ^ po^jr-avour la partie 

4^di|^t^pt^eUe due à la correction t (o • â5) , on pourroit prendre 

^]lA.di^ére^p(^.lQgarit];imique de 121896 à 31807, làquelte est ic^, 

t et^ ^ul,tj.|;Uer cette différence par aSo ^ ce qui donnerait 4g75b ; 

^.d'oifk^rpçujlf 1q logarithme entier de * =^ t 33857^+t (^(9756). 

Mais pour plus d'exactitude, il faut prendre la différence qui 

céppnd.à u^e.unlté plp4 éleyéç,^i^p||ié en dessus , moitié en 

dessous du nombre constant ; par exemple , celle qui a lieu de 

21755 à 511856. Cette différence est 19^16 : oti la trouve facile- 

ïnetity par la dispositioh des tables, en remontant et descendant 

de cinq degrés dans ta même colonne au-dessas et au-^dessous 

de ai866. En vertu dé cette tiiffSrèttce', Texcès logarithmiqQe 

qui répond VT(o.r6) sera rCtglgiS); doiicPexoètf qiii répond 

à T(o.a5) sera r(4g7go}, péti'diffénAft de celui qtiV>n avoit 

trouvé immédiatement. On aura ain^i, ^ 

log. ^ =5: I .33^57614 + T ( 4^790 ). 

P'aiUeurs on a 

ri . f l^g^ ^~ * • 6^5oooo + , 4» ( 1 5ooo )• 

Retranchant le second du premier , il restera 

2 . 7035764 + T ( 49790 )-*«•( 1 5ooo ). 



C55) 



Cest lé Ipjff. da temp^ T employa à parcourir ane égale ano- 
malie 4 daiis îS^à^^^ 

Le logarithme 2.7035764 répond au nombre 'Sô5'. 53a. Pour 
avoir, la partb additionnelle, Vpbaeryje nue l'unité de diffé- 
rence eplre les nombres 5o4.8i et 5o5.o3, produit entre le^urs 
jogari1i],me9 la djiQerence 8093 iclonQ a proportion les dîné- 
reppç^^lp^Unn^iq|iji,es_4^7^o et 1 0000 , jdonperônt entre les 
nombres les différence^ â«7Q5 e^ i ^jA^. l)e sorte qu^on itura' 

T = 5o5i.33a + T (5i 795) — -» (i* 746). 

Dans la table du mouvement des cWtfiète^i'brt trfative'p*yr 
5o4 Jours jrânotnalîe' i3!i' 19' 69", ef' pto' îl joiii** dè^tj^^ 
^Dft différence de 4^:27'^ ou 4' 4^0. Donc l'anomalie qui.r^ppnd 
à la valeur de T est 

ou Von vpit qMë les corrections sont expriméléé èil^kifiikii^ 
millièmes de minuté , ce qui est pîiis côniitnàdë'p^Vr'lé''dà1éu 
que des expres^sions réduites toutes eh seéonaéi^ 'attëAdti ûdll 
faut rappprter les différences à une unit4 atînioiiiï égale ira 
minute. 



■ ■ ,. t: , ,tf 



II faut cheirçlier maînWi^ànt le Ibgàrit 

G0 logaritkm^^ i^oi» U; partie connue, est g^fiofiq^Si : pour 
avoir Taulfé partie.^ )e trouva dans. la table qu'une, minute de 
^u^ dana IVingle £iit dipiina^r }o Jogy-cosinuB ^e,2^65 , et 
qu'une ;(nin^)^ ,c)e,iiH)ins,l9 Jb^^ aqgmenter de. 2£€bi. ](!^ milieu 
4e*jBe& d^Ser^Nices ^t o^lbâ rr. po^^. v^' T ^^Ç P^^ ^'^^7 la diffé- 
rence sera i846i , et pour Vs^îaf.eUeaefa ,ôô6i^ On aura 

donc 

log. cos f 4 = 9 . 60^043 f — T Cl 8461) + ^ (556 

son double.... 9.2120862 — t (SGgaa) + 'i^Ciiiaa) ' 
log.ti.. •.^g.^bgbwoô ' ^ '' '-f'»(ioooo) 

Diff. ou hg. r == 9iÎJ779Ï38 + "ï" (36933) — V (1122)* 



(56) 

c'est le logarithme du rayoa vecteiir calculé d'après la for- 
mule (38).. 

r < Im Pour» aller ^pHia Ioû\, il est .hou 4e . diriger le calcul par 
une figure qui représentei è^peurprès la position relative de la 
terre T, du soleil S , de la comète ,C, et de sii'prdjecfiôn K sur 
le plan de l'écliptique (fig. â). 




fr^ . liDDgitiideda 0*»»«^^ |i73^ 3i' 

Long, de la comètç« • » • i4o 3^ n^fi « 

. Elong^tion KTS 3;i Su i3 

jB JSftBt:ei|<.(BQnobare l!angle CTS en^tre la comète. ^( 
lliéglb cpii.aététappisléfodao&la première partie, ),iOi 
4iàr-Ui (fltriimle*:^^ QU^^^xt^KJAm^ Ç,XK:^,,\où ;(?^lt 
«»(i»«P?îa^?^43i.34'V . ' ... • • :. . il . ,,., ..,, ^ .^,,.,., 

"' ' cds&TS.... 9.9342284^ 
C05 & ••9*9649015 



• *■* .'.AI ..p.. ■ tZli 



•I ■ • ♦« 



co* CTS.... 9-8«9««î)9 CT5î=,39',i3' »i'fl. . , ^ 
Dans le téiiicifle GTS>« ■ donnoistoi^l^ Ipf . d^ox c6\é»^f(r — R, 

l'angle TCS par la formule sinTCi^^ ^ sitt Ç[^S^ ^^ donne 

♦iqCTS.... a.8009486, ,,...;. 

I : r o. 199086a — T(369aa) + « (iiaa) 

«m TCS 9. 9348448 — T(36gaa) + «(lias) 

De là résultent deux valeurs de TCS-( parce ^q^e l'angle CTS 
n'est pas obtus } , et il âiudra se décider entre l'une bu l^autre , 
d'après la conhoissahce approchée âe l'orbite. Bans ce* cas > oh 



doit prendre la plus grande • savoir 

TC9 = laa» 44'^ 38' 8 + TC4^'47o)':--VCt' 



38i.)1 



• ( 57 ) 

et connue oYi^a déjà CTS = îg* i3' ai'' g , le troisième, angle 
da même triangle 

Cela posé , la latitàde hélibcentrique C SK = a , ^ calculera 

, ^ , -. sinbêin CST ' -; 

par la formule sm a s= — ; — ^^^ — . 

* «m CTS - . Il 

sin b...m .% . 9*5869544 

^m CST..... 9.4907547 — '^ (176446) + '^(SSeS) 
X isin CT&..*. o.i99o5i4 

^si#lA..: 9. a7676o5 — i'( 176446) + *» (5563) 

Dcrlà résulte a = lo* 54' 7' a — &a; mais les correctibnï db 
Fanglé sont inutiles à calculer, et il suffit d*aTX>ir celles du kig. 
ôosilius. On peut trouyer celles-ci^ en observant d'après 1^ 
tables y qu'une différence de 65600 sur le log. sinus , répond à 
tine de a434 sur le log. cosinus :. on peut aussi ipultiplier les 
corrections de. log. sin a par iang^^^ afin d'en déduire celles de 
log cos A avec un signe contraire. Ce dernier moyen ^ qui est le 
plus simple , donnera . - ' 

fo^CM A sa 9.9920993+ t(6546)-*«'( 198). a 

Maintenant' l'angle de comitiatalion KSTse calculera pai* la 

cii CST 
formido co» K ST =3 — I — — ^. ', „, j . 

cos X 

• ■ 

.co$ CST.... 9.9781336 + T (187 II) — •(569) 
'i:co9 X..... 0.0079097 — T (6546) + «(198) 



CM k»T... 9.9860333 + T (i»i65) — •(371) 

Commutât. KST = 1 4* »?' " ' 3 — t (37' Séa) +"« (1 ' i Sg) 

Louât de la terre... 355 3i 3o 

' * . *t-| ■ .î. . ' 'f "' , 

-Longit' héttiÉi. # •» ; 7'.,68'4i' 3 ^ t (37'36a)+« (l' iSg) 

- I 

LI. Farces calcol&i on a déterminé l'anomalie 4 > la latitude 

8 



t 



(S8) 
ïmikOLtiHpUS » ;'« U longSodi! MKocehlriïOoijik Uxfomèl» 
lASr'IenaoïWM'as lIobMMftlliniMirirJ »epl<iliibrtliftr.f»ni.*» 

du 3 déccÀbï^vei'M< itlIM'US tvMuliitta «tinm /dsniiuqubte 
M^i-aùiMgliVptlt'l'imiit'* «iUt'âlïilfi»»4'> €r.|>w»!Mc««it ' 
éènx Jil a (Bb«lrt*e<-; '■' ' r- ' ^ " •• rivn.l, 1». , . , . i 

. .: ( 1 fl,,,ii|,-rirti,»6't3'6!ir .+,r(-3»^.)-f->T(.»'S;S) 

Sipïnkrel ' .■''■' • 't=î^'° sV56*;» ¥ r ( . ='8;|4) -ii(S'«85 ) 
" à*ïi.ï'--'?" " i' = j 58 4i.3—t(37'363) +•(''<%) 
«i«*«*<''tei«>'k = "'b.ii7'676i.5-T(i76446) f >f C636J'y 
îfot 110 Dl£!P>r; i-G :i- ; " - ■ ""■ . fcK>':?>b î- -Jl rlm< 1'- 

^Hk^Uîltl a.' '. +'!h'ï46'37' rt' f-ïC-î'SooO *>*•(»**>) 
(?«W**,W*- «V»>' =»i. ».969«llîr9:+„r{»7Jaj,Hw«<0WJr 

un' 'MCJlli;.!:- ".i .::i,< '•■ •■<.■'■ 1):: ^i" ' ^" 'r ri-I^^ 

soJçiJ , clç^tpi} jujrboe ^it xênooïiliép parle ;l^>i,^ i*ip)iilif)m^ 
et par celui de l'orbite de U comète. Four mieux eaisir^f^ji^j^ 
tion respective des diiférens pointa , on pourra supposer que la 
citto»ttr<lnt»'4«lVdi|>tii)lie eitd«4<6)o|«$SeTMf <îni'(itif>i (BjjiB), 
etiferme la iHgm '<«<>i<»'i>tT<> 'dim'<Mpit!Uél'ni<Ny>Mntqlil 
premier point d'ar^» ,:TS4'ot«âl^')feâ'8Tg;ilW,''0 kîilcBud aseea>' 
danl , elIlO^U dioëud iuOtlIikMt )terh«l«)Mil«I< lApcMqm Jpaint 
de J'édi^^nq,- (nB!ntr> Kj a)i>ytiet[^tl«llre'4iiW^<i^il<rii)iop« 
lairo K€ qiùirépcéwHt«<U>lsfiaiaoi><eitt'.«l>UiM j^'taitmAifc' 
temp» qu& TJC <Bat'u'UtnfJUlA^>e<:'la^Mltoi(M>'P<>iBts'e.fi»- 
mext.'U lignu sÎDueiisfr ûOo^^ i^r'Mitrâari^fePÙliKnbàtîbit 
dU'J^lBn ds l^^ite.ayee^l«'^rl!a4b^^kért^iJMr«IAieeix'tT^ae.-«tt. 
sakiioOuiçtàtuiiuie fcpiioj>»tidkirie»ltii^i<|«*n-fti«» laliri 
tudes sont représentées par des grandeurs proporlioandUai }> 
mna les »ai?dn'iaeiBV<>Éleftl'tiâïtae*tri4<l» Mnt-ikiaéa dans 



(Sg) 
lîfci»déQ«Wrb«:trGOi»e r«pr«smm4W9AA]lpeB>49mTM<H^i«(9^ 

dant O, est d'environ 5°. Au i4 août, )&, cqai^tç|;élqj| V*^ 
point C très- voisin' du nœud descendant, puisque'la dis- 
iaiiiîf TKTxbi^ifeaètitHi ^*''de'''1a' kirïgîtude ç"j n'est que 
d'fetïvhi3ti°3*/AttV5"«iHabibfeVI*'i'<ïW*t« marchant k^S'le 
pà^hiSliè ir, s'Al^ûflvëtfMi-CàVifc la JôogÎTudeVK d'envi- 
roi^y. ^■rrivée au périJiéHe II le.^ oçlobire,clle «'est trouv^ 
4ûMitte ^'environ 3i* dû nœuâ ascendant Q. Co^unuant sa 
ifCfirtp^ j4K." P^^sé lé noeud, sa, iafUude est.^^ererilie.^fejjrç^^fc 
'et enfin le a décembre , elle est parvenue an p<»nt C où Ton 
i ' yK* iâ 63» 3eft inViron ,'vliteit3[/ dé' 36o' -i- p'. Si r^rWte-dtf*;» 
^oinète est «xdcteittènt -fiaïabelKjuc , il ne lui reste i paféoarj'r 
dd i'aiifeabter^g^iiJqâVndflid, qne ^-afrc W, Aî^'^efa» 
égal k nn. Si cette orbite est elliptique , elle continuera son 
iti'oaV6iBëUl^%à*à'ààpi5cmth^'Ât)-pa'Atrâaaâtiyi£fia^^ 
rMà'étiti^e ^Mi qu*àri ifr^Ië' très-petit dàtu AÎif hI^^^^s t-âk- 

^13^1^^^,..: 7..m ..-.'( ^^ .. .J:.i--;..-.i:.i>i.. .,-,....: 
si r[j^ T:;iH(<,tif'tMl.;.i' ■■•> , ^- ...;.;■.■ î; ' ■ .!:. wit-r-ï' 'v f«.-. , 

IjOE lAtqriiKToir^n» CiitMidie <vii iwHi>«i«eiii:l(àloo!nT 
txiqitadtffccvmètQ.^ -«remtfns àiUt d^crmimifioa'TtMitt' des «ofa'ffifc 
«M» i:«.«!<i»»dM,di^w»<M««»»(ki'orhit«. -•.-,,.;: ,„ 

ri^aoiiniftirf «il«!»i^«K p«ilUl9tCi*,Ç4 et: paxik pMs delMolip' 
tiqn'e4:ltan9 e«->ti9»Bgle, j^^Qt^itt les «dté»<de l'ongle dt»i)61e, 
qmioatlea o<iaifléii)aui4e( latitailo K'C, KO;ïTeor<ng<« 
coaipa«iaatuM^jy«P'llw(^i,K°JC.:»s-,36a?-f>t"p4-«>£oni.pcat donc 
i Uli-i» | in tiii«!>rei«ailw J^ C'Cini. doU i$t»<S|<d àUdiffii- 
l<oce^sjaBM«l)«M^A>Ti4»;£«t.id«-li tteilterf^nMiond»: 

ÇOHdHi»»^ÀJ !■ ti'T' ■m>it--^'i'-i ^i: /■-: ;)■■" . ■ '"• ' 

.;t ..l «•É(.4.*—+)l=«>«H(»wft^)i<!M1««»»*.+»Bl •'»»>«••- (S6) 



((léb ) 

eSlil«tP9blt«lMi("8V»''(ièi«B><ais 'iâ'M' «oMpAriiaoïi des diiin 
«kn«é«t«'l^'a*»l#ô , înDiimïinl i .;i% i.im i ,»■, J . ..•; 

.iiU-Jq-c^-t: iDuJiuytn ïi^Mu'j'f^} .-us>' (liii:-! ■■ j m>.^ ;. t^ 
et par le moyen de ces deux équations , oa pourra déterminer 

iHtS :&ii' .;iw^, r.r^.- ;,'. :'p <^: ^ . -...j , > .-.■; 

. mais elle a,ij;j#R9PJné4i9pt d#..«ïppfl6pr.ttO#.i«»..tCQkijpPmtfl 

/" "HL^ C*, C , C sont exactemenV dang ^ i ^ ff ^w e j t U» , et elle n'offre 

^ ij^às.les moyen» de'corriger on au, moins de diminuer l'erreur 

qui auroit lieu si cette^ condition n'étoit pas remplie. 

"*''Çto, ri^èSbrl^^roW'poînr la" cottàilion essentielle dç^l'ùriiïâ 

'Qii^\mi\'én tbVtnàïïpar la cômliaraisoii des points C et C''iirie 

^ r^.w^'hu^ -iiAmMê'fyiî^oii'-kmiAMé ad'^'' équations (55) et CééJ).^a 

^'Jm i»^'* " effet, celtë't^ï^ièmé'^uatiô'n s'éi^it nécessairement une suite 

f;W£.^*^ ^^\ (éè. deux autres; caV ît fiiudifeif quf les dettX plans C'C, C°C 

J^Mt^i?^'^ Aw^eni@; unuuagle bieh diffiérGi^â0j8D%pD«v.qp£l'«mCC' 

jL' 4M«V^ **'j*' «ffné^^v kdf nmnfc' de C ea ;Çi't frite«instbJûment,pla^pe(itiC[Be 

\^fu^ \y ^ «ôraiiMrieB ai:fiBC3£ï'^jÇf & iVotoî donc i« mayon^^îonponi^ 

' JC4il^irfnpip|r«..i= jij*. , t -■■'..' 'v.^^i-.v . • >-■ ^)■,\, .;'-..j*..ij... ■; 

Kl nilti'S liUJi'. 'tH.i c 'U'-^'î e.'j.r '.,. , >.i(^Mi vi '".ti;: ■•. ;.i ,■' ■ :)-., iiriiî;' 

^j^i;.îiY,. ppi^ççoi^t qqe Vois EQJria et, Ç,,<3'i.Kînt d9^\t 

iBHh .4!«>».n»4we,eçflqdl.cçrPÏfti sllwJoçigiitMdÇ» d^ ce» EpUlts 

.•"j-* 1 /ç*kiÇftfft'JB^»rfeft\VyïfcA' «ïi^ffont iJ'égttatioU;. , , ,^| 

.^•'ir Wïi.îti f< y)i ïrjsifcv *li)i» *-j ;'.l. -juiiif».-:!.:, -|.u. ^ ...,i t.. . 
ou ce qui revient au même , si entre les anomalies 4 , 4, 4 . 

et les Taîrtndcs a , a. , x , on ar équation 

.., Tiii '■■;i' .:"t }X\jiiiinKj»\ W:if B n iM ».'(■ ï; :<■■ ,iiii:i;--/ 3'^p ii JM^ ; 

■■Si'>BoiHo>«>ta'vii1uHttt»- )Mi^valebr»i'dwinée*'1laffJfJ ri#(îcl«nEj^ 
■«niibmïr^l'ttt de préhdi-»^^ '«t •^ MgatiréMtoyt ; ort'Mrft' iih« 
tVoisii)ii«;'4t)|tikm«tf,^ lAi^ïhii devra ^éttte^ «(«WbiAee' AVetf4«fl 
équations (55) et (56), afin d'en tirer ilW'Vtfk^t^Mè >t 
«t de«, i)u^y'SafùfilSMm-iiiM44>£«p>i''$<»^tf «ï»p»<34r. rddis 



pour déterminer deux inconnues , on,rf^[d9Î;(: paB\prétend^ 

fUsfaire exactement à ces trois équations, mais seulement 
ercner a rendre leurs premiers membres trèà-petils.^ 

LV. Connoissant t et « , tontes les quantités contenues iikds 
lé tableau dtt' Part: 'll^^krvieliidràiit «nffièk^inebt'tléteriilih^es ; 
«à ««îiloiiiéra «nseâle l^noUiiaisott l:^ai< là'fbtttàalé -■''■' 'i<^>'^ 



^m f •+^ — 4) r ^;^^ 

tance ÇC«) 4e même signe ciue «-f^ V^^^ç.Sm fe^MîfftiîfiP 

iîï :toMiotirs supposée moindre q^^ Ks^^STSmJ A*, Jîfifî- 

muié , on aura la^lo^^^^ nçiru^ S^^ar ||^(p^ ^^^^^ 

.>..GeÉte éq^nadôon, dâns^flaqoelte k doili tdu)imra< ëicB 'itegdff^ 
osmnie pciaitîfydoniiera^ar l'anglB jp -^âdottxstTtUirais^:^^ 
piJÎsfISientife lO^/etftSo^jioii m» iîre^.iclaAû ideox ispèleiirftide 4$. 
L'équation sin (p^ — S ) = tang a"" cos I , qui a JîeunismblaMËl» 
ment, donnera de même deux valeurs pour S. On aura enfin la 
ti-ôiàfime^ê^uafioB? 3irè(^'^yt=±iaHgH' i^sti^àUVëti a'^lJàîi^é 
le SÎJÈhé dcif prtirtier-^^iiïbre, afiii Û6 ptfcWAté çWéttiVëiiïeiit^lk 
latitudef A^-, qui est ûèèîgM contrairé«uJc deiik antres x, X*)^, 
à^ résttlteFOiM eucore^tdett&*yl^earsde.S.iOlrJ^id|ans^chaq^ 
système, il çst nécessaire que la même yaleuf de S se retrouve, 
ou exactement ou au moins • à une petite difi^renpe prë3 : cette 
différence venant de ce qu^on-n'a pas pu satisfaire exactement 
àtix trois éqâniipris qui détet'niifïené'T et ¥. On pr«fnâr£t donc uii 
milieu aq^ c^^tfQi§c,^^lfVilll;fl^ & peu dijË4r<%tes:^tre elle^^ 
et 09 ,«4^rar Ja kH;)git«.4S;^4'<«^CL B€eud;90q^A^ w a|i|p]iquera Ja 
règW éç lV|triXX.V,'P9*r;«iyQir « q^ftlile wwd^^^^cendant.ou 

]e Qœu4,i^ÇWdft|lt*>«-^-:.> .'î3 ^ i-^'U- .- "') r ^ ^ ■ ; .- ., •. 

:-;Par ^-yftl^^F^VPQ^P^W'/rd^.X^ distance 






déterminera par les formuM'aé'jiaKbdi^lf SUt^liîàS 'Mniiis^ 
saÀiie ^) tons- (e^Q^t^enir Ctt^I'^^tfe (^ déàsit-tAiéiitfent icTe la 

naA«Mr^l^.,r€iep^fidanffxip]te:>âi Fiiicwivéllifint ,^4e \^ ^DkÂ^t^, 

des erreurs très-inégales sur Jes longitudes ou sur les latitudes ; 
elcrest ce qiTirfiiut éviten^ Nous ailohs donc exposer une aulre 
méthode qui parott dé^^^îr mieux' *ï^ftt^ nôtres 

o«V-'v '. "^ "/H^8p'^/- t"' c ■?. "liwi.•- 

LVI. Sapposons que par Im jTpcn^jtdiâ prà pu par 

une première connoissance approchée des élémens dfe IWbite, 
on ait trouvée! ^ 40^ 5d^, 54^*355^3' (éWt 3é4ien du nœud 
descendant >,Gt» éO oh rfe"^t6*48'. \ - '^ d.iît l»u. » 

.^pçelonsf^^r^^G^r^ .f'^p^-S , ou ,k po|té 5^]^^ 

du triangle s^érïqne rftcCangle uKC , on aura dans ce triangle 
lèSiid)Mhk'éçtà«ti(iiis^'^ ^^ ' - ^^^ ^ ' -^^ ^ - '■ H^' '^^ -•-•'• • - • ••' ■ ■■■■^ "--^^ ^ 



oc* 






Moiiafpi^endfolla^ pcMir^itepib ttorri^s >de-4 <bide> tesdeax 

et paV leur substil^ntion dai^s ]'équatiQn .(64) jjou nura_ 
sin 9' g.46og4ô6 + u ( 20910} 



( 63 ) 

Calimlaxrt de <iiièttieQé$ ^àtHàù £witiiilifiP ^'»^i=*â?(iiii^ia<div«^)^ 
^m x' =â ^î/i I «//} / ^ d'aprè»^ldà» Vflâtm^Hvôiad^i-kuii^Aali 4^ 

et J^e^. M^x'y^l^ueltos Mmi^ttt^esà«x «V^lileMrâ^^^^a^ 

Maintenant le calcai de réq nation Urne »^» cb« 1 iapg 0*, donnera 
/an^^ 9.4798887 + ^(3^830) 

d'ailleara f « 7» 68'4i . 3 -*: »(37'36?)rh -^f^^ /rf t- J. r- . «^h 

Les deux équations tangK^'zszcosltang^*' ^^^^H^^rr^t^^Sfdi 
donneront semblablement r - « n ^ . ^ . j*. 

*ttr= 4^ 58' 7''6 — z(o'i«>'4^<3'787)^'^f3'33i) — -»(c'469) 

La seconde valent de r^ étant retranchée successivëhlétif^iié'^ 
la première et de la trôfàiètnè /on àujf*k deui: nouvelles difie** 
renées ou erreurs , ' 

E"= -:r>f^f^Jt'^'^j'è'fHKà'^1iBfk-^(4o'^^'^ » (o'67o) 
E' = 6'35o + z (2't«jf|+V<ar'odaf+ ^(yeSg ) — 4 (7*2 1 1). 

LVII. Toutes-les conditions da probl è me étant ainsi expri- 
mées, si on-irouloit «nëltflifr à^ li fbîs^lès citoq erreurs E', E", 



(64) 

E"', Ë"*, E*, on auroit une équation de plus que d'itlconnuea , 
ainsi qae le comporte la nature de la question. Mais comme ce 
ne seroit que par un hasard singulier que les valeurs des incon- 
nues- ZjU,rf9j tirées de quatre de ces équations , satisferoient 
a la cinquième , et que même dafks ce cas ,* la méthode que 
nous devons suivre conduiroit au vrai résultat, nous lâcherons 
seulement de diminuer les erreurs de manière a avoir la para- 
boie qui satisfait le plus exactement qu'il est possible aux trois 
observations données. 

Nous commencerons donc par déterminer r et v par la con^ 
dition que les erreurs £"' et E"' soient nulles ; ce qui donnera 

T s=s o.i344+ J8(o.oai43).+ 2i(o.ooi3}: 
»= 1 .0606 + «(0.3378) + »'(o.a^93). 

Substituant ces valeurs dans les trois* quantités .E%.E", E'S on 

aura 

E' = a'.948 + «(i'.499) + «(y.996) 
E' = o'.oo6 4- '(o'.ofig) +«(3'%o4o) -.. 
E'"= i\4i8+«(4'.78o) — «Cl'. 167). 

On voit déjà qu'en faisant z et u égaux à zéro , toutes les 
erreurs se réduiront à deux; Tune E' d'environ fi'^,raulreE"' 
do 1^42 ; erreurs très-tolérables dans la théorie des cof^ètes. 
Mais il est possible .de les atténuer encore en cherchant le 
minimum de la somme des quarrés des quantités £', £'\ E''^ 

LVIII. Pour cela, il faut multiplier tous les termes de £' 

par i.4gg coë£Eicient de Zj tous ceux de-E' paro.ôâc^, tous 

ceux de E''' par 4.780, et ajouter les trou produits. Opérant 

ensuite de la même manière par rapport aux coëfficiens de u, 

on formera les deux équations, 

o = io.i4^ 4- «(^5.099) — i/(ot9o8) 

0= 5.098 — x( 0.908) + tt(i9-58o); 

d'où l'on tire 

JB *B= •— o«4f44 

u =?:'— 0.9796. 



(65) 

Âa moyen de ces valeurs» les trois erreurs £', E% E'% 
deviennent 

E' = o'789, E'«— 0:868^ E"=— o'a36; T 

dé sorte que la plus grande ne ta pas à une minute. 

Substituant ces valeurs de x et s^ dans celles de r et dev, 
on aura' 

m =» 0.8466; 

d'où résulte le log. de la distance périhélie =sô -0908466, et 
l'époque du passage au périhélie : octobre 7^53ia 

Des valeurs trouvées pour.z et », 6n déduit TincUnaiaaà: 
I = 4o* 47' 55'' 7 , et la distance ^ oU o C === i6^ 46' 36'i. 
Ajoutant à oC l'anomalie 4 =:i32^ a»V56'8 :f r (xa'8g4) — 
m (3^885) = iSd'' ai' i5'4, et retrai^chaptla^pmpie.de i8o%;09 
aura la distance du périhélie au nœud n û = 30"* 6a' 8' 5. En^ 
par l'une des expressions de Tu on tfoo^o Tg = 4^ 66' 19^6; ce 
qui donne la longitude du nœud aacendant 176? 3' 4o^ 4. 

Si de cette longitude on retranche la distance n o du péri* 
h^lie au nœud, il inestera ce que les a^tropomes appellent Je 
11^ du périhélie = i44^ 11' Zx" g. 

■ ■ ■ ■ V 

LIX. On peut donc établir ainsi les élémens de l'orbite de 
là comète de 176g, en tant qu'ils résultent des trois observa-» 
tions données : 

Log. dist périhélie • «9.0908466 

Lieu du nœud ascendant 175^ V kfil* 

Inclinaison de l'orbite • 4o 47 56 

Lieu d$i périhélie. . • • • • i44 1 1 3a 

Passage au périhélie .^ « •••.•• octobre 7 . 53io 
Sens du mouvement direct. 

Si d'après ces élémens , on calcule la longitude et la latitude 
géocen triques de la comète' à -l'instant de chaque observation, 
on trouvera les résultaUtrnivans : 

9 



(.66 ) 



i 



à Paris. 



te 



calculée. 



Dec. a.2i4i3 



,. 'M iii. rn 



1 '*J yn.uHfp i i;^ rr-i ^ i i:. Tî 




obêeruét. 



Sepu i5.6«|398 



140 39 14 
276 4i aa 



i4o 39 17 
376 4^ ^o 



oalcutée. 



ihÈk 



it •»> "■ «uti/^i 



—3' 



^ 



Latitude 

)(«r>'> '11!'* 






a3 33 16 ]s3 33 a5 — 9 



()ù l'on voit que les erreurs sont insensibles sur la longitude , 
«i ne'Tpnt'tiafkii'ïfeuéiJa'latitadRi .- • ': >:;: 'J J.f... 

ëléikteiislmttvéiptaJiPtn^:^ dkprèfcldi ac6ni«aoiio<fHT|» 



.' ■ il 



les observations extrêmes da 14 août et du 2 déoéoo&n^Biaia 
>ti[inf'^afasèrr«tibn:dii-i6 •Bqptembre , ibrjéoimèntfiBr Jtrreift de 
À^^ tnif sUr hi i^Bgîtcittf ef/'^t ùd^ db if ! 2/^7^^ faini? là |atitiide4 

'j'>iOic'àa?raétêr^ éidPfappèsTtéè éléBmM^qaeii(mfa^0A&'t?bavés^ 
ou d'après ceux jdftPingré; ont/ caltutètt* les. ^limijd dé te oomèic 
.pmti>iyaatre8*ié{kMinè6 bii *clld .^ékévObterVéev ai^^^bouir€roit 
^osi^exiȕiB<n|Ir?^anoti iJSiiiijiiile8^}et^ uAtak ^^llUyftBiit.rsiikrJ[a 
ffakigiiéde'qQfe aùr l&tlotkiideifCrestipifœ cdteiiNMÉciiic4ix( PingÉé 
im^mênie )twWfsè .diflBÉ rttrtff g.; otbitfea» »€p) Cftbttl»gt/<6 iffi é a igi iiy 
"^cbstt^actiomjtttiEitâtîil itrimlr» l!iii9lliiawHitrd8f4<in>4J{:'^^i 
tflDtM !iît>iaetroaTe d« 4û^'4:f^ 16^1 et àiiisfidq»'fiiit|esëi^eiisi. 

' £1 h'Ly^tanentii'ConGliirp de^4àcoDt|r&FexlMti*|idB des .calculs 
d^lh^èd ^CMfiMtkiwi» ^maa% Aeràé\!tTnAm6pVpt\s^eiàA faiMnète 
de. 1 769;^«t3cai(|tla >dkmii«iii9» entpb tostm'ieffqpatoaljQlkabfcis- 
sibles , Tune de celles qui: satisfont le mieux aux trois 8bi6ii- 
vatidiis ^ka*oéWiMawttitn*^9M9i|>te^^tt'^p^^ 
probable^ d^apcès ees'différeficM^ ifèe)â^¥itftBk>l'Mtp étdroomèle 
de 1769 n'eil lioiiit ané ftUMtbole; U'£railroitf£kcuter'«de tioo- 
veauf IM' observations de C(ptt0<M«i£ta^ obctfsûr kea ^tts «xactêa 
après, leafimiir Corrigées de>^aiMrr«Aoll^et»4i la ^^ralfoxa, et 
alors on pourroit essayer de délermiuer Tellipse ou l'kfpcrf- 



(67) 

bolè'qai est la vme trajectoire. Le cafcàl ncseroit pas beau* 
ooQp pins compllqaé qae les précidens; il y entreroit l'élément 

de plus. -<y eUiaiftohif rvatLons suffi roJenUQuIours pour résoudre 

le problème; niais il seroit bon d'en faire entrer au moins 

■ 

quatre en comparaison. 

Obseivations sur la méthode précédente. 

LXI. Pour avoir une idée nette de. Is^ méthode que . nous 
pnipflBOBS^ «t ddnt noqs avqns'détqillé ksifalouissbdansi un 
exèapie., il fiqibob^errer, qi^'elle .eat eQrafîqléc|^lte'qula)lre^fai^- 
.! , PrÊnUèra..paTti9^ Apràs^ aroir irqu'ésenlé^ltt Jc^tmikinâ di9ila 
dîttanceipéHhélie > et l'kistknt^da pa^Ml^ps j^apërilhéUe par deiw 
expressions contenant chacune une correction indéterminée , 
oncalcuJe^d^Bfirètoea vaietunii i'flnomplii»4 M lo:n|rotf.teo* 
leur r pdot Icmoment et chaque» obaearvMLiont^ i; .> - . Vy\. 'm .,. 
■■. . ^Sêoiuulê parfieé ConhoiflBAnt tout À**]af-£aîs Ip: ray0n.';Yeotfln|*^ 
. Ja JoDgîtade «t la ktitnde de àê. comète données ipar l'ofaoeffM^ 
.ki(»V 1^ longitade; da sol^ilet/sa ïdiatattoe % Ja iefre.jibiiuMtes 
.pBor.leiilablea^.oiixaleiil&tlBJDOgîtMle.etlE ia^tude hélioceo^ 
traques de laeonaèbaf >ot:po0k* œt effet > il est boq de.jconatrfiice 
une figore jqmTqpréfiente.à pèn-près lea posUioiis.^eBpeclhres 
deadiffikenâjKiiAtay et qui aidera «le plus aouvenl iriixer Tindé- 
terminiftian' qde préwntei datts^certaâns «cas le ftriaogle GTS 
daas lequel on commit deux côtés ^ et Tan^e exposé à Tun 

- ^i^wéÊÊAtaHéit eu deux premiéns Qpënl&oAs , 4oiit on peut 
fymoM\^BÊk pMifr «aUeaiiv^^iiMfa v pour Piastant de ohaque 
dfaicnNtlwt»^ l^ntfmalie 4 > l<t lengitude àéiioeentrique ^ , et le 
i^^. amnadela latitude héliooentnqae A^Jifaut eMuito procé- 
der à k délenoittation éa plan de l'orbite et de la position du 
•pénfaélie^ \: 



(.68) 

Troisième partie. Ayant représenté Tiécliptiqae par une ligne 
droite, et l'orbitede |a. comète^ vue du soleil ^ par une ligne 
si^^ei^se; on m^rqijipra aur celle-ci lea clifférens lieux de la 
comète 9 d'après Içs longitudes et latitudes héliocentriciues déjà 
ca.]9{ilées. Ojûi y mai?quQra également le Jieu du périhélie qu'on 
doit déjà connoitre d'une manière approchée par l'une des ano- 
mi^lies^.Ondqpnera ensoito dea.yalç^uirs en partie connuesi^ en 
partie indéterminées^ ^ ^inclinaison I, et à la distance ^ de 
la. comète ^ l'un de^ nceuds lors de l'observation moyenne. 
Au ,moyen de cea valeurs , on calculera la latitude a , et la 
quiiutilé X (qui n'est autre chose^que la distance «-.réduite à l'éclip* 
tigpe ) par les formules sin a = si/i I sin 0-, tqng «= cos I t€ing r. 
La çopjparaison àyL log. sin a^ avec celui qu'on a déjà trouvé 
dans la seconde partie , donne ane première erreur E' sur 
Fangle A ; on en trouve une pareille snr les deux autres lati- 
tudes^ ça qui £dt. trois erreurs K, E^, £". 

Quatrième partie. Des trois valeurs de k correspondantes 
aux trois observations, on déduit trois expressions de la lon- 
gitude du nœud, qui égalées entre elles fournissent deux équa- 
tiqns entre les quatre coëfficiens inconnas. Tirant de ces équa** 
tions le^. valeurs de deux des coëffidçns , et les substituant dans 
l'expression des trois quantités E', E^^ E"^', il ne restera plus 
qu'à faire en sorte que la somme des quarrés de ces trois qnan* 
tités soit un minimum* Tier-lk résultent deux équations qui 
achèvent de déterminer tous les coëfficiens , et par suite tous 
les élémens de l'orbite. 

■ • 

LXII. On pourra procéder de même , si on veut combiner 
ensemble plus de trois observations j mais alors il convi^dra 
d'établir deux systèmes d'erreurs. Le premier comprendra 
toutes les erreurs E% £% W ^ ficc. , relatives aux latitudes ^ \fi 
second comprjendra toutes les erreurs.^ la position du nqeud; 
si par les diverses, yaleurs dq «calculées aqx épqques des diffé- 
rentes observations I on trouve , pour la longitude du nœud» 



(6^V 

aiversés Vidèuw 8', S', S"", &c.; cfljaW Appelle S' +>' la 
vrate longitude S 9â noebd'Von aclM; les é^h^ni sîicceasiVéâ' 
e' = e\ 'r^ /+ S'— S% ^''= ^ + y-i: S^; &C. , en nombre 
égal à cehil êSk bbsenrations , et e' sera une indétërîninée nôa* 
Telle'àjoind^ aux quatre d^à employées. Datls lis système des 
erréiirs^', e^y e'^ 6cc., on déterminehi /'avec deux desàutie^ * 
inconïitrèsVde tîiànîèré qdë la somirie des'qùai^rés de ces erreùi^ 
soit un minimum s on anrâ'àinsi l'expression dès trois incon- 
nues 'eH^fenctioil des ^ deux antres y et la stibsfitatibri dé ées 
▼aSeors étant fiiite dans les quantités E', W^ fi^^ '&c. du pré- 
miëi' système , il n'y restera plus que denk incbnnuês. Oà 
déterminera enfin ces deux inconnues , parla condition que la 
somme des quàrrés des erreurs E\ E', G*', ftc.'soiftrh mînir 
vmtn, et on en déduira les élémens de i'orbiteb 

Il serait plus direct de donner des valeurs en partie connues, . 
en partie indéterminées , aux cinq élémêns de rôrl>ile^ et 
eniBtutè de calculer pour le itabment dé c&aque obsèrVatioà ^ la 
longitude et la latitude géocentriques de la comète/ Oii corn- 
parerbît îés'ldhjjîtudes ét'ies latitudes calculées isv^è' les Ion* ^ 
gitàdës et left latitudes observées , ce qui donhéroil pt)ur dliàqttè 
observation deux différences ou erreurs, et on égalerôK érisiiité 
à un ihiinirkum là somme derif quarrés de toutes ces erreurs. Mais 
le calcul conduit de cette manière seroit plus long qùé celui que 
nous avons indiqué , et il n'en résulteroit qu'un avantage assesi 
petit pour la diîmhutibh des érfeun, %[ cause- dd fièu Aé varia* 
tion que subissent les quantités lorsqu'elles sont voisines du 
minimump 

OSservà^oris sûr lié catcûtdés corrections indéterminées. 

* 

IaXIII. Lès tables dé logarithmes contiennent tbtit ce qui 
est^ibsssairb pôUir'lé ailecil dés corrections itidéferininées , 
ainsi' qu^oïi liai vu danb l«i exemples précédens. Cependant il 
est b65'acreiâkf<j[Uëf<5(ti'Wt' peut fcaîculer dand tous les cas lès 



r,*i) ■ :- *.•■..' ■ . " : T" ! 



oôëfficiens des c^rrejçlipq^^ fajfis. recau]:;îc.anx4i^^ des 

lables qui iànl toujours affectées de quelqu'errean Voici quel- 
4çe^,prççeptàs.'à..cesu)(ebM.-.. : V*'. .^■'•^- ' - ■/■ *-• 

Si l'on demande le logarithme du nombre a + bx, dans 
kqudnftjrqes» afletéoiirédliott'lbti$oâirssut>î^^ if%ë^ièl^)pm 

ll^>4^^^ Jl^w4diife tu 4&é»g > 9utk^-Mùi9 «omme 4«s kigarillaiies 
ont ordinairement sept déeinialeft^ fMinqne l«<oopraclion<jsoir 
çîxpnmée^ en unit^sL ^^piniales, doi 9eplième,qr4i:e.».,iL iiiu^t^i 
àji ïteî? ^^m^jp^ç^e^H tt 43^94^ r 4<nit 1^ log. est 4i Q^jB^^i 

^''RM^i^quénièhf. ayant iÔM*y^lcg.a'î*x($).p^ ^n tire 

le nombre y =z a + x ( tt). 

Si bx représente un nombre de minutes servant de correc- 

tion à l'arc a; et qu'on appelle n le nombre constant — ^ , 

r 

( / étant le nombre de minutes comprises dans le rayon) , dont 
le logarithme est 3. ioi5io4 9 on aura 

log sin (a+bx) ssr-^ftg^Tff» a + * (11& co#. a) 
log cos (a-i-bx) = logcos a^^x (nb tang a) 

logtang{a+bx) = logtanga -^ xi-r-^ ) 

/o£r co^ (a+6:p) =s log col. a '^xx— J 

\sinacosai 

formules où les quantités qui multiplient x sont réduites en 
unités décimales du septième ordre , de même que les loga- 
rithmes.. Réciproquement si on a 

iog cos y =: logcoa a ■{- x(c) , il en rétolte yz=a-^x ( — coi. a j 



( 7^ ) 



* ■• • ■'■.-.■ \ n 



êin a coê a 



) 



kg coi. y = log coi, « + * (c) , il en résulta y.>±=: « — * Y i ^i/i <r cas a 1 

U correction. i^jç^Qlé«. là Ifi Yaleui^v^tO^éUnt exprimée en 
minutes* 

Il eai soaTeiit utile de tràùVer té Ug.cosikus, lorsqa^on a 
l^^Jcg. sinià$,ou pioÊ^ ifêraé^sanz être obligé de chercher l'arc. 
Or par les formoles précédentes si l'on a^ i - 

kfg4infr=iogêina'{-x{tf)f û'enrêsûlie logco9y::=logcos O'^xÇclang^ay 
hg cààysihgèoë a-(-# (d) , il ea rétalle iog sin yririlog tin a-^xic coi,* a) 

Avec ces formules et autres seasblablea, qn^oo pèktempVityéf 
suivant les circonstances , on s'habituera aisément au calcul 
dek cbrrectibns indéterminées qui peut être fort'utileAlans toutes 
sortes d'approximations. 



* , ■ 



II 



•i 



\ » 



—t ■ • 



r-. t M fml 






'» ■. 






f .• 



' i 



■ " ■ ' I» 

• > 



■ » I 



l. . > \ 



■ »• 



. I 



k ■ 



•:,' - : ■ .' .- 



appendice;. 

Sur la Méihûde deê moindres quarris. 

É w 

f 

Dans la plupart des questions où il s'agit de tirer des mesures 
données par l'obaerralioB , les réaaltati ka plus exacts qa^ellcs 
peuvent oflFrir/tMivi^prciiqae'toi^OBfi^lkidait à iin système 
d'équations de ù formO; ^ 

dflns.lça^n<^lM j|^&i^ c > f, &c. sont des coëffioi^ttif connus ^ 
qai Varient aune équation à l'autre, et x,y, «« &c. aont^Pf 
inconnues qu'il û^.ut déterminer par la condition que là valeur 
de E se réduise^ pour chaque équatio4 \ ^ une qtiantité ou nulle 
ott très-pètile, 

ft l'on a àviflant d^éqttati^ms que d^nconnues x^yy z, &c. ^ 
il W^y « àtKJànfe difficulté pour ta détermination dd^ééà fiticbti- 
nues ',-61 on peut rendre les erreurs E aÙohimetit Attille^: Mais 
le plus soi:|y5^t|(.le VQuibre, des équations çst supérieur à 
celui des inconnues, et il est impossible d'anéantir toutes les 
erreurs. 

Dans cette â.rconstàncé ^ qui est celle de la plupart des pro- 
t>Iénie8 pliyiriques et astronomiques, où l'on- cherche k déter« 
miner qœlqoies élémem importaiis , il entre nécèsftairement et 
Tarbitraire dabs la distribution des ^ereètars j*«t ôfl'ilé doit pas 
è'attendreqoe touteÉ^lèa hypttâièsea eonèuinmt teaotehielit %!a% 
liiééieir ïitoultats ; mais'A faut ta»-teKitildirtf'éll'atf)rte^ -que lies 
erreurs extrêmes , SMià kfQtt igard'^ieuri iégnM^ iofont ven^ 
fermées dans les limites les plus étroites qu'il est possible. 

' De tous ka principes qu'on* peut piroposer |Kylir cet obfet , 
je pense qifil n^en est pas de plus général , de plus exact , ni 
d'une application plus ÎÊkMt que éelni dont nous avons frit 
usage dans les recherches précédentes', d qni consiste à rendre 



< 73 ) 

minimum la somme des quarrés des -erreurs. Par ce moyen , il 
s'établit entre les erreurs une sorte d'équilibre qui empêchant 
les extrêmes ds prévaloir y est-très^-pi^ppre à ûirQ eomioître 
l'état du système le plus proche de la vérité. 

La somme des quarrés des erreurs E*-fc- E'^+ £''•+ &c. étant 

(a + &» + êj^ + /» + &C.)" 

+ (a'+ b'x + c> +/'z -h &c.y ' 
+ &C. î 

Hi'Vmi t^erché son minimum, en ITaisant Varier, x éeulc,6n 
ftiitta réqaalibn 

,'; o =fab + xfb'+j^fbc + ^bf+ &c,, ' . 

dans laquelle ipnvfab on entend la somme des produits scui- 
blal^les ab + a^'-h ab'*+^c. ; par /i* la S5>wn9^ 4^a^ quarrés 
des coëfficiens de x^ sayoir 6'+ 6'*+ 6''*+ ^u, ^ME^ui 4^ suite. , 
JUo minimum, par rapport ày^ donnera semblablement 

et le minimum par rapport k z, 

o =/û/+ xfbf+j^fcf+ zfr+ &a, , "^ ^; 

oJLl'onToit que les mêmes coëfiBu^iens/Âc^yZ»^ &aspntç9m.-« 
mous àdeuz^quations, ce qui contribue à faciliter le calcula .. 

/Ea générai j pour former V^quatiçn du miaiiQam parrafh 
poH à Vunê. des inconnues ^ il faut mulHpUer tous U9 Urm^ 
d0 diaqujê éçuationprQpas4e par h cordent de f^ inconnue dan4 
cette ^çuotion, jffrie apecson signe , et faire une somme de tou^ 
ces produitSm 

« On obtiendra de cette meulière autant d'équations du mini^ 
mump qu'il y a d'inçonnuen,, i^t jA £iadiaa résoudre ces équa- 
ticms pair lies méthodes ordinaires. iMais on aura soin 4'Abréger 
tous l^s çalc9l§ I tant dea ))(l^l^plications qiie de la réi^oluiiony 
en n'admettant dans chaque opération que le nombre de chiffres 

10 




-■ ■' f -. . • . ^ 1 



enlicr» o^ K}çç\mt\lS.fl^^J^^ 
dopt )a j^ueslioii i^t aos^^ptiblei 

Si paru» hasard aingul^^.il ^^ipi^iW^^)^ t^^^l^^ 
toutes les Qgqat^na.tt^^ rej^dja^ilo^te^ firufi^n»- miUes, on 
obtiendroit également ce râiollat g^jr leÀ ^équations do mini^ 
mf^m j\G%r, si aprito avoir Ijfou¥^4ss -vaWrs de a? j yy jt , 6éc. 
qui rendent nulles E, E', &c. , on fiait varier x, jr,. jf , ^Çç» de 
/Xj , <rjK . <rz , 6cc.^ il est évideptfl^ue E* .qui éjoit . ^rf> rffiviwdra 
par celle viimlton (af^ + £J^Pz^J5(lç.)^,^,p^ .s^^ 

inèmè àç É'^y ïî'* • Çtc. è'ôù Yon ypif qi» l^Aon^n^i df &.qx;iairf#9 
des erreurs aura ppuj: yu^tiga une Qaa^tui^w«fffÇ!V!n<fc an?'?^ 
par rapport a /x« /j^, e^ç.jjjce qui aaccpcqe^Ffç.lfii^air^4a 

* Ôî après aVcfîr 3étérminé toutes les inconnues «^^t?^9r&^9 
on substitue leuja,.T^lears dans lep équatioaa;proposéea^an 

cp^i^c^lfija Aç? .idi^çsef ..e^rrottiîi JS ^ B' t JR^ &Ci »lHMMpieUea te 
système d^nne li^à» et qui ne peuvent être réduites sans aog- 
meitlel^ la:scrmiiie dtéleih-^'^tiAiVés.' Si pàrriiî ces erreura il s^b 
trcfUTç qHft4V>* jfigb tnipfrindba iNmt^èbre db^ësV^ô^^ 
jfîflt^ivi }c^74éqiiiilk>iia.qQi ont predi^t ueri-^^rl>t4iM>-c^ 
;veo^9(^ 4^E^i;yériegK}«| trop idéfeetuttosès ^ i«t iM^dStériMném Ték 
iieimnnii^ii'fiiar le «iQ^gmn dea léqdalioiiS^isiMti^Sy^î'dôrs ébiâi- 
xieront des (i|<r?Olfi'l|peflNiooap«ioitidreii Bt'ileill^dimft'Vërqtf oh 
nA ^m poBrçbligl^ atoi«\detMjpottlM'À^ ; W 

comma^lçtf éqqalioiia^^jmniiMrm^ {mi^ri{dditi0Jit d^ 

produÂtft /#its:,ldaiid'cba€itrm Ue^^ il ^suffira 

d'écarter de Taddition les produits donnés par les ë^Cttfidkâf qttl 
wroo»oondaitj^4foaerreilrs1ipo^ià{m9iffét«Ue(M'- ^^^^ "^-^ 

X^a rè£[Ie ]^ laqi»eUe on ipttnd, le iimlî(i« * «lAfti'letf IMàhâTtâiâ 
der diffiirAite$. obMTTatSona < n^C : qu'Une ccmlséâiieilds tirèi^ 

sixo^la ,diEi ni^Uldf'Oiâhodb. tgépénlé^v q<i» ^Ao^^ 



En effet /^irexpériencc a dontié divonibs TttfeiDRrs c/j e/^y à'^j 



|)tfÀr'Mé^iiltiilnë^^{kiiiftitôW,Ià tonâmè' ddà^aàrrê^ âés erreurs 
sera {a'—x)* + («"— *)• + (a*-i*j*^+' &c: , et k 'égalant 

».-;h-- f';* :.!-"::?«:. i>,_V-* *^ X '""**i'fe^ ?o K.:')'nj.À,>-- ...■'• ■-■■■■■' 
é*aiK y^Uejeffqîi Mjtmi M i w» t ... a .>. > .■ • <, a élaoti'lë-ntnAbré dès 
obsêfVatiorfB. -^ ■-■^ ■• " ' :^:i ..i^.r, m-i.. 

Ftreilleinent^ si potiV dlëiermihèr la pQsidioii cTun pom^^^ 
J*esp*ee , on* a trouvé , par une première expérience , les coor- 
AdmiéésWy ft-, à^i par une seconde^ léà coordonnées dr^ ï^, c^, ^Ç- 
aimî clé Mite;' 9oïeiïfxfy\ r, îèi Vétitabti^' coorâpnn^ de ce 
pôittt r'aldrs Terreur delà prebiière expérience sera la distano^ 
du point (a ^b\ c') au point (xyy j z)} le quarr^ de cette 
'dirtaaotco eA ' '^ 

et la Bomme desqiiarrés sAmUables étant égalée à lîti ^Aïnimllm^ 

-.; .; ■-..•■' '. ■ ■■/(&'■*■■ '/fe ' fé 

on en tiré trois équations qui donnent^ sr -^ , jr .;;ip «rn i^^s^ -— ^ , 

jB étant leaomlxre dea poists donnés par l'^xpéf ten^-Cèii &^ 
'^ifle# Bout loi inèine» .|ttdri4ie9qnelle8 on tfôuvênaât M'^HYtë 
jd^ gravité cmmmm de ^oskdra masses ëgdiet y t^Wié^ir dShH les 
poiota donnés } l'oii l-Ofit voit que le cwtt« Aéf iJMVilë d^<fh 
corps quelconque jDuit de «ette prppriét^ ^éliéirâto: 

4Si oa dhis0 iamusêe d'uHkCorpa eA moÙeùtèH igatifi èf asiék 
pêUt0ê pcur\ éb[H9 û f Hè ê i é êré ê ê tomme deé jminUy tù ê&nimëltés 
ffuarréê. dea 4iMMiçe$ 4$^>molèeates au cenÈtéde^ grbpité set^ 

On voit donc qye !la^ métliodb des moindres ^uttrréè' fait 
oonxviitf9»:^9i^^l4tt6 aorte ^^leMUtM autour duquel viennent 
se ranger tous. 1«4 résultato fonmia par l'expérienedy^ô' mdhière 
à s'en écarter .le moins qu'ilfB8l.-possible*' E/applitation qucm^os 
allons faire de cette méthode à hunesnrede h, méridienne , 
aokèvera der»ettre 4aiW'tûut eon )0Ur sH' simplicité et sa 
fécondité. 



i 



( 76 ) 

^ jdppïiëàtiùh à îà mesure des degrés du méridien. ' 

'.■"■'-' •"■'■.• ' ■*•■■■ •'• i. ' • ". ' a f . • . • . * 

SuppoBRiit qae le méridien est une «ellipse «dont lot aâeesieont 
dansile rapport de i ài4*«/8i cm déaignepar D la longoeoF du 
45«"« degré j et par fik celle de Taru eompris entre ks deox lati- 
tndesL^ct L',' oa'aurà pat les formules connues ^ et en expri'* 
msint IZ-T^LeA degrés : 

'''k% b{t/—ïX—\^D.^sin (L'— L) cas (L'+L) ; 



D 



Comme le 45^^ degré est d'environ 285oo modales , égaux 



fractioii. tvèi* petite- j et ôp aura 



«85oo"+'"^""^^''"^^'''"(^'+^^'': ('') 



si85oo 

équation qui pour chaque arc dont on connoît la longueur avec 
là latitude de ses extrémités • donnera une relation entre « et C. 
Voici maintenant les longueurs des différens arcs de la mknr 
dienne de FràQce et les latitudes des pandlèlee çtui lés s éparent^ 
telles qu'elles résultent d^ l'opération exécutée!par les célèbres 
astronomes Delambre et Méchain. 



* \ I 



léiêu 



Sa latitude. 



■ : ' ■' 



jéreê comprît. 
eigi^f^m4^f9^pȍiflfa^ 



fi 



L' — L 



L' + L 



»i:f^ .*< 



.^ 



■f • 



• r 



Dunkènpie 
Panthéon à Pans 



[• a ï 



Eyauz. 



Carcassonneé...» 
Montjouy.. « 



^4?, 50,49.75 

46 10 4a. 5o 
43. la 54. 4o 
41. ai 44 8a 



r. ■ , , ....,;.; J« . J- 



OW • ^ 61479% (9 

"Mi' 7*itô.7'4 ' 
EC 844a4';d5 
CM 53749.48 



49P.n1a#'7fi|99fiSy 

* fc ■ • I ■ 



«"4 



a 40 7.25 
à S7 48.10 
I 5i 9.60 



gS 1 3a 
89 a3 37 
«4 34 39 



C it) 

Nopd.typna, dope, quatre arcs dont les mesures étant sobsti* 
taées successivement dans Téquation (a) , fourniront quatre 
éqinrtiQtts •iilni«.etvC..iMaitocoflDmQ^QMoqoatre épations ne 
pMiTe&t^ pasf» être*, satis&îtea- tontes <À«4a»>£E>is ^ nou» ^sopiioserona 
qa'elles ont lieu i en atiiûbaant ntoe certaine eirreur h la latitude 
de^dhaqae lieu y et noas appellerons K, E^\ && l/?sicorrections 
additives aux latitudes de Dunkerque ^ du Panthéon^ &c. Ces 
erreqrs n'entrent que dans le premier membre de chaque éqi^a- 
tion: elles sont trop petites pour affecter le terme multiplié 
par a dans le second membre. Voici donc les équdtionà ^^i 
résultent ;des quatre arcs mesurés dans Topératioi^ de If méri-' 
dienne, 

E'— E"= 0.003933 + ff (a. 193) — «(o. 563) 
E" — E'^'== . O.O03IOO + f (3.679) — «e(o.35i) 
E'"— E"= — 0..001096 + C(s.96i) + «(0.047) 
E"—E' = — 0.0018084- ^(1.861) + «(0.263) 

... . ..... . . J 

m 

Comme il importe de considérer les erreurs séparément, ou 
regardera comme une nouvelle inconnue Terreur E*'^ par 

exemple , et on aura les cinq équations : 

.. • ■ . . ■ 

E' = E".+ 0.006033 + C(4. 864) — «(0.914) : 
. 3' = E'" + o.Qo3ioo + C(a-67a)— « (o.35i) 

E"'= E"' : .. (b) 

... ..,E"s= E''^ + ;0..ooii3i96,*«jt(ji*9Ûa')-»A(«»-û47.>.. 

; . E' = E"+ o.oo3()o4 — f^(A.8i3) — <t(o.3io) , 

il fiiut maintenant faire en uorte que la somme des qoârrés de 
-éd» cinq erreurs soit nn minimum, A d abord cette condition 
0KpriVoée par rapport à Tinconnoe E''' dont tous les coëfficiens 
ilont 1 , donne par Taddition de toutes ces équations : 

; o = 5E"' + o • 01 3i 23 — C.(o. p39 ) — * ( 1 . 622 ) 

donc E'''=— 0.00 j6a5 + C(o.o48) + «(0.324). 

Substituant cette valeur dans les cinq équations (6), on aura 



y' 



(78) 

* Pour exprimer en^uite^ la oondhicm du minimum par rapport 
àf, il faut multiplier Ja première équatîoo -par 4,919 4X>ëffi* 
ç\çpt /ie.^; la seoQiiJQ ;,;: {lar 3/720 j la (romènfé , par^w.cliSj 
U;qV^^èin8i p^af -^ Ji>^i44 1* ciriqoièine y par r- 4*7«fl', 6t 
fgalejr'^'sç^rçi la.fi^ deiipus let prodiiitfik On opBrera seni^ 

Uàblement par rapport à « , et on aara les deux* éqiiktiDns : 

0= .o.Dabgj83 + ^(62.7216) — flt(3.o3o) ^ wv 

o = ~ o.to3îi87— C( 5.83o)+ *(o-è30 ^ ^ 

d'où Ton tire « ^ o^pojSyÇ^ ^t)if r=^ P#<^po9i78^l donc 

1 «'* • 



.. . ..i 



raplatissêment a = 



f : ■': 



i48 



9H5oo 



• I I 



et le 45*»» degré Dsta —- — — — 9^7. 78. 

« * . 

L'aplat^sement dé^rqijin^.par la lopgqçajf . , du pendule ^par 
quèi(|[ues pn(énomènes astronomi^es , fi*est,qae de yj^r ^t If^ 
4^**^ degré tel qu^on Ta dédûi^ de la comparaison dea x^^ore^ 
fiaites en France avec les mesures faites an Pérou , eA de â85p4 • i o« 
Cést sar ée'diânlieir fSBdfttft qn^est fondée la détermination défi- 
nitive dû m4rtye!4l4étrbit«tM«iMiMiè d^iivïroft tiii 49do^; 
«i iwa!èik téiKHI SU3Î éèû^'\èl^iii^ k^m^ 
rapl«tîsiewmt '^''^l^'^ii'''A^y^^ él;1ài^àW 1\Utf é6ilj^ 
noit par d'antres phénomènes , ne permet pas d'adoptiâr té 
dernier partie • . • •: :. • *. : * . -. * 

Le« valeurs trouvées ffour * et V, détermibent l'ellipse ' qiîi 
satisfairauMi e«M$ldm«M ç^tPll est j^sltiblèttài^ "Misâth'àé Wt 
da méndîèn ' compris ènfM 'toàttlxlii^è* et 'Barce)diâ&^^ 'Céitè 



(^9) 

figure généniktdo glob&j dto'Sapj^oaeâaHg Im latitudes obser- 
vées des errenMque yon-déketoiiiMrâ esrBiibstitiiaiit les iraleurs 
trouvées poi|i:t# et C,- dans^les «x^vessiobs àe E\ E"', &c. : on 
trouvera , en iMoisèiit #eS emtatfB es moiidèsv ' 

Lu plus grande de toutes ne monte pas. a ^"^ et' la moyenne, 
sans égard aus signes , n'est que de o^'9i . 

Si au lieu de. chercher les deux quantités « et C qui con- 
viennent au minimum ahsolu ^ on continence j^ faire là ^dàri^ 
tité ce égale à raplatissemenC connu jt^, les éqoûlionS (c) 
deviendront 

E' = o.ooi554 + ^(4-9^*^) 
^ E" = o.ooo3gi + ^(a.720) 

E''= — 0.001612 + f (o.o48) 
E^=r — oVooo663— f(fl.9i4) 
E^= o,ooo3a3 — C( 4,765 ) 

et on aura pour Téquation du minimum, 0^=0.009010+^(62.726), 
d*où résulte C = — o.oooi436 ; donc 

le 45*- degré = a85oo (i—C) = a85o4 • 09 ; 

' ■ ■ ■ ■ 

ce qui s'accorde suffisamment avec la détermination adopVée ; 
mais alors les erreurs E', E^, &c. exprimées en secondes, 
deviennent 

E'=3'o6, E^=o''oo, E''=— S'^BS, E'^=— q"38, E^=3'62. 

Ces cireurs sont plus fortes qn'eUe$ n'étoientckins leicas. du: 
i?u/2vn£//7i ah^lu ; la plu^,^rand^,tofniJ€!Wf la latitude d'£ vaux , 
et la moindre, qui est. ui^e.ç^jdè^epient nulle, ai^ceUe du 
Panthéon. 

Au reste, les anomalies dans les latitudes, qui sans aucun 
doute ne doivent poiot ^tre attribué^ aux observations , tien- 
nent vraisemblableqierit à des attractions locales qui agissent 
irf^gulin^eœeni sfir W &l>{tl^mbl IlM#bl, pcMsur cdbr, cPim défaut 
d'homcig^néité dans ks coophesqvL.avoisinendefpAiiitoùl'on 



(8o) 

ol^rve la latitude ; et la même cause qui rapproche le zénith 
apparent du midi Ou du nord ^ peut aussi le détourner de quel- 
ques secondes vers Test ou yers . l'ouest ; ce qui, explique les 
inégalités qu'on a anssÂ. phseryé^ dans les amtiiutb3. 
. Il résulte de Texisteiice bien constatée de ces anomalies , que 
la longueur des arcs du méridien est moins propre que celle du 
pendule,* à la détermination d'une mesure universelle; et il 
n'est pas étonnant que des obserrateurs, d'ailleurs très-exacts , 
ne se soient pas accordés dans les mesures qu'ils ont prises des 
degrés du méridien, puisqu'à raison des attractions locales , les 
latitudes de deux lieux également éloignés de l'équateur ,poiir- 
roient différer entre elles de plusieurs secondes. 



Paris , le i5 ventôse an i3 

6 mars iSoU. 



I . . ■ ' 



■ «Il ■ ■■! . —^i^— IM^M» — i— — 

•DE L'IMPRIMERIE DE CïtAPELET. 



-^W- J. 




• ' » <«• ^«««M A »«»»«•• . 



« k • ■ kk. « l . ï« « . ' • «^V • «w 



w« ';.-•* » «>>^*«B««' 



i 

« 

î 



'« 

i 






^ «^ 



.« • 



kj- •^^ **^<tt«« 






MÉTHODE 



Pour déterminer la longueur exacte du quart du Méridien, 
diaprés les observations faites pour la mesure de Varc 



compris entre Dunkerque et Barcelonne. 



Par A. M* Legendrb, Membre de la GonunUêion des Poids 

et Mesures^ de V Institut national» 

XiJBS citoyens Delambre et Méchain ayant enfin terminé toutes 
les opérations relatives à la mesure de l'arc du méridien compris 
entre Dunkerque et Barcelonne, on va s'occuper sans délai de 
(Séduire des données que ces excellens observateurs ont recueillieSi 
la grandeur du quart du méridien qui étoit Tobjet principal de 
leurs travaux. Dans cette circonstance y j'ai cru qu'il ne seroit 
pas inutile de communiquer aux géomètres quelques idées sur la 
méthode qu'on pourroit suivre dans le calcul des observations , 
afin de parvenir à un résultat aussi exact que la nature de la 
question le comporte. Ces idées sont une suite de celles que j'ai 
déjà exposées dans un Mémoire sur les opérations trigonomé- 
triques , imprimé dans le volume de l'Académie des Sciences , 
pour l'année 1787 j je prendrai de-là occasion de développer 
quelques démonstrations qui a voient été omises daps ce Mémoire | 
et que plusieurs personnes ont paru désirer. 

Les élémens du calcul empruntés de l'observation sont : 

1^. Les angles des triangles et les hauteurs des stations néces* 
saires pour réduire chaque triangle au plan de l'horizon. 

st^. La base de Melun à Lieusaint, Cette base principale , ainsi 
que la base de vérification , mesurée près Perpignan , ont été 
rapportées à un module particulier , appelé la régie n^. 2 , dont 
la longueur est fort approchée de deux toises. 

S"*. Les azimuths de deux côtés de la chaîne , ou les angles qu'ils 
font avec le méridien. Ces azimuths ayant été mesurés aux 
deux extrémités de la chaîne , il en résulte une vérification de 

Méi«. de Legendbe. A 



3 DE LA DÉTERMINAtlON 

' ■ 

toute ^opération , non moins importante et plus facile que celle 
qui a été donnée par la mesure d^une seconde base. 

4^ Enfin les latitudes des points extrêmes , Dunkerque et 
Montjouy , ainsi que celles de trois autres points intermédiaires , 
Paris j Evaux et Carcassonne. 

Tous ces élémens^ ont été déterminés avec un degré de pré- 
cision qui auroit droit d^étonner , s^il n^étoit une suite nécessaire 
de Texcellence des moyens employés , et de l'habileté des 
observateurs* * 

Du Calcul des Triangles. 

Lorsqu'on aura réduit à l'horizon tous les angles des trian- 
gles {Note 1^) y et qu'on aura appliqué à chacun des angles 
réduits la correction nécessaire pour que la somme des angles 
de chaque triangle soit égale à 180**+ le petit excès dû à la 
surface du triangle , et calculé a priori ( Note II) y il n'y aura 
plus lieu d'avoir égard à l'inégalité de hauteur des stations , et 
toute la chaîne de triangles se trouvera projetée sur une surface 
sphérique ou sphéroïdique , qu'on peut regarder comme un pro- 
longement de la surface de la mer. 

Dans cette hypothèse , qui paroît la plus propre à simplifier les 
calculs , tous les triangles deviennent sphériques ou sphéroï* 
diques , les côtés sont ou peuvent être considérés comme des 
arcs de cercle ; et la base , qui est pareillement'un arc de cercle « 
se déduit aisément de la base mesurée j en y appliquant une 
correction calculée d'après les hauteurs connues de ses deux 
points extrêmes au-dessus du niveau de la mer. 

Cela posé ^ pour calculer les difierens côtés de la chaîne des 
triangles de projection j on pourra faire usage du théorème 
énoncé dans les Mémoires de l'Académie, pour l'année 17879 
et dont nous donnerons la démonstration ci-après ( Nete III) ; 
en conséquence , si y dans le triangle proposé , la somme des 
angles est i So"" + a» , on retranchera y •» de chacun des angles , 
afin que la somme; des angles restws soit de i8o% Cette sofis- 



DU QUART DU MÉRIDIEN. 5 

traction faite ^ on procédera comme si le triangle proposé étoit 
rectiligne , c'est-à-dire qu'on fera la proportion : Le sinus de 
r angle opposé au côté connu est à ce câté comme le sinus d^un 
autre angle est au côté opposé. Le quatrième terme sera la vraie 
longueur du côté du triangle sphérique qu'on veut résoudre , 
laquelle se trouvera ainsi avec la même facilité que si la chaîne 
de tnangles qu'on calcule étoit située toute entière sur un même 
plan. 

On a proposé de calculer ces mêmes triangles sphériques ^ au 
moyen des triangles rectilignes formés par les cordes de leurs 
côtés } mais, pour cela, il faut déterminer par autant d'opéra* 
lions distinctes la différence qu'il y a entre chaque angle du 
triangle sphérique et l'angle correspondant du triangle rectir 
ligne. Il est évident que cette méthode est moins simple et plus 
sujette à erreur que celle que nous venons d'exposer. 

Du Calcul de Varc du Méridien. 




8oît une chaîne quelconque de triangles ABCDEF, etc. 
peu éloignée de la méridienne A M N X , et tracée sur une surface 
courbe qui représente le niveau des eaux de la mer ; on suppose 
connu par ce qui précède les angles et les côtés de ces triangles, 
on connoît de plus par l'observation l'angle C A M qui mesure 
l'azimuth du côté A C , ou son inclinaison par rapport au méri* 

A 2 



6 DE LA DÉTERMINATION 

trourera que la latitude du point X est a + 7 R (-j tangA^ 
où l'on voit que la correction sera exprimée en secondes. 

Equations entre les longueurs des A.rcs et les latitudes 

de leurs extrémités. 

Par les calculs précédens j on connoîtra les longueurs des dif- 
férentes parties de la méridienne , comprises entre les parallèles 
des principaux points de station , qui sont Dunkerque , Paris , 
Evaux y Carcassonne et Montjouy , près Barcelonne. On connoît 

d'ailleurs , par des observations très^exactes , 
les latitudes de ces di£Pérens points; il ne s'agit 
donc plus que d'établir les équations qui 
doivent avoir lieu entre la longueur de clia« 
que arc et les latitudes de ses extrémitést 

Jusques-là on pou voit se passer de con^ 
noître la nature de la courbe du méridien» 
et il suffisoit de savoir que cette courbe étoit 
peu différente du cercle j car dès -lors tous 
les triangles tracés sur la surface du sphéroïde , et n'excédant 
pas la grandeur des triangles observés , pouvoient être regardés 
sensiblement comme des triangles sphériques* Mais à présent, 
pour avoir la relation entre les longueurs d^s arcs et les latitudes, 
il est nécessaire de faire une hypothèse , la pli)s générale qu'oa 
pourra 9 sur la figure du méridien. 

Soit a le rayon de l'équateur , b le demi-aye ou le rayon mené 
au pôle ; soit p un rayon vecteur quelconque , et 4 l'angle quie 
font entr'elles les lignes 6 et i^j il résulte d'un grand nombre de 
recherches fondées sur la théorie de l'équilibre des fluides (i)| 
qu'on pourra supposer 

p =• b {i + m sin* 4- + n sin^ 4) 
m étant une quantité très-petite de l'ordre de l'applatissement , 



— Dunkerque» 

* - Paris. 

- - Epoux. 

• - Carcassonne. 
A- Montjouy. 



(1) Voyijc leâ Mémoires de l'Acad.des Sciences^ anaée 17^9» p>^3g4et4i8. 



DU QUART DU MÉRIDIEN. 7 

et n une quantité de l'ordre m*. Si on fait fr = a(i + it)^en 
aorte que « désigne la quantité de l'applatissement ^ qxi aura dono 

A r=: m + n. 

Dans le cas où la figure du méridien seroit exactement ellip- 
tique 9 on auroit par les propriétés connues de cette courbe , 

_ a^b* ft* (i + *)V 

a' cos* 4 + i* sin* 4 ( t + *)' — ( ^ * + **) «iû* 4 
ou en extrayant la racine , et développant jusqu'aux quantité3 
de Tordre a"" inclusivement , 

i. = i(i +(*^l<t*)sin*4 + |*'8in*4). 
Ainsi la figure représentée par l'équation 

p=:z b {i + m sin* 4 + n sin* 4 ) 
se confondra avec une ellipse , si on a /z = 7 /tï* j mais en géné- 
rât cette équation représente une courbe très -voisine de 
l'ellipse^ 

Cela posé j soit S l^arc du méridien compris entre les deux 
rayons vecteurs a et f' , on aura rfS= — v^ (i^*^4*+ ^v*)} 
donc , en observant que d p est de l'ordre de * , et qu'il suffit 
de développer toutes les quantités jusqu'aux <t* inclusivement , 
on aura 

rfS =^ — i/rf4 Ti = — ^ ^( * + ^ 8ii^*4 + n sin^ + i/it*sin*4cos*4) 

2pa^ * 

De-là résulte en intégrant et déterminant la constante 

S = *(i +^+^+>^)(90^-4) + ô(i m+ 1 /?)sini24 

+ 6(^m*-^n)sin44 
Il convient maintenant d'introduire, à laplace de l'angle 4 9 la lati- 
tude de l'extrémité de l'arc , que nous appellerons L. Or ^ quelle 
que soit la courbe du méridien ^ il est facile de voir qu'on a 
en général 

taBg(4 + L~9o-) = ^^. 

Donc y puisqu'on néglige les puissances troisièmes de a, on aura 

4+L— 9o'=— 7-?,etL=9o*' — |+2 8in4cos4['7i+(2 7î — m')sin*4] 
^ p d *Y 

= go* — 4 + ( m + n — î m») sin 2 ^ + ( i m* — f n ) sin 4 4. 



.^. 



8 DELA DÉTERMINATION 

De -là résulte réciproquement 

4 = go** — L + (m + n — ^m*)sm2L— T— ^ sin4L. 

Cette valeur étant substituée dans celle de S , on trouvera,, 
en se bornant toujours aux terme» da second ordre , 

Soit M le quart du méridien , on aura i eu faisant L = go"* = î ^ t 

Donc, 

5 = M 11 j^—^, — ' — 'SinaL + ^l^ — ^..2_^3Ui4L| 

L-X ^'^ . , . • Vit:-- . ^ 

Donc si S' est un autre arc terminé à la latitude L', on aura 
S'— S=M( — ; 'i ^-— -; — î— ' (sin 3 L'-.sm a L)+-i| — ^-^(«n^L'— siniL 



»'»■ 



Telle estréquatîon qui donne la relation entre un arc quelconque 
S' — S du méridien , et les latitudes L', L de ses points extrêmes. 
On voit que de cette équation on tirera immédiatement la lon- 
gueur du quart du méridien M , dès qu'on connoîtra les coeffi^ 
ciens m et n^ 

Soit pour abréger p=l . j , q=Tj . — ; — - , on 

pourra regarder/? et ç comme les coefficiens inconnus | et réqua-*" 
tion précédente se réduira à la forme 

S'— S = M(i^P^-^p(sinaL'— sin 

Comme le coefficient ç est beaucoup plus petit qaep , on peut , - 

dans une première approximation^ négliger le terme qui contient J^, Q l 

Appelons L , L', V\ \J'\ V" les latitudes respectives des points 
M , C, E , P, D î appelons pareillement S , S', S", S''', S"'' les arcs 
du méridien compris depuis Féquateur jusqu'à ces différenspoints. 
L'équation précédente , appliquée successivement aux deux arcs 
M E , ED , donnera , en négligeant q^ les deux équations 

S" —S =M ^"''~^ M/)(sin aL" — sinuL) 



7^ 



T "" T " 

S""— S"=M . M j> ( sin 2 L'"'— sîn » L") 



?«• 



P'après 



DU QUART DU MÉRIDIEN. 9 

D'après ces deux équations , il sera facile de déterminer les 
valeurs de M eip , lesquelles doivent déjà être fort approchées j 
puisqu'on ne néglige que des quantités de Tordre de «* ( i ). 

Soient M** et/)* les premières valeurs approchées de M et p j 
pour en avoir de plus exactes , on fera M = M** ( 1 + a? ) , 
Mp = M'^p** (i+J'))Mg^ = M'*xj puis substituant dans 
Féquation générale les quantité^ relatives ^ux quatre arcs MJ^ | 
£ D, MP, CD, on aura les quatre équations 

S'' — S L^'— 'L 

--^p-=-Y-;;r-(^ + *)~P'('+^)(^^^2L^'— sînflL)+z(sin4L'^ — sîniL^ 

„, =— (i +x)—p\i +j^)(8iniiL''^— sin2L'0+z(sin4L''^—sin4L'O 

— rjj--=— ; {I +i)— j,<'(i.+j') (sin aL'"^6in2 L)+i(8miL'"— sin4L) 

— —^=:~ (1+^)— /)**(i+7)(sin2L^^— sin2L0+^(8in4L''^— sin4L') 

où Ton volt qu'en vertu de la supposition par laquelle M"* et p"" 

ont été déterminées , les deux premières se réduisent à celles-ci 

U^ L 

. o = — ; — ■ — X — jr (sin 2V' — sinaL) + z (sin 4U' — sin4 L) 

T ir T // 

o=iV— ='--^— ^(sînsL^^— sin2L0 + ;j(sin4L^^— sin4L0 

De sorte qu'on aura quatre équations de cette forme 

o =/ x-^g y + h z 
G ^=.fx — g' y -¥ h' z 
e" =^fx^^' y ^K' z 

desquelles il faut tirer les valeurs de Xy y\z. Dans ce genre 
d'analyse ) dont les questions astronomiques offrent beaucoup 
d^exemples , il ne faut pas chercher a résoudre exactement trois 
des équations , ce qui feroit porter i4ofite l'erreur sûr la> qna- 

' " '1 f ■ I I • ." ; 

( 1 ) n est vraisemblable que l'applatissemcnt «t n'est pas fort éloigné de r— , et 

3 1 1 

qu'ainsi on doit avoir p = — .5 — ^^ïïl^ ^-pw-près. 

B 



lo D É L A D É T E R M I N A T I O N 

trlème ;• mais il faut tâcher de compenser les erreurs de manière 
qu'elles portent à-peu-près également sur toutes les quatre ; c'est 
ce qui n'offrira point de difficulté lorsque les valeurs numériques 
seront substituées. 

La valeur de x étant connue , on aura immédiatement la lon- 
gueur du quart du méridien M=M*(i + ar), qui est Tobjet 
principal de ces recherches. Ensuite les valeurs de j^ et z donne- 
ront des notions précieuses sur la figure du méridien. 

On aura d abord p = =^— , et a = , ou simple- 

\ mir» r- ^ ïTi -^ n — - m^ 
ment/7 =p (i +^ — x)^ q=^z. Mais on afait p = ^ . \ > 

f * , ■ l?î* — "jTÎ , - . . '■ 

q = ^ . T^— ^ , soit donc yjo^^+Ty7'^=='*j^^ aura- 

/;i=?= r — 7 r*, 72= 2 w* — 77^^' de-là résulte l'applatîssement 
A = 771 + 7z j et pour juger jusqu'à quel point la figure du mé- 
ridien approche de l'ellipse , on prendra la valeur de 7i — 7 77** , 
ou de 7 77i* — ff 7 "^5 laquelle devra être zéro , si le méridien est 
une ejlipse. Enfin 77z et.Tz étant connus , pn aura l'équation *de la 
courbe du méridien 

p zn^b {i -^^ m sin* 4 + 72 sin* 4 ) 
dans laquelle le demi-axe b doit être tiré de l'équation 

•M = Ô(l+i772 + |72 + ^772').fx. 

Ces déterminations ne laisseront rien à désirer , si toutefois 
les erreurs des quatre équations-ci-dessus peuvent être assez 
atténuées pour ne pas passer les limités des erreurs de l'obser- 
vation , et si en même temps les valeurs de rr, ^ , z , sont de la 
petitesse convenable, pour j us ti£€fir l'hypothèse qui sert de base à 
ces oalcnls. 

Dans le cas très-péu probable oùi'on ne pourroit pas satisfaire 
assepi exactement aux équations mentioniiéBs j on seroit obligé 
da conclura que la fiigii££Ldtt méridien est très-irrégulière , et 
que fa connoi^aance de^i^ieuf ou d^ degrés mesurés ne suffit pas 
pour déterminer la longueur du quart du méridien. Il faudroit 
donc alors convenir 'ft^une autre isamère d^établir la mesure 






DU QUART DU MÉRIDIEN. ii 

universelle , et le moyen qui se présente naturellement seroit 
de prendre , au lieu du quart du niéridien j une longueur égale 
à XODOO fois la minute décimale du méridien « prise au 5o^ degré 
déc imal de latitude. Cette hmfgm&mc seroit la valeur du vtgjÔMr 
iUfcm étre , et on pour^roit la déterminer avec toute la précision 
reqtiise d'après les degrés mesurés ; mais il y a lîéu de croire 
qu'on ne sera pas obligé d^en venir à cet expédient. 

- • « 

NOTE r*. Réduction dhm Angle à Vhorizon. 

Soit A Pangle observé entre deux points éloignés j soient 
go** + « et 90** + € les distances de ces mêmes points au zéniffi j, 
soit enfin A + ^ l'angle résultant de la projection des côtés dé 
Tangle A sur Thorizon , on aura par les formules connues des 
triangles sphériques ^ et en supposant le rayon = i , 

. cos A — cos (go" + «t) cos (go"* + C) cos A — sin * sin C 

sm (90 + fit) sm (90 + C) cos <t cos C 

Dans les observations géodésiques, les angles tt, et C peuvent 
toujours être supposés très-petits: ainsi, en négligeant seule- 
ment les quantités du quatrième ordre , on pourra faire 
^4,g rôrt? cin /» = fit f , cos fit = 1 — jfit*, cos^=i — ^^, 

ce qui donnera cos (A+jc) = cos A(i + îfit*+7^) — *^. De-là 
on voit que x doit être une quantité du second oi'dre : on peut , 
par conséquent , mettre cos A — x sin A à la place de cos (A+'ir), 
el on aura 

aC — '-{dL'-^C^)cosk_/A'\'€\^ 1 — cosA /A — C\* i+cosA 

sin A N 2 / * sin A \ 3 >' * sinA ' 

«t 4* ^ et-— ^ 

Soit donc pour abréger =r p , = y , on aura 

a? = />* tang 7 A — y* cot 7 A j 
cette valeur est exprimée en parties du rayon : mais comme dans 
la pratiqué petç seront donnés en secondes , si Von veut que x 
6oit exprimé de la même manière , il faudra faire 



a? = |-tangiA-^|-cotiA, 



B 2 



12 DE LA DÉTERMINATION 

R étant le nombre de secondes comprises dans le rayon , nombre 
dont le logarithme est 5,3i4425. 

NOTE IL Excès de là somme des trois angles d'un 
triangle réduit à l'horizon , sur i8o^. 

Il suflSt de connoîtré à-peu-prés les côtés d^un triangle sphé- 
rique très-peu courbe , pour être en état de déterminer avec 
précision le petit excès de la somme de ses trois angles sur i8o**. 
Soit cet excès » , soit T Faire approchée du triangle en suppo- 
sant le rayon de la sphère = i ^ on aura , par le principe connu 
de Taire du triangle sphérique , « = T : donc si le rayon de la 
sphère est r, et si on veut que » soit exprimé en secondes , il faudra 

T 
faire « = — r.R, R étant toujours le nombre de secondes conte- 
ra 

nues dans le rayon des tables. 

T 

Dans l'évaluation du rapport — , il faudra exprimer le rayon r 

de la sphère par la même unité qui sert à exprimer les côtés 
du triangle. Cette unité ou module valant à-peu-près 2 toises , 
on devra prendre log r = 6 . 2 1 Sg ; d'ailleurs on a log R = 5 . 5 1 44 : 
donc au logarithme de la surface du triangle y exprimée en 
modules quarrés ^ il faudra ajouter le logarithme constant 
2,8866 , et on aura le logarithme de V excès » j exprima en 
secondes. 

NOTE III. Résolution des triangles sphériques dont 
les côtés sont très-petits par rapport au rayon de la 
sphère. 

Soient A , B , C les angles d'un triangle sphérique infiniment 
peu courbe , a, by des côtés opposés , on aura par la propriété 
connue sin A : sin B : : sin a : sin 6} et puisque les côtés a elb y 
comparés au rayon de la sphère , sont très-petits , on pourra 



DU QUART DU MÉRIDIEN. i3 

faire sina = a rr^ sîn 6 = i rrx ce qui donnera 

6 D ^ 

sinA: sin B :: a(i — j a*) : 6 (i — ^ &»). 

Cherchons maintenant une indéterminée x , telle qu'on ait 

a: b :: sin (A — x) : sin (B — ar) j 

j .. , . asînB — 6 sin A 

de cette équation on tirera tang x = =; — ^r et parce 

acosB — AcosA '^ 

a ( I — I A' ) sin A 

A ( 1 — ^ a' ) sin B 

(i— i*') sinAsînB— (i— -^aMsinBsinA 
(i— i6*)sinAcosB — (i— ^a*)sinBcosA' 

d'où Ton tire en négligeant seulement les quantités du qua- 
trième ordre 

,,,,,. sîn A sin B 

^ ^ "^ sin(A — B) 

Mais en considérant le triangle proposé comme rectiligne , il 

• ' 1 • 1 •.'!/. , . . sin A sin 5 

est aise de voir que la quantité H^ — * J* -: — ii ïVv se re- 

^ ^ 8in(A — B) 

duit àj a 6 sin C, et représente par conséquent Taire du triangle j 

donc si cette aire est appellée », on aura jc = | « j d'ailleurs 

on sait que l'aire a» représente aussi l'excès de la somme des 

trois angles du triangle sphérique sur i8o*^j de-là et de la 

proportion sin (A — y«) : sin (B — y») :: a : A , qui aurasem- 

blablement lieu pour deux autres côtés , on tire ce théorème 

remarquable : 

•Sï la somme des trois angles d^un triangle sphérique , dont les 
côtés sont très-petits , est supposée 1 8o* + « ^ e»^ que de chaque 
angle on retranche \ t» , ce qui réduira la somme des angles 
restans à i8o® juste y je dis que les sinus des angles ainsi di^ 
ndruiés seront proportionnels aux côtés opposés ^ de sorte que le 
triangle pourra être résolu comme s^il étoit parfaitement rec^ 
aligne. 

C'est la proposition que j'ayois donnée sans démonstration 
dans les Mémoires de l'Académie , année 1 787 , pag. 538. Elle 
ramène inunédiatement à la trigonométrie rectiligne la réso- 



i4 DE LA DÉTERMINATION 

lution des triangles sphériques/ très-peu courbes ou dont les 
côtés sont très petits par rapport au rayon de la sphère. Il est 
inutile de développer les difFérens cas de la nouvelle espèce de 
trigonométrie qu'on pourroit déduire de ce théorème, et il suffit 
de considérer que le triangle sphérique dont les élémens sont 
A,B,Cj a^ b j c j répond toujours à un triangle rectiligne 
dont les élémens sont A«— yw, B — j», C — y«; a j ô, c, 
de sorte que la résolution de Tun fera toujours connoître la 
résolution de l'autre. Mais il faut qu'on connoisse au moins 
un côté , et que « soit déterminé a priori par Faire du triangle 
dont il suffit d'avoir une valeur grossièrement approchée. 

Au reste , quand même les côtés du triangle à résoudre se- 
roient de quelques degrés , le théorème seroit encore sensible- 
ment vrai et donneroit une approximation suffisante. 

NOTE IV. De la Perpendiculaire à la Méridienne. 

Par un point A dont la latitude = L , roît élevée sur le mé- 
ridien la perpendiculaire AB = y , et soit proposé de trouver 
la latitude du point B , sa longitude , et Fangle PBA que fait 
B A avec le méridien du point A , c'est-à-dire l'azimuth de A 
observé de B (i). 

Pour cela nous mènerons la normale M A terminée à l'axe du 
sphéroïde en M , et faisant M A = r , nous aurons 

r=&(i + a/7î — m cos* L ) j 
cette ligne M A est en même-temps le rayon de la développée 
de l'arc AB, de sorte qu'on peut regarder AB comme un 

y 

arc de cercle décrit du centre M. Faisons en conséquence - = ç , 

et du point M comme centre, décrivons une surface sphé- 
rique qui rencontre en p y a , b les lignes menées de M vers 
les points P , A , B , ( P étant supposé le pôle ) , nous aurons 

(i) La figure est dans le Mémoire cité de 1787 j mais on peut aisément y 
suppléer par cette explication. 



DU QUART DU MÉRIDIEN. i5 

un triangle sphérique p ab dans lequel on connoîira le côté 
pa^=^ 90° — L , le côté a A = ^ , et l'angle compris pab ^ qpi 
est un angle droit. On aura donc par les formules ordinaires 

7 T • f • T ^ûng ^ 

cot b = tang L sin ^ , cos /> 6 = sm L cos ^ , ^BXigp = — ^ j 

COS J-« 

développant ces formules dans la supposition que p est une 
quantité très-petite, et omettant seulement les quantités de Tor- 
dre ^^, on aura 

ç ^ f ^ sin* L 

cos L ^' cos'L 
pb= Qo"^ — L + 7 ç' tang L 
b =90** — ^ tang L + y ^^ tang L ( 7 + tang' L ) 

L'angle p donne la différence eii longitude entre les deux points 
A et Bj l'angle b est égal à l'azimuth demandé PB A, ou du 
moins on peut prouver qu'il n'en diffère que de la quantité 
^ m^^ tang L, qu'il faudroit ajouter à la valeur précédente pour 
avoir égard à l'aberration de sphéricité j mais cette différence 
pourra toujours être négligée , même quand la distance y seroit 
égale à 2 ou 3 degrés. Enfin go° — p 6 ou L — ^ ^' tang L, est une 
valeur approchée de la latitude du point B j mais cette valeur a 
besoin d'une correction , parce que M B ne se confond pas avec 
la verticale au point B. Soit cette verticale N B , et la latitude en 
B = L% on trouvera aisément C M ( distance du centre C au 
point M ) = 2 ira r sin L , pareillement C N = 2 m r sin L' j donc 
M N= 2 m r (sîn L — sin V) = 2mr (L — L') cos L = m /• ?' sin L : 

de^là l'angle NAMou NBM= =^mf^ sin L cos L j 

donc la latitude corrigée du point B sera 

L' = L — ^ ^' tang L — m ^* sîn L cos L. 
Si on joint à cet élément la longitude et l'azimuth déjà déter- 
minés , on aura tout ce qui concerne la position du point B. 

Quelques personnes ont pensé. que des observations d'azimuth 
et de latitude , faites dans des Heux assez difierens en longitude , et 
dont on connoitroit la distance j seroiont très-propres à déterminer 
la figure de la terre. Cette opinion n^est nullement fofidée , puis- 



i6 DE LA D É T E R M I N A T I O N , &c. 

qu^on voit que laJigne AB étant perpendiculaire à ]a méri* 
dienne , le coefficient m , qui mesure Tapplatissement , n^entre 
que pour une quantité insensible dans l'expression de la latitude , 
et qu'il influe encore moins sur l'expression de l'azimuth du 
point B. Ce sont donc au contraire les observations faites dans la 
direction du méridien , qui sont les plus propres à déterminer la 
vraie quantité de l'applatissement. 

Les formules précédentes s'appliquent à la perpendiculaire LX, 
menée par le point extrême L de la chaîne des triangles, et on en 
tire ces deux conséquences ( Voyez la figure ci-dessus , pag. 3). 

1^. Soit la latitude en X = L , en L = a , soit la distance 
L X =j^ , le rayon de la terre ou la normale au point X = r, 

onaura A = L — ^T- j tangL — mT- j siuLcosL^ et réci- 
proquement 

L= A + îT-^ tangA + ^{^^ sîuA cos xj 

mais la seconde partie de la correction sera presque toujours 
négligeable. 

s"". Les mêmes choses étant posées , on aura l'azimuth de L X^ 
c'est-à-dire l'angle au point L , entre la ligne L X et la ligne me- 
née au pôle y 

3 

= go» — S^ tang L + ^.^ lang L (f + tang* L ) 
r T 



y . y 



3 



= go' — -^ tang A — ^ tangA( i + rtang*^) 

A cet angle ^ ajoutant l'angle calculé Q L X , on aura l'azimuth 
de LK 9 lequel doit s'accorder avec l'azimuth observé directe- 
ment en ce point , et fournira ainsi une vérification de toute 
l'opération. 



%w 



Paris ; g nivôse an VU. 



MÉMOIRE 

SUR 

LES TRANSCENDANTES 
ELLIPTIQUES. 

Oà Ion donne dts méthodes Celles pour comparer eC 
évaluer ces transcendantes , ^ui comprennent ies arcs 
^ellipse j et qui se rencontrent /réquemment dans les 
applications du calcul intégral. 

Lu à la ci-devant Acadëmie dts Sciences en avril 1792. 

Pau ADILIEN-MARIE LE GENDRE. 




A PARIS, 

rie C. DuFon!r,Imprimenr-Libraîre,niedelaLoî[ 
Chez 5 WM4- 

(leCFisMiN DiooT, Librairie rue Thionville. 

Va^ DBUXiàUB DE LA, RàPDfiLIgUE; 



I( 



' I 



4^ 



\ . 



m 



MÉMOIRE 

SUR 

LES TRANSCENDANTES 

ELLIPTIQUES. 
Paa ADRIEN'MARIE le GENDRE] 



Un grand nombre d'întëgrales peuvent se de terminer par 
le seul secours des arcs de cercle et des logarithmes , qui 
sont les plus simples des quantités transcendantes ; mais 
pour étendre les applications du calcul intégral , il faut 
nécessairement avoir recours à des transcendantes plus com^ 
posées. C'est en examinant avec soin la nature et les pro- 
priétés de ces transcendantes , au moins de celles dont 
Fusage est le plus fréquent , qu on parviendra à simplifier 
considérablement les résultats de la théorie, et à en rendre 
Tusage commode pour la pratique. 

Les arcs d'elUpse sont^ après les arcs de cercle et les 
logarithmes , une des transcendantes les plus simples , et 
dont on pourroit faire en quelque sorte un ^nouvel instru- 
ment de calcul , si une fois on s étoit familiarisé avec leurs 
propriétés , et que Ton eût des moyens faciles de les évaluer 
avec précision. Cest sur quoi nous avons proposé quelques 
vues nouvelles dans les Mémoires de T Académie des Sciences 
de Paris, année 1786. 

Mais si les arcs d'ellipse ajoutent beaucoup aux moyens 
d« l'analyse I sur-tout depuis qa'on a remarqué que les arcs 

A 3 



4 Mémoire sur les Transcendantes elliptiques. 

d'hyperbole s'en clt^duisent aisément , ils sont cependant 
insuîïîsans pour résoudre des questions d'ailleurs p^u com- 
pliquées , telles que la surijace du cône oblique , le mouve- 
ment de rotation d'un corps qui n'est sollicité par aucune 
force accélératrice , etc. Ces questions , et une infinité d au- 
tres , dépendent en général de Tintégrale f ^^ dans la- 
quelle P est une fonction rationnelle de x , et R un radical 

de la forme \/{a -h ôxh-y^^"^^^'"*"^-^*)»**? 6» Yi ^^<^* > 
étant constans. Or , en examinant avec attention la nature 
de cette intégrale, on trouve qu'elle offre trois espèces 
distinctes de transcendantes. La première et la seconde 
peuvent être exprimées par des arcs d'ellipse ; la troisième 
est plus composée : mais elle a tant d'analogie avec les deux 
autres, qu'on peut les regarder toutes trois comme ne for- 
mant qu'un même ordre d^ transcendantes ^ le preniier après 
les arcs de cercle et les logarithmes. 

Les deux premières espèces auroient pu se confondre en 
une seule , puisqu'elles sont exprimables par des arcs d'el« 
lîpse ; cependant nous avons cru devoir les distinguer , 
attendu que ce que nous appelions la première espèce peut 
bien se déterminer par la seconde ^ mais non pas la seconde 
par la première ; d'où il paroît que la première espèce ^ 
considérée analytiquexnent, est plus simple que l'autre, et 
qu'ainsi les arcs d'ellipse ne sont pas la transcendante la plus 
simple qu'on rencontre après les arcs de cercle et les loga- 
rithmes. Au reste , les rapports sont tels entre les trois sortes 
de transcendantes dont il s'agit , que nous avons cru devoir 
leur donner kTdénomination commune de Transcendantes^ 
elliptiques. 

rf ous nous proposons dans ce Mémoire de développer 
la nature et les propriétés de cet ordre de transcendantes ,* 
de mam*ère à en rendre l'usage facile dans les applications 
du calcul intégral. Plusieurs des méthodes et des résultats 
que nous allons exposer, sont déjà connus des géomètres: 



Mémoire sur les Transcendantes elliptiques. 5 

nous avons réuin sous un même point de vue tout ce qui 
a ëtë publié jusqu à présent sur cette théorie ; mais nous 
avons tâché en même temps d'y ajouter de nouveaux degrés 
de perfection. 

Idée générale des différentes sortes de transcendantes 
contenues dans la formule intégrale f -^. 

(i ) Nous représentons par P une fonction rationnelle quel- 
conque dex, et parK le radical v/(a-f-6^H-Y:i:*-4-^a:^-f-€x*) : 
ce radical restant le même > on peut donner une infinité de 
valeur^ à P ; mais il n en résulte pas pour cela une infinité 
de transcendâmes de nature différente. On peut toujours 

par des intégrations partielles , réduire l'intégrale /—^ 

à une partie algébrique , plus un certain nombre de trans- 
cendantes y qui sont toujours de la même forme et de la même 
nature. C'est ce qu'il s'agit de développer. 

Supposons d'abord que P soit une fonction entière de x^ 
«nsorte qu'on ait P = A-H Ba:-f-C X* -H. . .H- K a:*. Si a,. \m^ 

on représente , pour abréger , l'intégrale f — ^ par II'^, il 
est clair qu on aura 



or , en dîfiPérentîant la quantité a:* "" ^ R , et revenant de la 
différentielle à l'intégrale , on trouve cette formule : 

■ 

(;»__i)^n"-'H-(j»— i)€n«; 



d'oà il suit que n* ^ n""" * > etc. peuvent s abaisser succès-; 






\ 



6 Mémoire sur les Tran&eendantes elliptiques. 

fiivemcnt à des degrés inférieurs , et qu'on peut contînuef 
la réduction jusqu'à ce qu'on n'ait que des quantités au- 
dessous de n^ ; car la réduction de 11^ est encore possible , 
parce que dans le cas de //t = 3 , le terme qui sembleroît 
devoir contenir II"" ' s'évanouit. Donc P étant une fonction 

entière de x , l'intégrale y* —■ pourra toujours se réduire à 

une quantité algébrique , plus une transceudante qui sera 
constamment de la forme 



dx 



•r 



/(A^-Ba;^^Ca:^)^ 

(2). Considérons* maintenant la formule dans toute M 
généralité , et soit P une fonction rationelle quelconcfue de x : 
on fera comme s'il étoit question d'intégrer la fraction ra- 
tionelle P <f a: ; on extraira d'abord la partie entière qui 

peut y être contenue , et cette partie sera traitée comme il 
vient d'être dît. On décomposera ensuite le reste en plusieurs 
fractions partielles , selon le nombre des facteurs du déno- 
minateur ; de-là résulteront autant de termes dans l'intégrale 
•^x ^^ t %\%t\ ■ totale , et chacun de ces termes pourra être représenté par 

l'expression générale N/ _^ * ^ . Or, il est facile de ré- 
duire tous les termes de cette espèce à des termes sembla, 
blés , où A = 1 , c'est ce que nous allons prouver dans un 
instant. Observons auparavant que si le dénominateiH' , au 
lieu d'être complexe , étoit simplement x* , l'intégrale 

f -^ , et toutes les semblables où * > 1 , pourroîent se dëter^ 

miner parle moyen de rintégrale/'(— -f-B-HCx-f-Dx*) -j^ ; 

»^^*^ ^^\^ ^^ ilsuffiroit pour cela de donner à iTi— 4 ^ valeiu* ;nôga- 
î um W!% ^ </^% tives dans la formule de Tarticle 1. . 

dx ' • 

%'^$. ^-^•\ , Revenons au terme général y ^T^^^® nous appel- 

lerons r*. Si on fait 1 -H nx = ô, et 'quoo prenne iet 



Hfémotre sur les Tlranseendantes elliptiques. 7 

aoëJffîciens a' , tf ^ etc. , de manière qu on ait l'ëquation 
identique 






on trouvera par la dilFërentiation de la quantité q — *•*-» R , 
cette formule générale : 



— R 



(A— s)5'r*-3-i-(A— 3)e'r*-4, 



D^où il suit que les quantités r* , r' , etc. , peuvent se déter- 
miner au moyen de T' , F», T"', T—; or, 1^=/^^ 

J- •=/( 1 4- rtx) ^, r-»=/(i 4-»*)'^. Doncengéné- 

dx I- 

rai la formule / n: et toutes les formules semblables 

dans lesquelles k est plus grand que Funîté, se réduiront 
toujours à une partie algébrique , plus une intégrale de la 
ferme 



'(3). Nous conclurons de-là que ^ quelle que soît la fonc- 

tioa rationelle de x représentée par P, l'intégrale y*^~ 

sera toujours décomposable en trois parties prinçi* 
pales ; la première algébrique i la seconde de la forme 

y(A H-BxH-Cx*) ^,etla troisième renfermant un ou 

9 m 

jdusieurs termes de la forme Ny*-^-^-j^, où le coeffi- 
cient n peut être réel ou imaginaire. 
On Toit par cette analyse que le nombre des transcen* 

daBtM comprises daos la formule/ ^^ est très - limité. U 



% 



Mémoire sur les Transcendantes elUptitjtteèi 

n'en existe que de deux- espèces principales , Tune de la 
forme/*(A-+- B a: + C x^ ) -g- , l'autre de la forme A ^^nx)V. ' 
J'observe même que tant que n est réel , cette seconde espèce 
est comprise dans la première, et s'y ramène immédiatement, 

en faisant i -4- 7zxi=— . 

Ces réductions générales une fois apperçues , nous allons 
suivre une autre route pour parvenir à une comioissancç 
plus précise des mêmes transcendantes. 

Manière de faire disparaître les puissances impaires 

de la i^ariable sous le radical. 



(4). Le radical étanf toujours v/(cc-+T6j:-4-.y:t*r4-^j? -f-car^X 
supposons que la quantité sous le signe soit décomposée 
en deux facteurs réels t^H- 2T)x-+-0x% XH-2tiJC-+-vx*. 
Ces facteurs doivent être de même signe pour ^ue le raj 
dical soit réel , ainsi on peut supposer 

î + 2T)xH-ea;^=(X + 2tAa:-Hv:e*)jf . 

De-là on tire , 

« 

^— — ; —ï^,r 

Et si on appelle , pour abréger , Y le radical de cetfe ex* 
pression , on aura -— = -^ . La valeur de x ëtant substî-* 

tuée dans P , on voit que la différentielle ■ ^ - 014 , -^ se 

décomposera toujours en deux parties, Fune rationnelle et 
intégrable par les règles ordinaires, Fautre affectée' du 
radical Y, mais telle qu'il n'y aura que des puissances 
paires et y sous le radical et hors du radical. Ainsi Tintée 

gration de la formule -^-- se réduit toujours à celle d'une 

formul 






. Mémoire sur les TfÊnscendantes elUp tiques, q 

/ormule, de la môrae nature, dans laquelle P et R ne con- 
tiennent que des puissances paires de x. 

(5). Cette méthode est générale ; cependant, comme 1* 
valeur de x^ qui doit être substituée xîans P, est un peu 
compliquée , il ne s^ra pas'inutile de faire voir qu'on peut 
parvenir au même but par une substitution beaucoup plus 

simple, qui consiste à faire x = y^^, p ei fj étant deux 

constantes inJ^kerminérs. 

Reprenons lesfactiursï-t- 2r)a:-H a:*, X-t- 2 f^x H- vx^, 
et subsriruons dans chacun d'eux la valeur de a:, on pourra 
faire abstraction du dénominateur commun qui sort du radi- 
cal , et pour ({Ue les puissances impaires de^ dîsparoissent 
dans les numérateurs , il faudra qu'on ait 

^ + T) (/^ -t- ^) -+- ;?7 = o, 
X -H jx (/?•+- y) 4- V /7^ = o. 

Ces deux équations donneront des valeurs rationnelles de 
^ •+- ^ et pi] ; mais pour que p ^t (j soient réels ^ il faut 
encore que (p-k-çy — 4PÇ i <^^(P — ÇT soit positif. Or> 
on peut distinguer deux cas ; 

1*^. Si la quantité a H- 6 a; H- yx^H- , etc. n a pas tous 
«es facteurs réels, on pourra supposer que X-+- 2^x0: + vx' 
en contient deux imaginaires , et qu on a en conséquence 
jLv ^ (x\ Mais la seconde des équations en /? et ^ donna . 



donc dans ce premier cas le^ second membre est positif, et 
|es valeurs de p etç seront réelles. 

:: 2^. Si la quantité a •+- 6 a: 4- , etc. a tous ses facteurs 
rëela» et qu'en la décomposant en deux facteurs du second 
degré , comme on vient de faire , il a en résulte pas des yuleur* 

B 



lo Ménufù^sufles TmmêÊifiSdan 

réelles pour p etÇj alors on observera qu'il y a deux autree 
manières de décomposer la quantité du quatrième degré en 
deux facteurs du second , et on peut être assuré que ces 
deux nouvelles combinaisons donneront des valeurs réelles 
pour petç.En voici la démonstration. 

Soient a^ b y c^ dles quatre valeurs de x qu'cm a en 
faisant R = o , les équations qui détermin^Eit ye^ et y pcmriQBt 
s'écrire ainsi s 



ah — \{a •\- b) {p-^ éj) -^pç^ 


aO, 


cd-^i(G -t-<f)(i»-»-,^)-H)»y = 


SO. 


II en résulte 

• 




• 




t 




/F-fN»^*""'- •-* *-*• *"•' 




\ % ) la + h-c-dT 





Or I on est maitre de rendre positif le nnm^ateur de Cette 
dernière quantité; car supposons que a^b,Cjd soient écrites 
dans Tordre de leur grandeur , les négatives venant après lee 
positives , alors les différences ^ — ^ , a — c , etc. sercmt 
toutes positives, etp — ^ sera réel. On aura encore/? — ^ 
réel , si on prend pour a et 6 les extrêmes en grandeur des 
racines a,b,c,d. Enfin , la troisième comlnnaisou donne* 
roitye^ — ^ imaginaire. 

Donc par la substitution de^: as 't^i^i il est toujours pos* 

sîble de faire disparoltre les puissances impaires de la variable 
sous le radical , et en même temps on obtient ce nouvel 
avantage , que les deux facteurs , sous le nouveau radical ^ 
seront réels et de la forme/ -+- gj^ « ce qui est un point 
essentiel, et qu*on n'obtiendroit pas toujoars per le premîàre 
méthode* 



\ 



Mi m o w Êiur Us Tnanseendaniet eiliptufMiêté ii 

Remarquons qu il y a deux cas particuliers à examiner. 

i^« Lorsque Tune des racines a et & est égale à Tune des 
ncines c et d. 

2?. Lorsqu'on aa^-&s=sc*+«J. Dans le premier cas 
le radical R se slmplifieroit , et Tintëgrale ne dëpendroit plus 
qiie des arcs-de- cercle et des logarithmes. Quant au second 
oas I il suffit d'une simple permutation pour cesser d avoir 
n -f- & = c -4- 1/ ; mais on peut aussi profiter de cette cir- 
constance pour faciliter la transformation. £n efîet, les 
deux facteurs dé la quantité sous le radical étant alors de 
la forme, X-4- v (a? •+- 2 mx) , ^ •+- 6 (x*-t- 2mx),ïl est clair 
que si on fait x +• m = j^ i les puissances impaires de la 
variable disparoitront. 

Hiéduction de la dïfférentieUel^ à la forme ^^^^§^j^. 

(6) Puisque par une première préparation on peut faire 
ensorte qu'il n y ait pas de puissances impaires de la variable 
•ous le radical , nous ferons désormais R=v/(a-H6a?-4- y j:^). 
l^ous supposerons aussi que P est une fonction paire de x ; 
car quelle que soit la fonction rationelle P , on peut tou« 
jours faire P=:M-4-Nx,MetN étant des fonctions 

paires de x : or , la partie — ^ — se ramène aux règles ordi« 
naires , en faisant x^ =: y ; ainsi toute la difficulté se rédtiit 
à intégrer la formule -|p , dans laquelle M est une fonc- 
tion paire de Xw 

Cela posé | nous allons prouver par Té numération des 

différens cas , que la différentidle -^ peut t ujours se ra* 
tnener à la forme ^/^^H^tut.^ » ^ étant plus petit que Tu*; 

nité. 

Ptemier cas. Supposons les facteurs de an-ôx^H-yx^ 
ifliaginaires , et représentons cettequantitépar X^-h 2X(ix^cos.é 
|i^x^i Xet (A étant positif»^ et cos. ô pouvant être positif 

B2t 



12 Mémoire sur les Transcendantes elliptiques. 

ou négitif. On fera a: = v^ ( -- ). tang. 7 $ , et prenant 
c =:sîn* I , on aura la transfoimëe 

d X _^_^_^ 1 d^ 



Secondcas. Soîta-H6a:*-+-ya:*=^.*(H-/7^a:*)(i — 9*x*); 
la linjite de x étant— , on fera a: = — cos. 6 et -—— ; = Cî% 
ce qui donnera 

1/ X c — d^ 

R mp y'(i— c* 6in. •' <^ ) 

Sî on vouloit que la transformëe fût positive , îl faudroît 
fciire cot. 4> = \/ ( i — c*). tang. xl^, ce qui donne directe- 
ment x^ = ■ , . "°'çj,^a ^ , et la transformée seroît 

êx c d-^ 



H mp v^(i — c'8in.*i')* 

Troisième cas, Soîta-H6a:^-4-Y^=''**(H-^*^*) (^ — 9*)> 
onferax =^, ^-q~;rj.= c% eton aura 



<fs ^_^ c d ^ 



Quatrième cas. Soît aH-6:i:*-|-yx^=: m*(i«+-;;^a:*)(iH-^*:»:*), 
on supposera yj? > ^ , et faisant ;i:=: î^^^ , ^^-7^* = if , on 
aura , 

dx V a? ^ 

Cinquième cas. Soît a-t-'6a:*H-y:c^=-nt*(i— ;?*a:*) (1 — q^x^)f 
on supposera p^q,et faisant yc? a; = sîn. i^ , -^ = c, la trans- 
fcrmée sera 

dx ^__^ .1 </^ 



Mémoire sur les Transcendantes elliptiques. ^ 1 5 

Cette formule servira depuis x = o jusqu'à x= -- ; le 

radical R fieroît imaginaire depuis .r=— jusqu'à a: = — > 

mais il redevient rcel depuis :c =r— jusqu'au = co. Dans 
ce dernier cas, ilfAul écrire IV = vi^{])^ x" — i) (^^o;* — i), 
et faisant n x -=. -r^— , -2. = c , la transformée sera 

' ^^ d A 

wf v/O- c -im.-^r ^^ °^ ^'®"*^ qu'elle soit positive , il faudra , ' 
comme ci-dessus, faire cot. <j) = y/( i — &). Tang. xj', ce ' 

qui domie directement x^ = ■ ", "^ ^',"« ^' i et la transformée 

*- y' COS. Y 

sera 

dx 1 rfxV 



formule abs lument semblable à la première ; d'où il suit 
que l'intégrale de -^ pour le cas de a: > — se déduira tou- 

jours de la même intégrale , prise en supposant ^ < y. 

Sixièmccas Enfin, soit a-f-6x''-f-y^'*=^^^(^^ — ^^)iP^ — ■^'*)> 
alors X doit être compris entre jy et q. Soit y> ]> <7 , et soit 

^îtx= ^, , on aura d'abord ^ = ,,^(^> ^^L^^>in. so' 
Dans cette formule Tangle x|r a une limite ; pour en iutro- 

• a 

duire un indéfiai , «oit sin. ^ = c sin. <^, et c"" = • ' ■ ^ , 
on aura la transformée 

d X _^^ 1 d^p 

« TT ""^ ÎÛ;^' v/(i— c* «in* ^) ' 

à laquelle on seroît parvenu directement en faisant 
a* = 



X — c* iiii.'^* 



(7) On peut remarquer maintenait , qu'abstraction faite* 
dapxmnier cas t- les valeurs de -^^ > qui opèrent la réduction 



i4 MémémnrléaTranÈêendùntesdHpt^^ 

cherchëe , sont toujours de la fonne g^^-^sr^ où les coëfiB* 
ciens sont constans. U ne s'agit plus que de substituer cette 
valeur de x* dans P , et la formule f -g^ sera transformée 

en une autre y y^^_^f^»^) » dans laquelle c sera plu^ petit 

que Tunité , et Q sera une fonction rationelle paire de sîn.^ # 
laquelle contiendra sin. ^ au même degré que P contient x« 

Nous faisons abstraction du premier cas, parce que la 
la forme de la valeur de x est un peu différente , et quo d'ailleurs 
exi suivant la méthode de l'article 5 ,on évite ce cas puisqu'on 
tombe toujours sur des facteurs réels. Mais nous reviendront 
dans un autre article sur le cas des facteurs imaginaires. 

Développement de Informulé /''^7r~^t^JJ)'* 

( 8 ). Nous représenterons dorénavant le radical 
*l/(i— c*sin.*<f) par A, et aussi par A(^) et A:(c,^)| 
lorsqu'on le regardera conune fonction de ^ , ou comme 
fonction de c et <^. 

Considérons d'abord le cas oii Q seroît une fonction 
entière, et soit Q=A-HBsin.^^-4-Csin><^*+-etc»; si on 

représente pour abréger Tintëgrale / . •>'»- 2^- ^f parZ^j^oK 
aura 

y.Q|fL-:AZo + BZ*-hCZ4H^ete. 

Mais en différentiant la quantité A ces» i^ siH. ^*'-^'4f , on 
trouve aisément la formide. 



A COS. ^ sin.»*-5^^(ajt — 5)Z»*-4 — (m-c^) X' 

(2*— 2)Z**-*^C*(2*— i)Z^*i 



Z4, ZS cfto* peuvent t'exprime] 
qn'eiâai^da» le eaa dk Q>èstii 



r: 



lléEimoù^iurlesTranscendanieiell^fti^^ i5 

e&tîÀrei Tintégrale y*~^ est égale à une quantité algé* 

brique, plus une intégrale de la forme y(A*+-B sîn.*^) -^•' 

(9). Soit maintenant Q une fonction quelconque ratia« 
nelle de sin.^ ^ ; après avoir extrait la partie entière 1 et 
Tavoir traitée comme il vient d'être dit , le développement 
de la partie fractionnaire pourra toujours se faire de 
manière que chaque fraction partielle soit de la forme 



N 



(iH-ittîa.*^/ 



n et N étant des coëfficiens constans réels 



ou imamnaires. U s agira donc de réduire la formule 
r — — — ^ — T— , et toutes les semblables aux formules les 

plus simples de la môme espèce. Or, si on fait pour un 
moment sin. ^=:x, cette formule deviendra 

Considérons , pour plus de généralité , la formule 

dans laquelle R représente le radical \/(a^ta^ -4^ y^)$ 
OB trouvera , toujours par la différenliation , 

» 

De-là il résulte que le terme 11^ et tous les semblables où 
i est plus grand que Tunité , peuvent s'exprimer en partie 
algébriquement , en partie par les quantités n\ n^, n— s 
qui sont les plus simples de leur espèce. On peut même 
obeerver que si i -h- na^ étoit diviseur de la quantité sous 

JaxftdicaltaaquelcasQDfauroit a-— -^-H^ ^= o , alors la 



• ■ ■ ' 

9 T Mémoire sur les Transcefidantes elliptiques. 

formule précëdente auroît un terme de moins, et ainsi la 
quantité II* ne dépendre' t plus rpie des deux Tl^'cr ri"" ^ 

Donc la détermination do n* dépendra en général de la 
formule 



dx 



/(rî^.-^BH-Ca.O¥, 



et en particulier lorsque i •+- /îx* sera diviseur de R*, 
on pourra faire disparoître ce dénominateur , et Li dé- 
termination de n* ne dépendra plus que de la formule 

(lo). L'ai plicationde ce résultat à ririt('gralo / ^ — r- 

fait Yoir qu'en général cette intégrale dépendra de la sui- 
vante , 

Et dans le cas particulier où i ^- /i sin.* <^ sera facteur de 
cos"" <^. A% 1 intégrale pourra ôtre débarrassée du dénomixMiT 
teur , et ne dépendra plus que dd la formule entière 

/(B^Csîn.*<^)^. 



t ■ t 



Ce cas particulier aura lieu si n = — • i , £t si /i= — c*, 

alors les formules sont/ /r-» et/7-rxT» et il est facile 

en effet de réduire Funé et Vautre à Une partïè algébrique , 
plus une intégrale de la forme/ ( A -4-B sin.*({> ) -^. On peut 

ajouter à ces deux cas celui de^-r^ — , qui est susceptible 

d'une semblable réduction , et qu'on effectuera par la forr 

mule de larticlo 8. ' • ^ 

Il résulte de ce,tte analyse , que la formule g<$nirâley^~ ', 

réduite convenablement, contiendra; x^. une partie aigé 

lyrique 



Méritoire sur Us TranscendanieselU^^ if 

briqiie; 2^ une intégrale 'de laforme/(AH-B sin.*^)^f 
3®. une ou plusieurs parties de la forme f ^ ^ 

dans chacune desquelles les coëfTicîens N et » auront des 
valeurs quelconques , réelles ou imaginaires. 

Dé/înielôn des transcendantes elliptiques , et leur division 

en trois espèces. 

4 
P ff * 

(il). Puisque les transcendantes que nous avons considérées 
se réduisent toujours à ces deux formes y( A -h B sîn^ç ) ^ , 

/ ~ 4-/8?n.'(p)A » ^ ^^^ ^^^^ qu'elles sont comprises dans la 

formule générale 

• • ■ 

Nous appellercMis désormais , fonctions ou transcendantes 
elliptiques , les intégrales comprises dans cette formule. La 
transcendante H sera supposée s'évanouir ou commencer 
lorsque <f = o ; son étendue sera déterminée par la variable <f , 
qu'on appellera V amplitude ; la constante c , toujours plus 
petite que Tunité , s'appellera le module ; enRn v/( 1 — c"*), 
que nous désignerons constamment par h , pourra s'appeller 
le complément du module. 

La quantité H , lorsqu'on ne considère que la variabilité 
<îe<^, peut se désigner par H (^); si on considère à la fois 
la variation du module et de Tamplitude , on peut la repré* 
senter par H(c, ^), et ainsi de §uite^ si on vouloit avoir 
^ard à l'inégalité des coëfïiciens. 

(12). Il suffit de connoître toutes les valeurs de H , depuis 

^ = o jusqu'à ^ == 90^ = V # ^^ ^^ connoîtra facilement 

la valeur de cette transcendante pour Une amplitude quel-, 

C 



i8 Mémoire iurUs Transcendantes eUipHéjuet, 

conque. £n efîet , soit ^ = i tc d= a , t étant un entier et a 
un arc plus petit que ^ > alors on aura 



H (<f) =:aiH(f)±H(a). 

II en est à cet ëgard de la fonction H comme des arcs d^els 
lipse , et en général des arcs de toutes les courbes ovales 
composées dé quatre parties égales et semblables: un arc, 
quelc{ue grand qu'il soit et renfermant, si Ton veut, plu* 
sieurs circfjnférences , s'exprime toujours sans difficulté par 
le quart de la courbe et une portion de ce quart. La fonction 

déterminée H ( ~ ) est en quelque sorte Tunité des fonctions 

H : nous la désignerons par H i . 

Il ne par( >it pas que la fonction H prise dans toute sa gé« 
néralité^ puisse se réduire à des arcs d'ellipse; cela n'a lieu 
que lorsque n=z Oy ou lorsque quelque substitution peut 
faire dîsparoître le dénominateur i -f-/î sin.^ ^ , ce que nous 
ne croyons pas possible en général. Ainsi la dénomination de 
fonction elliptique est impropre à quelques égards; nous 
Tadoptons néanmoins à cause de la grande analogie qu'on 
trouvera entre les propriétés de cette fonction et celles des 
arcs d'ellipse. 

(i3). Lorsque n= o , ou lorsqu'une substitution conve- 
nable peut faire disparoltre le dénominatseur i -H /ï sin.* ^ , 
alors la fonction H se simplifie considérablement. U convient 
donc de la désigner par une autre initiale G : ainsi nous 
ferons désormais 

La fonction G , comme nous le démontrerons ci-dessons , 
s'exprime toujours facilement par deux arcs d'ellipse , et 



k j . 



l 



t 



MSiiM^ iurlètT^^ 19 



fomt aux arcs d^ellipse eux mémea» ils sont représentes par 
là £irmiila 

sur quoi trayez les Mémoires de F Académie , année 1 786. 
Enfin , eu égard à la simplicité analytique » la formule 

jT ^i,,c»,{n.«^) ^st extrêmement remarquable , et il est néces* 

saire do la désigner par un caractère particulier , ainsi nous, 
ferons 



F = /;7;d 



'♦- 



■ K 



V^(t— c'éii.*^)* 



oette fonction F peut , à plus forte raison , s^exprimer 
deux arcs d'ellipse ; mais elle peut aussi s*exprimer par Tare 
E , et sa différence partielle reldtive au module c ; car il est 
visible qu on a 



E — ^75- 



Cette expression seroit même, à notre avis, la plus com^' 
mode pour le calcul numérique des intégrales , si on avoit 
des tables d'arcs d'ellipse, et qu'à cdté de chaque arc on y 

•joutAt la valeur du coefficient -j^. ^ « 

Quoi qu'il en soit , la quantité F peut bien s'exprimer j, m^t^ff 
par £, mais non pas Epar F, et encore moins G par F; ^ ' 

et c'est , ce me semble , une preuve certaine que la fonc- r^^^^f^'^^ ^^ ^ 
tion F y considérée analytiquement , est moins composée /^^ ^^^ fr^ ^J £^ 
que les arcs d'ellipse. Si on soumettoit à la même épreuve y , //^ ^^^ 
les arcs d'hyperbole , on trouveroît qu'ils sont absolument * 

de la même nature que les arcs d'ellipse ; car de môme qu'un 
trc d'hyperbole peut s'exprimer par deux arcs d ellipse , de 
mente un arc d'ellipse peut s'exprimer par deux arcs d'hy- 
perbole. C'est ça qaà deviendra évident par lea valeurs que 

Ca 





,v.: 




4 


,' . '... 


■»• % '^^..^"^ 




'•A «■ ' 






•^ll 


• 



Hous donnerons ci -après de ces arcs, et qui d ailleurs s^ 
trouvent dans les Mémoires cités de 1786. 

(i4). lï y a donc trois espèces distinctes de fonctions ou 
transcendantes elliptiques. La première et la plus simple est 
représentée par la formule . 

F — fil* 

la seconde est représentée par la formule 

G=/(A-HBsin.««{»)^. . 

Celle-ci renferme comme cas particulier , Tare d'ellipse E = 

yA^^jetTarc d hyperbole Y= A tang. 4> — /(i *'— sin.*^)^^. 

£nfm la troisième et la plus composée est représentée par la 
formule 

Pans cette dernière , les coëfficiens A, B, n pourront êti:e 
imaginaires ; mais alors la formule H seroit accompagnée 
d'une formule semblable , qui n'en différeroit que par le 
signe de y/ ^ — 1 , et la somme dés deux donnera toujours 
im résultat réel. ' .' 

On pourroit àiissi , pour éviter les imaginaires ^ regarder 
comme une espèce particulière de fonctions elliptiques^ la 
formule 

X7- _^ /• A 4- B ain.*^ -f-Csîn.*^ ^♦s 

J i + s/xcos. «sin.'^-l- n*«m/^* H. '- 

mais nous ne jugeons pas nécessaire d'admettre cette qua-^ 
trième espèce de transcendantes , et nous nous en tenons 
aux trois autres , fondés sur ce que les calculs par lesquels 
on détermine la valeur de JEi sont les mêmes , soit que n soit 



î^l , soît qu'il soit imaginaire. Ce qui nous paroît seulement 

?*id]spensable , c'est que le module c soit réel, ainsi cfue 
aif^plitude ^ , et qu'en même temps; c spit plus petit que 



f' 



tk>rhparaison des fonctions elliptiques de lapremière espèce. 

(i5). Tous les géomètres connoissent l'intégrale complète 
algébrique qu'Euler a donnée de Téquation , 

cette intégrale sera d'un grand usage dans nos recïierches. 
Et d'abord , en vertu, des transformations précédentes , cette 
équation peut , sacs perdre de sa généralité , être mise sous 
la forme ^ 



^•- -^ 



son intégrale est alors F (^) -*- F C^) == xîonst. Maïs la. même 
intégrale trouvée par* la métHôde d'Eùler, et ïéduite à la 
forme la jplus simple , est ^ 

cos.^cos.^ — sîn. <^ 8in.\Ir'v/( i — c*sin.* fi)=cos. fi . .. (a'). 

w r --,■»• - . 

l>ahs celjet-çi \t, est la constante arbitraire , et on voit qu eà 
faisant <^ i= o on a 4^ == ^ ; donO la première devient 



F(^)^i.F(i)=*F(^i): 



i 



t ' t 



JDonc , toutes les fois qu'entre les ailles <^ 9 >1^ , fi > il y aura 
la relation déterminée par l'équation (a'), la F (ja) sem 
.^gale à la sonune des deux F ( ^ ) , F ( >lr) . Nous abandonnerons 
ici la considération de Téquation^difTéirentiçlIe , pour exami- 
ner les conséquences que ce résultat présente par rapport aux 
fonctions elliptiques de la première espèce. 



Aâ MérMir0 sur les Tmnscêndantes eUiptiifuet. 

(16). Etant données deux fonctions elliptiques à volontë 
F(^)» F(^)t on peut trouver une troisième fonction F(ji) 
égale à leur somme ; il faut pour cela tirer la valeur de (i de 
Téquation (a^). Or en représentant toujours \/(i — c*sîn.*^) 
par  ou À(^)9 et le radical semblable en >|r par à(^)f 
on trouve 

côt. ^coi. 4^ — A<^) A(4^) s in. f sîn. ^ 
COS. (i =s p:;!-. ^j^ . ^ ,j^ • -^ • 



A(l*) 



A(^)A(4^) — c'sin. ^lîn. 4 ^c o». ^ cot. 4^ 

i — e* •iiL* f •in.* 4^ • 






^•. 



Remarquons à Tégard de cette dernière formule que 
on preuoit les angles <f ' et ^Ir* ^ tels que 

tang. ^'=A(4r)tang- ^, tang. 4^'=A(^)tang.)|r, 
il en résulteroit 

ce qui est un moyen de calculer aisément Tangle (i par let 
tables des sinus ^ lorsqu'on connoitra ^ et \^. Mais d'abord 
il faut calculer A($) et A(>Ir): pour cela prenez les angles 
a et 6 tels que sin. a=iC sin. ^ et sin. ^sszc sin. ^, vous 
aurez A(^) = cos. a, et A(^)?=cos.6. 

Ces formules feront donc connoltre Famplitude ^ dé la 
fonction elliptique , somme des deux fonctions dont ^ et 
^ sont les amplitudes. On peut déduire de-là Famplitude 
de la fonction différ^ice de deux autres fonctions ; soit . 



Mimbirà'mr Im Tnnseendant^s él^ aS 

•t Famplitude ^ de la fonction difPërence se déterminera 
par celle qu'on voudra des formules suivantes : 



'* 



COS. (X a= ri. ^ iin/ ^ •in.r^ 1 

Sm. fi t— ?fui.»^tin.«^ t 



A(ti) 



A(^) A (4^)4" g* WP» ^ «n* 4^ cot. ^ rot. -^ 

1 «~c* sio.* 4^ «in.* ^ ' 



Dans cette dernière , si on fait tang. <^' = A (>lr) tang. ^ et 
tang. ^' = A ( ^) tang. ^ , on aura t* = <^' — xjr'. Ces for- 
mules ^ pour la différence, se déduiroient des formules 
pour la somme ^ en changeant simplement dans celles ci le 
signe de^^ et conservant A (^)positîvé.Ilestîautiled'ailleurs 
de faire observer l'analogie qui règne entre les vali^ùrs de 
COS. fi, sin. ji et celles de cos. (<f ± xjr) ,*sin. ( <^ it: 4'') ; elles 
Coîncideroieut entièrement si on àvoit c =: o. 

(17). Puisque nous connoîssons algébriquement TampliV 
tude de la fonction égale à la somme ou à la différence de 
deux fonctions données, il ^51 clair quon peut trouver algé- 
briquement une ffmction elliptique miiltiple d'une fonction 
donnée , et qu'en général on peiit résouiire sur la multiplica- 
tion et divisîoit des fonctions elliptiques de la première espè- 
ce , les mômes problèmes qu on résout sur la multiplication 
et division des arcs de cercle. Désignons par <^ n lampUtudê 
de la fonction qui contient n fois la fonction dont lamplitude 
est <f ^ ensorte qu on ait F ( <f /f ) = » F (<^) ; il s'agiroit d'avoir 
l'expression générale de sin. ou cos. <^ n , par le moyen de 
ain. et cos. ^. Voici quelques recherches à ce sujet. 

Les cas extrêmes n'ont aucune difficulté. Si on a c s=so«. 
alors ^ ^ = n^ , et on a la relation connue cos. <{>/» -4- 
^. ^^ vl~ * =:(cos. <^«+-sin. ^v^— x)". Sionacssi , 



A 



14 Mémoire sur les Transcendantes eUiptinnès. 

alor8laF(^)devient/^, ouilog. ( L±^ ), de sorte 

que pour la multiplication des fonctions , on aura cette 

relation très-simple \'^2Vn =( H^ÎF^ )". La difficulté 

est de trouver lexpression générale de siù. ^ /i. lorsque c a 
une valeur quelconque entre o et i . 

Considérons d abord le cgs^Ieplus simple , qui est celui de 
la duplication ; alors on a 

cos. ô 2 = '•"^"°'?.v:"°''^ . 

•^^ • ^^•* a A( ^ - sîn. A COS. 

^ 1 — c' tin.* ^ . ' 

r 

tang. 7 ^ 2 =1 A ( ^). tang. <^. 

I> dernière de;çes formule^ parolt commode pour les calculs 
trigonométriquçs ; car, si on prend successivement les an* 
glesi a , a2 , a,/^^ tels qu on ait ; ; . 

• f ■ 

sin. a =: csin. <^ ^sîn. «2=^ c sin. <^2)Sin. a4=c sin. <^ 4i ^^Ci 
il en résultera ' 



it i «- 



». ■ ' ■ 



tang.7 ^2 ascds. a tang.;^^ tang^7^4=±=cos. a2tang..4^2v etc. 

de sorte que la fonction F sera multipliée par 2 , 4 î ^ ' ^ ^ 9 ®tc. 
Si on veut la diviser par les mêmes nombres , nous appel- 
lerons par analogie ^ 7 Tamplitude de la fonction qui est 
moitié de F , et Tin verse des forniules précédentes donnera 

sin. ^i-= ^/ t -i- A x, 

Soit encore sin. a = csin. ^ , ce qui donne Ac=:cos. cc^ on 
aura en termes fort simples • 



sm. 0.^= TTT^'j 

fc ^ COS. 5 il ' 



Si 



f- 



i 



S^^on^^t de mém8.8m..ai=i?6Uï. ô^, on aura . , 

I : ■ . ^ . * : ■ 



• M% ' ' 



" '■' ' ' . * .ili -A- 

t ♦ COI. î « î ' 

• , ' • * ■ - . . . 

Wt aiQsijde smte. , - .^ 

(i 8) . Venozis à la mi4f;plicàtîon!rt.dî,^^^ par un nombre 
quelconque. Pour cela considérons leis itroîs amplituc^es con« 

sëcutives ^n — . i /^ » ^ 4» dj+- 1 , qui, atuyânt J-ittdicatîon ^. 
répondent aux fonctions (/i — i) F, /^F, (AH- i)F, Les 
formules pour lascnnme ^ la ^i^QfëreqLçedç deux/onctions ^ 

s'appliqueront aux équations F (<^/i -f l ) r= F (^/^) 4- F ( ^ ) ,; 

F ( ^'^^!=?r) = F (^ny^fiiff; et n en 



* ■• »Ac6â. ^ tin. ^ Jf 



sm. ô /* -H iH- sm, 6 7ï — 1 = — . . 7^ .\^ 

T ' ^ ^ 1 — <:• «in.* ^ «in.* ^ /» 



■■^c ' ' /^ 



* V-- ""'^f 



^rr*^ '■- - \t^%^i^imL\pn 



I 



COS. ô rt-H 1 -4-.C08. A /J — 1 = ; — ^l-:»^ ..'!'<. ,• ' 

estent «oÉistàitiïiei^ lefif : 



n r ;; ] j 



que n varie , paroissent aussi commodes qu'ij est possible f 
pour en tirer les valeurs successives de sîn. ^ 2 , sin. ^3^ 
cos. ^ 2-, eàSf. ^5 , etc. Ainsi , en faisant : pour abrégei 
2 A COS. t^=/?, 1 — c**i||^^^=py>^ôia.^'^^i,— -^sssrjt 



oatrouvera ;l'. •' ,. . ,. 

• -' • - :î ■ . . ' j Mit •• 

8Înv^3 ss £-8in. ^1 



•. . • . '^ 






'^6 MlimDirèmrleiTransemiantêsélfy 

Mais ces expressions ëtant entièrement dëveloppëes , de^ 
viennent fort composées , et leur loi estMrès- difficile à 
appercevoîr. 

Lorsqu'il s^ngîra de calculer trigonomëtriquemet i^npar le 
moyen de <^ , on y^flarviendra aisément de cette manière. Les 
deux formules ci*dessus donnent par la division 



^îil^ ±,'"^"°'^I^ =^Atang,6n, 

coi. f Jt 4- 1 -f- COt» ^ A -*- 1 « V ' 

ce qui se réduit à cette fcHiBule trèa-simple 



t^g* ii^^ +1 ^\^n — i)=Atang.^ii; 
d'où Ton tire successivement 

tang. 7^ 2 ?= A tang. 41. 
tang.CT^3 H^ 7^)=t=Atang. i^a. 
tang.(7^4-*-7^2)=Atang. <^3, 
etc. 

Or A ëtant toujours le même dans ces fonnules , on ne ptat 
rien désirer de plus simple pour calculer les valeurs succes- 
sives de ^ 2 , <^ 3 , etc. par le moyen de ^. On pourroU aussi 
procéder peu* de plus grands intervalles au calcul de <^ m 9 
m ëtant aussi grand qu on voudra ; car on a semblablement 



tang.(7^iï+i+7<^/» — i)=Aitang.<^i», 

A / ëtant le A qui répond à lamplitude <^ i. 

La division d'une fonction elliptique donnée en un certain 
nombre de parties égales , est un problâme algébriijue qu'on 
résoudra par le développement des formules qui servent à 
la multiplication. On a déjà vu les formules pour diviser 
par 2 ou par une puissance de 2 ; supposons qu on veuille 
diviser la fonction F en trois parties éaales ; soit 4> 3 Tarn* 



{illtude donnée de la fonction F, et <^ ceUe de la fonction 
qui en est le tiers. Nous ferons sîn. <^ 3 ssa , sin. <^ss:r , et 
Téquation à résoudre pour la trisection sera 

Cette équation est du neuvième degré; elle seroît du â5^ pour 
la quintisection , et ainsi de suite. 

Les équatious sont moins composées de moitié , lorsqu'il 
•^agit de diviser la fonction entière F i ^ dont FampUtude est 
de go^ Supposons en général <^/ï =2 90^ , la formule (a') de 
l'article 1 5 , où Ton peut faire (i = go^ , donnera d'abord 
cette relation 



tong. ^n — i = •*■ cot. ^ / 1 



4e sorte qu'on a suocesbivement tang. ^n — ^ =^ 4* ^^^* ^ 1 

tang. 4>n — 2=^ jcot.^ a, tang.^i» — 3s=^cot <^3,etc.. 
Ensuite à cause de ^ n = go^ 9 onaaussi 

tang.(45*H-i^n^Il2)==sAtang-^n— i = |^cot^ 



etc. 

De là résulteront des formules assez simples pour déterminet 

^ n — 1 , <^ n — a , etc* Développant de même celles quj 
donnent <^ 2 , <^ 3 , etc. , on aura par la rencontre de ces deux 
suites , l'occasion d'établir réalité qu^ doit déterminer ^ | 
ainsilorsque /» = 3 ) cette équation est immédiatement 

' tang.(45oH-^^) = Acot.^, 

oursin. ^= A (1 — 8in.<^) 9 d où l'on tire, en irisant sin.^srj;. 



â8 MfyMimêw4etT*mi0^ 

jÊquatiOn pcHÎv Isf ^trisectioil de la- i^û<$iob Friri et dont ^ 

Lorsque n =^'-5*', îlfauài^d '^iMitef ^' 5 ^des' dè^btéc}^^ 
lions ^. — '#-f • V 

tang. (45» ï '^f 5) =^=i^ ; ' 

Bt ensuite mèttt>è «û lî«fti'de.tiiftg.'4*à sa-vldeur TrâSi?™^* 

ëquatîon pour la quînti-seçtion.djeia fôiiet^ ]Ç i^ et qui étant 

entièrement développée, montera au degré 12 = ^ ^ ' , 

Telles smit les ^'rnjtiléé ^# }^t|fxèiW dïu p€fti[t trôiivep 
la relation entre 4^*-et.^ pour que.F(,^/i)=u^E((^), tij 
ëtarit un nombre" entief. S^l fallbit trouver. la relat ion entre 

0^ et^ pour que ¥(^i^~¥('i^jrmk'n étant •défi eh- 

tîerç»^ ,Wi. ^reficfeiîtifin .aqgW attx^'Iiâîce.TQ, tel que n F (4^) =: 
F(q), et fnF(^)=zF(o). La première condition donnera 
une équatioi^ algébrique entceles. sinus, et cosinus des angles 
^ et o; la seconde , une entre ceux des angles <^ et o ; d'où 
éliminant o, on aura la relation cherchée entre <^ et ^. 
. jl[A9)f fîM^'^i) :JésuJ£e qulon peut toujours trouver Vin^ 
té^faleg^^tpriq^îç çç^aplète de réquâU;iou'~ ^ ^ . , 

7n et n étant des nombres entiers. Oar l'intégrale est'd'âbôrd' 
?nF(<p)-+-/zF(\Ir)=rc6nst. , et ^ . 6ix sùpppse que lorsque 
$=:o, )Ir=ji, la^constante sera nF([i), et ainsi on aura 



.*.» »* 



»»F.(*)rh^t(>IfJ!=»F<t*^, 






►*• 1. 



'Mémoù^BSur les Transcendante^ dli/fJtiçnes. r 29 

.Or, on peut avoir une ëquation jalgëbrîque qui représente 
cett^ équation transcendant* ; car si on fait F(q)=F(^) — 
FCxl/-), ce qui donnera /»F(^) = /zF(q) ; chacune de ces 
ëqua,tions pourra s'exprimer en termes algébrique*, et aia^î 
en éliminant o y on aura l'intégrale algébrique complète 
de réquation proposée. 

En général , si on avoit Téquatîon suivante dans laquelle 
m, n, pf etc. sont des entiers positifs ou négatifs, et dont 
le Bombre des termes est à volonté , pourvu qu'il ne soit 
pa» iipni 

fîlitégrale complète sera F(jx)=3?7^Ff(^) + n F (\Ir)-H 
f>F(«)-+-etc. , ji étant la constante arbitraire. Or, cette 
équation . transcendante peut toujours se changer en une 
équation algébrique; car en faisant F<<f^) == ?7tF(<Ç), 
F(\lr')=:/iF(\^), F(o')=:^F(o), etc., ce qui donné 
F(ti)=F(<^')^F(^') + F(<î^')-+-^tc. , chacune de ces 
ëqiiations pourra être changée en une équation algébrique, 
et SI on élimine ^' , >^' , q', etc. ,♦ Téquation résultante ren- 
fermera l'arbitraire fi, et sera l'intégrale algébrique com* 
plète' de. la proposée. 

Si on appelle R (x) le radical v/(flH-ÔJP*4-Y:t^-f-^x^-+-ea:*) , 
R(y) un radical semblable en j^ ^ etc. et que m, n^p^ etc. 
désignent toujours des nombres entiers positifs ou négatifs^ 
il est clair que T équation 



R(«) ^^ K(^) '. R(;5) 



pourra toujours être réduite à la forme précédente, et 

qu*ainsi elle aura toujours une intégrale algébrique complète. 

Rien n'empêcheroit de supposer que z et les vaiiables 

suivantes fussent défi fonctions algébriques données de x 



5o Mémoire sur les TrameêndanteselUpH^ttés. 

et y ; alors Féquation prëcëdente ne renfermeroît que denx 
variables, et malgré rinfinité de formes dont elle seroît 
susceptible I elle admettroît toujours une intégrale algé- 
brique complète. Il me semble que Ton n'a pas en- 
core fait attention à cette manière de généraliser le ré- 
sultat d'Euler concernant Téquation r7^"1^"h^=^*^^ 
grand géomètre s^est proposé , Mém. de Turin, tome IV ^ de 

d.M i/v 

trouver des cas d'intégrabilité de Féquation -7^ -+• -^ = o i 

dans laquelle X est un polynôme en :r , et Y un polynôme 
en y ; mais il ne paroi t pas que ses recherches Faient con- 
dm't au-delà de Féquation d'Euler , car Féquation qu'il 
donne, page 119, comme étant plus générale , s'y ra- 
mène immédiatement en faisant v=z ky^ et donnant aii 
coefficient k une valeur convenable. Ainsi il est très-douteux 
qu avec deux termes seulement Féquation d'EuIer puisse 
être généralisée, mais avec un plus grand nombre on voit 
qu'elle admet une grande extension. 

(20). Puisque les fonctions F peuvent être multi[^éet 
ou divisées à volonté , cette propriété peut servir à les éva- 
luer par approximation. D'abord nous supposerons que ^ 
àe surpasse pas 90^^ car nous avons fait voir (art. la) 
que tous les cas . se réduisent à celui-là. Cela étant , on dé« 
terminera <^7 par Fart. 17, de manière que F(<^t)=7F(^), 

et Fintégrale f ^^^Xy ^^^"^ ^^^ étendue moindre ^^'^/-^^ 

de près de moitié , si c sin ^ n'est pas trop près deFunité. Pac 
ime seconde bisection , on peut faire ensorte que F(^7)=â 

7 F (6), et Fintégrale y-^^Ty- aura encore uns étendne 

près de deux fois moindre \ et ainsi de suite. Mais lorsque 
1 amplitude <^ est devenue très-petite^ la F(<^} se réduit sensi^ 
blement à Farc ^. Donc quelle que soit la première valeur 
de <^ , la fonction correspondante F (^) sera «gale au dernier 
terme de la suite 2<^7, 4^'!? ^^ft ^'^ » ^^ <^^^ ^^ plupart 
des cas on obtiendra cette limite par un calcul «ssez court. 



MàmoiteiurlesTfamièendantwsdlipiûjues, 3i 

« Exemple. 

Soit propose de trouver la valeur de F lorsque c=5 

V^(—^^=^sin. 75^, et tang. <^=\/(-^)î on trouvera 

en se servant des formules de Fart» 17 1 et opérant par lea 
taUes de Gardiner . ce oui suit : 



t «= 


= 470 


y 


3o",9i 


« = 


! 450 


0' 


o",oo 


♦ t = 


ï 25 


36 


5,64 




24 


40 


»o,94 


t 7 = 


: l3 


6 


30,985 


aj= 


12 


39 


i5,85 


ti = 


: 6 


35 


40,741 


«7= 


6 


22 


.8,4 


tiT= 


: 3 


18 


8,748 


etc. 








etc. 










• 







Les deux dernières valeurs donnent 

8(f i = 52^ 45' 26^95, 

Leur dilFërence est V ^4''>^4; et comme par la nature de 
ces approximations, un résultat doit approcher de la limite 
environ quatre fois plus que le précédent , nous ajouterons 
au dernier résultat le tiers de la différence 4' 54'^o4 , qui 
Mt 1^ 38'', 01 , et nous aurons ainsi pour la valeur de F Tarq 
txèa-approché 

52« 5i' 57">98, 

qui en pallies du rayon =:-^X 0,687401 2 =0,922687 7. 

Cette méthode pourroit devenir très-lougue dans quelques 
cas : nous en dounerous ci-dessous une beaucoup plus ex- 
péditive*. 



2a MéimnrèsurM$7:iW9ê9af^àrt^»eUipti^fmi: 

Remarque sur le rnOwernent dur pendule simple. 

(21). Nous avons fait voir dans les Mëm. de l'Acad. 
artftëe 1786, page 63/, (qx/U'y à deux cas. cfans Te mou^Ve- 
ment d un pend,ule sipipie; i'un , dans Jequel il faît sîm- 
plement des oscillations autour de la verticale ; 1 autre oà 
il tourne sans cesse dans le même sens. Mais comme Içs 
deux cas conduisent à la même formule , nous considérerons 
simplement' celui des os^jillatioqs.. Soit donc 1^ k gravité , 
/ la longueur du pendule > h la hauteur due à la vitesse au 
point le plus bas , Tângle dont lé pendule est éloigné de 
la verticale au. bout du temps /; soit de plus -^ise*, et 

sîn. \(^^o sin. il, on aura t^\/l \^l,JXa.^]^) ^ ^^ P« 
conséquent ^=v//. F(^). Ainsi , le temps employé à par« 
courir un arc quelconque est une fonction elliptique de la 
première espèce , et il jouît de toutes les propriétés de ces 
fonctions. On voit donc quêtant donné un arc parcouru 
dans le tems /, on pourra trouyer algébriquement un autre 
arc parcouru danis un temps m^tiple de /, ou en général 
commensurable avec t. On' ^ei^aussî trouver un arc tel 
que le temps ^ par cet arc , soit égal à la somme. ou à la 
différence des temps par plusieurs autres^arcs ^bnnés j et 
cela soit que ces arcs aboutissent à ïâ verticale , soit qu'ils 
n'y /aboutissent pas. Ces propriétés sont nouveUes et cu- 
rîeu^s , etijLne parolt pas que personhe ait remarqué qu'on 
pouYoit comparer algébriquement lestemps des portions dW- 
cillalîon comme on compare les arcs-de^cercle. Pour eiijïon* ' 
ner un exemple fort «iaiple, soit proposé de diviser en deux 
parties égales le temps de la demi -oscillation. Nous appel- 
lerons 4» Tarc compté depuis la verticale jusqu'au point qui 
répond au milieu de la demi oscillation, et je dis que la 
corde de Tare ^ sera à la corde de 7a comme \/% est à 1 , 
En effet, puisqu'on doit avoir F(>k) = fï'(90^)) la formule 

de 



(- 



Iktémoire fur les Transcendant^ elfyii4fues, 33 

'de larticle 17 c'onnera 8:n.»>|r=:— -^*— -t^-, et par consé- 

^ent sin.*^ <f = ^^ /.^^^t. » Mais îl est aisé de voir qu'on 

a c = sîn. xû' , donc sin.^7<^ = i — cos. ju == 2sin.* ^a 
do: c 2sîa. tç ; 2 sin. ^a I • \/2 l i. 

Comparaison des fonctions elliptiques de la seconde espèce. 

(5^2). Considérons deux fonctions elliptiques de la seconde 
espèce, qui ne diffèrent que par les amplitudes <J> et \|r, 
ensorte qu'on ait 

et fA.\ r (A -4- Ba in.* p )J^ n,f^,\ r ( A+B Ȕ n.'^)</^ 

^ y^^J—J y/li-c'^''^j~> ^^^} y v'C 1 -c* .in.* 4; ) • 

Supposons ^que les angles ^ et >lr ont entr'eux la relation 
comprise dans lëquarion F(^)-+-F(\îr) = F(jjt) , jx étant 
une constante, ce qui donne 

a en résultera G ( ^)-+-G(<\r)=f """XiZt'.'V ^ + <^0"«t. 

Mais lorsque ^==0 , on a 4^=(x; ainsi, en supposant Tin* 
tëgrale prise depuis <^=o, on aura 



. j. J 



Pr,réquationF($)-4-F(\lr)=F(fi)revient à Téquarion (a') 
de Tart. i5, et de celle-ci oh tiré; après quelques rëduc- 



S^« ' 



lions ^ 

I , 

^ ^ A ( 4> ) H- ^>lr 4|^^ ^j) == c^ sîn^ ft df ( sîft . !j^ sîo^ 



-■% - 



D'ailleurs jon a -^|r -4- Xc^T^^^ » ^^°^ (sin,?^T— sin.^^Ir) ^ 
— Tftin. jxrf(sin. <f sîn. ^). Donc enfin 

I -,G<^)-l-Q(^) — G<tt)=:— Bsio. fiai», ^sin.^^,. 

E 



i ■ 4 



54 Mémoire sur les Transcendantes ellep tiques. 

On voit par-là que la même relation entre les angles ^ > 
^, (X, qui donne F(<^) -h- F(\|r) — F(tx)=:o, donne 
G(^)-f-G(^) — G(fi) , sinon nulle, au moins ëgale à une 
quantité algébrique fort simple. Cette équation est la source 
d une multitude de conséquences analogues à celles qui ont 
lieu pour la fonction F. Si on désigne comme ci«dessus par 
^2, <J>3, <^4 > ^tc. les amplitudes telles que F(<^2)=:2F(^), 
F(^3)=3F(^), etc., on aura en vertu de cette équation , 

G(^a) — AG(^)=Bain. ^ tin. ^ sin. ^s» 

G(^ 3) — 5G(^) = B sin. f ( tîn. ^tin. ^s-l-tûi. ^a nu. f 3) » 

0{ç4y^-'4G(Ç) sBtin. ^(aîs. ^ lin. ^ a -f- lin. f atin. ^34- tin. ^3 tm. f 4)* 
•te 

Donc la même relation entre ^n et ^ qui donne F(^/i)s: 
nF(^), donnera G(^n) — nG(^) égale à une quantité 
algébrique^ 

(23). On voit, sans entrer dans de plus grands détails, 
que si m , n^ pj etc. sont des nomlnss entiers positifs ou 
négatifs , on peut faire ensorte que 



TOG((f)H-nG(\lr)-H;?G(o)-4-etc. 

soit égale à une ^antité algébrique : il faut pour cela établir 
entre les angles <^ , ^ » o , etc. la xelation qui donne 



o=wF(<f)-HnF(\|r)-f-;?F(o)-f-eta 

Nous observerons que les fonctions F(^), G(^), sont en 
général du même signe que ^ ; lorsque <^ change de signe , elles 
en changent aussi, en conservant la même valeur. Cela 
posé , on peut satisfaire à Téquation 



o=wF(if)-H/iF(\lr)-H;>F(o)-f-etc. 

es manières différentes, car on est maître 
:>nté le akne de chatiue coeificient. pour 



'Mémoire mrles Transcendantes elliptiques 35 

ange en même-temps le signe de Famplitude correspon- 
<lante. Mais on peut se borner à considérer les fonctions 
F(<^),F(\jr),G(^), etc. comme toujours positives , et dans 
Gè ca& il n y aura jamais qu^une relation entre les angles , 
^f^t ^% e|c. qui donnera o = tt^ ^(^) + nF(\lr; -H 
p F ( Q ) H- elïÎT alors on voit que les coëfHciens m,n^p^ etc. 
ne sauroient être tous posi tifs . 

Tout ce que nous venons de démontrer de la fonction G 
en général, s applique aux arcs d'ellipse en particulier, et 
s'étend facilement aux arcs d'hyperbole. Les résultats s'ac- 
cordent avec ceux que nous avons trouvés dans le volume 
cité de 1786 ; mais Fensemble de ces propriétés se faît mieux 
Sentir ici par les rapports entre les fonctions elliptiques de 
la seconde espèce et celles de la première. Nous allons voir 
que les fonctions de la troisième espèce jouissent de pro- 
priétés semblables, avec cette gradation que la différence qui 
est nulle dans les fonctions de la première espèce, fflgé« 
brique dans celles de la seconde , est transcendante dans 
celles de la troisième . mais peut toujours se déterminer par 
les arcs de cercle et les logarithmes. 

Comparaison des fonctions elliptiques de la troisième 

espèce* 

(24)- La formule générale de ces fonctions est 

si on considère une fonction Stf mblable en 4^ , et qu^on sup . 
pose entre ^ , ^ et la constante \i , 1 équation F(4))H-F(^ 

— F ( fi) = 0, il en résultera , à cause de j^ -f. ^^ = o , 
((^)H-H (>tO — HCfi)=/j ^ ^ ^^ ^.^^ . ^ . ^(^-)"H ^^^^, ^> ^^ J 

_ r (B — Aff) iin.'^ ^- •in,'^^) d ^ 



S6 Mémoire sur les Transeénâantes elîlptiquéi. 

Soît sîn.* ^ -H sin.*\^ -=/? , sîn. ^ sîn. xlr.== ^ ; nous avons dëja 
trouvé (article 22) , (sîn.* ^ — sîn.*^)-^ = — sîn, t^ 
d(sm.^ sin. ^), ainsi nous aurons 

maïs réquntîon algi'brîque entre ^, ^ , jx est cos. ô côs. ^= 
A (jx) sîn. ^sîn ^H-cds. (x : si onrélrveaiiquarré,.etqu'oii 
fasselpssubstîtutions>oneutîrera/-' = sîn.'^ — 5^^ \ (jx'^cos. (£ 
-f- ^' c* sîn.* (X , valeur qui étant mise dans la formule précé- 
dente, donnera 

Xl( Ç; -t-1 1 (\|7 xi ( fi; y i4-«*iii/»^— a,/y^r/K) coê.^-f-y («'-H«c m»i.»' 

rîntégrale qui reste dans celU:*-cî devant être prise depuis 
y = o. 

De cette équation , et do toutes celles qu'on peut former 
de la même manière entre tP.is foîH tîons , nous conclurons 
que si m' j n\ p' ^ etc sont d< s entî«:S positifs ou négatifs , 
on peut toujours faire easorte (jue 

ot' H ( <{!) + /^' H ( vlr) +.//' Il (o ) ^ , eta 

«oit égale à une quntîtédétermia^iblepar les arcs de cerclé 
et les lo^ariihmes. Il faut pour cela ('^ablir entre les nmpli* 
tudes ^ j ^y^ $ etc. la relation qui tioune 

77^'F(^)-4-/^'F(\^)-H^'F(o)^-,etc. =a 

Ce résultat ne sôufEre aucune exception ; il auroit liru xn^me 
quand les Coëfticiens A, B, /i seroieut iniagiuains. Maison 
peut considérer ces propri'tt's sous un po.at de vue plus 
général. 

(26). Soit P ou P ( <^) une fonction ratiouelie paire de sia. ^ , 
et soit. 



Jl^émoîf^ mrl^s Tfnnscehdan^ oj 

Boit Z (\îr) une fonction semblable à Z (^ ) , et supposons tou- 
jours quon a Fëquatîon cos. <^ cos. ^ = A(fi)sm.'C^sîn^ i[r 

^f- cos fi , laquelle en supposant \i constant donne ^t|t ^^ 27x5 
= o , on aura donc 

Z(<^)H-Z(^)-.Z(ii)=/fP(<?)-P(>l.)|/^|j. 

Faisons comme ci dessus sin.^ <^ -f- sin.* >{r =:^ , slut <^ sin. ^ 
s= ^ ) il en résultera 



Substi^uon8 maintenant la valeur de sin.* ^ dansP, lerësultat 
fiera de la furme 

P(<^) = M-HNv/(y5> — 4y*), 

M et N (^t.'int des fonctions rationelles éep et q. Q est clair 
qu ou aura de ini^nie 

P(^)==M — Nv/(A»»— 4^*); 

donc PCO) — P C<r) = 2Nv/(/?* — 47*)= 2N(sîn '(^ —sin.'i ) , 
et ainsi l'intégral./ \ V ( <,) — P (\k) J /J^ =/2 JS (sia.*^ 

— sin.' 4^ ) j-r^ = — a sin. t«/->i J^ ; donc eniin 

■ 

Z((^)-HZ«r) — Z(ji)=: — 2sin.ti/N£/^. 

Dans cette formule , N est une fonction rationelle i\ep etç • 
si on y substitue lu VcJetu: de p trouvée dans I arr. 24, J\ sera 
uue fonciio'i ratios leile de ç seule, et ainsi la Vùieur de 

^ (^) "+" -2 (^ ) — ^ (J^) pourr.i toujours se détenuiuer par 
les arcs de ceicle et les logarithmes. 

En général, si m\ /*' , /?', etc. désignent des nombres 



^ 

V 



58 Mémoùvmo'lesTranscw^ntêselliptiquef. 

entiers positifs ou nfîgatifs , et qu on établisse entre l s ançleâ 
^ f ^» ^ r etc. la relation o = m' F(^)H-n'F Ç^) -f-/^' F (o) ^ 
cette même relation donnera 



m'Z(<^)-H/i'Z(xlr)-t-./ZCo)-t-.etc. 

ëgale à une quantité dtkermînable par hs arcs de cercle et les 
logarithmes. La même propriété auroit lieu quand même P 
coutîendroit des puissances impaires de sin. ^ , car la partie 
de Z , affectée des puissances impairts, s intégreroit parles 
règle-s ordinaires. 

U en est absolument de même de la fonction 

P étant une fonction ràtîonelle de x , et on pourra toujours 
trouver une équaiion algébrif|ue outre x , jr^z^ etc. en vertu 
de laquelle 

m'Z(x) + /^' Z (/) +yc^' Z (z) + etc. 
fioît déterminable par les arcs de cercle et les logarithmes.! 

Méthode d'approximation appliquée aux fonctions 

elliptiques de la première espèce. 

(26). La méthode que nous allons suivre est la même que 
celle dont nous avons fait usage dans le volume cité de 1 786 ^ 
pour ramener la rectiliration d'un ellipse donnée à celle de 
deux autres ellipses aussi peu différentes du cercle qu'on 
voudra. L esprit de cette mc^lhode consiste à ramener Tînté- 
gnde d'une différentielle affectée du radical y/ ( i — r*sîn.*<f ) 
à celle d'une diËférentielle semblable où le module c soit plus 
petit que toute quantité donnée. 

Dans le cas de la rectification de Fellipse, le module c 
représente Texcentricité , et son complément v/ ( i — c* ) , ou 
b est le demi-petît axe. Noua avons ^t voir qu'en supposant 



'JMémcire sur les Transcendantes elUptiifuès. 5g 

oonstammeat le demi-grand axe = i , toutes les ellipses qui 
8e rectifient ainsi par le moyen de deux d'entre elles , et qui 
composent une même suite on famille ^ ont des excentricités 
^f ^» c",etc. formées d'après cette loi. 

Dans ce sens les excentricités augmentent continuellement ^ 
et 8 approchent très-rapidement de Tunité ; elles décroissent 
avec la même rapidité dans le sens contraire. Noos désigne- 
rons p«ir c, c^ , c^^ , etc. la même suite continuée rn arrière , 
ensorte que la suite complète des excentricités qui a d'ua 
côté zéro pour limite , et de Tautre Tunité, soit 

on aura donc semblablement 

mais pour déterminerez par le moyen de c, on fera usage de 
la formule co= 1"^^^',^^) » ^^^^ = r^» ^*^ ainsi onamrn 



CVst par cette loi qu'on déterminera les modules décroissant 
c^^ c^^ f c^^^ j etc. dont nous ferons un grand usage dans les 
techerches suivantes. On pourroit y employer les formules 

Enfin on donnera ci-après un moyen de les calculer faci^ 
leueat par les tables des siaua. 



4o Mémmresvr les Transeendimteg^ 

(27); Cela posé , considérons la formule înt^^grale F =f 
/ -T-. — "^f ■ \'' f et isloît pris une nouvelle variablt A > telle que 

2 sîn.* <^ = 1 ^ c^ sîn.* ^<> — A^ cos. a*^ ; 

nous venons d'expliquer comment c^ se déduit de c ; quant 
h A^, il est mis par analogie pour \/ (i — c^^sîn/^" ). U ré- 
sultera de cette suppositi^iîm : 

2COS.* ^ ==1 — c"^ sîn.* ^^ + Ao cos. ^^• 

* c° cou, (p^ -h A o 



2 sîn. ^ cos. 4> = sîn. 4)^ ( c^ cos ^® H- A<^) ,- 
ensuite là Valeur de 2 sîn.* ^ difTérentiee , donne 

4 sin 4) COS. ^ rf<^ r== ^îl^^ ( c<>cos. (f^ + A<>)^ 
divisant cette équation par la préc^lente* , on a 

Dope enfin 

et en întégrant/^PF^^/§^oa sîffipleme^^ 

F^ représentant la nouvelle fonctîoii élKptîquey*-^.- 

* Il est évident que par cette substitution , qui donne un 
résultat très-simple , on réduit la détermination de la fonc- 
tion F à celle de la fonction F<* , plus fac le a évaLièr , puis^ |ue 
c^est plus petit quec; et remarquez bien que nous navons 
recours ici qu'à une nouvelle fonction , et non pas à deux^ 
comme dans les arcs d'ellipse 1 ce qui est beaucoup plus 

siiiiple. 



V 



■ ( 



'iteplo. Il reste à déterminer ^° par le moyen de ^ : or la 
.riatipn supposée entre ces deux angles dooiHi 

tans. <>• = ('tf>'"^J^- 

Cette dernière peut se mettre sous la fonne trèfl-sîmple ^ 
tang. ( (^o — ^) =r ft tang. <^ 

Supposons donc qu'après avoir déterminé les modules dé^ 

croisSiins c^, c'^^y etc. ajnsi que leurs complëmens , b^^ 
h"^^ , etc., comme il a été dit dans Farticle précédent , on 
.calcule successiTement les amplitudes ^^ » ^^^ y ^^^ % 6(e« jpaC 
les formules 

tang. (<^o — 1^ )== * tang.<f ,' 
taûg. ( ^oo — <\}^) = fto tang. ^«, 
tang. ( <^oo» — <^oo ) = ^oo tang. <^<*^ ^ 

etc. " > 

i:e qu on pourroit faire aussi par les truites 

^0 = 2^— o<*sin.2<^-4-7C<>*sin.4^ — yC<>^sin-6^H-etcf. 
iifoo=.2^o— c««siii.a^<»H-^7 0^8in4<f'^ — fc^sin.6^«4-etc| 
etc. 

Alors rintégrale / ^ ou la fonction F s'exprimera ainsi j ' ^ • 

F =z= i±il Fo 

F = i±^ '•*-"" F«» 

F = '-^''' l±i!l '•<-^°' F«x>*. 






^2 Mémoire sur les Transcendantes éUipHqvés, 

Mais lorsque c est devenu très-petit, on a A= i ery-j-=^ v- 

Soit donc «» la limite des angles ^ , ^ , ^ , ^^ , etc. , li- 
mite qu'ils atteindront toujours sensiblement au bout d'un 
petit nombre de termes , et on aura , 

F= <i>(i-t-c<>) (i-t-c<>o)(n- cooo ) ^ etc. 

Lorsque ^ = go^^ = 7^ , la limite «> est pareillement 7»^ 
de sorte que la valeur de F qui est alors F 1 , devient 

F 1 =— ( H-co)(iH-co^) ( i-t-c«^), etc. 



Le produit constant ( 1 -f-c^) (li *t-c<>«) , etc. que nous ap» 
pellerons a , peut aussi se représenter par lexpression ; 



a — îv^ ÎJA!! >v/c^°^ et^ 



c c 



et sous icette forme il est aisé à calculer par les tables de loga- 
rithmes, a étant connu , on aura en général F == a !« et Fi =:3 
a. 7JC. 

(28). C'est sur-tout dans les applications qu'on reconnoltra 
combien ces approximations sont promptes. Pour les faciliter 
le plus qu'il est possible, observons que si onfaitc=sin.(x, on 
a ^ = COS. fx, et c® = tang.*7 jt, d'où Ton voit que^<>se dé-, 
duira facilement de c , au moyen de la table des sinus. Faisant 
de même c^ = tang."" 7 fi = sin. fi<> , ce qui détermine un nou* 
vel angle (x^, on aura c^^ = tang.* f fi<* , et ainsi de suiteiH 
XiOrsqu'on sera parvenu à un c fort petit , pour avoir le sui- 
vant , que je représente par c^ , on pourra , pour éviter les 
angles trop petits , se servir de la formule 

^ — i^ ^4^^ ^4X8^ -Hetc. 

dont le premier terme , ou tout au plus les detix premiers 1 
suffiront. Quant au calcul des angles 0^, ^<><>,etc. nous n^avons 
rien à ajouter à la simplicité de la formule tang. ( <^^ — ^ )= 
b tang. ^ , qui est très-propre pour le calcul trigonométrique , 
nous obsexverons seulement queTangle $**—$, ainsi déter» 



'^iÊhiàirè^ptes Transcenâanièyëîlîp^iiès'. %S 

' 'ifunë par sa tangente , est presque ëgal à* l'angle "Ç , lorsque c 
' eot d^a très-petit ; car on il sans ambigoitë 

- ^«=24^ — c»sîn. 2^-H7C<*'8in.4<^— jco'sin.Gif -i-etc. 
n faudra donc prendre pour la valeur de 4." — ^ , non pas 
-toujours le pins petit angle que donnent les tables dessinus^ 
mais celui qui approche beaucoup de ^ , et qui peut être 
de plusieurs circonférences. Un exemple fera voir que là- 
dessus il n'y aura jamais ni difUcolté ni ambiguïté. 

EXEMPLE. 

On demande la valeur de la fonction F , lorsque 
c =:7\/(2H-.v/ 3)ettang, (f =:\/ -^. Nous choisissong ex- 
près un cas qui est peu favorable pour le calcul ,. parce que 
la valeur de c diffère peu de l'unité. 

Voici d'abord un tableau qui offre le calculdescOïC», 
- ^, b°°^ etc. fuit suivant ce qui vient d'être dit. 

V«lean d«t c at t. . . . Leun kgariilunat* 

C = sîn. 75* o' o" 9,984943?^ 

b = COS. 75 o o • ■ 914139962^ 

. (tang'S7 3o o ) „ ^ 

"° = W 36 4, 7.47 \- ■■■-■■ 9'7«99«"" 

h° = C08. 36 4 7»47 9»9075648^ 

(ain. • 6 5 9,36 ) 

6» = co». 6 5 9,36 . 9,9975454,1 

Itang.- î a 34,68 > ,. „ 

(sin. _ o 9 42,90 5 . / -w / 

i~» = co». 09 43,90 9,9999985.: 

tfm=-, (c"»)' 4,5002761.1 

êw i i • VS.-4 ■- '. i : ^ •- i -, • s î ï i • • • o.ooooooo,' 



• • 



^ 'MèmQiMmrles TramceadaMes eUiptufTWf. 

Ces logarithmes donneront aisëmenfc la valeur du produit 
a=^^. ^^/r y etc., pour lequel il suffira d employer 
quatre facteurs , et on aura log. a=: 0,2460061 , ou€t=: 
1,7622057 ; dé lÀ résulte d abord Fi = —• ot ;55 2,768o63a. 
On trquvera ensuite 

ç == 470 3' 3o'^96• "^ 

^o £=3 655 56 3 ,12. 
^00 =: 119 55 47 ,69; 

^000 :--. 240 O O ,l8. 
^0000 _; ^80 O O ,OO.j 

etc. 

t.es autres valeurs de <^ augmenteroîent en raison douhle , d'oiï 
îl auît que la limite des angles <[>,'-» ~ , etc. est 3o® ou —, 

et ainsi on a F = ^ a =0,922687 7 ^ comme clans Tart. 20. 

Remarquons f|ue ^ puisque la limite ^ = 3o<> == 7 qo^ , on 
a F = 7. Fi ; cette éjgalîté est au moins approchée, puis^:u« 
le calcul la donne ainsi ; mais îl * st Facile de s a&siu*er crnVll#. 
est rigoureuse. ^nefïVt, on a vu dan^Tart. i8qne Féqua- > 
tien à résoudre pour faire ensnrte (jue F (<^)=^F i , ent » 



V 



0=1 -^ ^Sin^ <{>. -h- 2c*sin.^ — c*sin.*^: 

or d^ussle csi présent où c* =3= ^~~- , on trouvera sîn. ^ a=r 

v/ 3 — 1 , ou tang. ^ =: y/ (~^ ) ; donc en effet la /onction F 
est exactement le tiers de F ( 00^ ) ou F i . 

(29) Etant donnée la valeur de <^, on voit qu'A ^stf^tcile 
de déterminer la fonction F avec toute l'exactitude nécea*^ 
saire ; rf^ciprociuement il peut être utilp de détermîiïer Tim* 

plitude ^ en 6upj^H>saxit connue la valeur d^ la .fQnctkviF,/ 



V 



I 






Mémoire sur les Transcendantes elliptiques. 45 

fiok tx>ujours a le produit (i*+-c<>)(i -l-c^^), elc. , et * la 
limite des angles ^ » ~- , ^ / etc. ; puisqu'on a F == a ♦ , il 

F • • • • • 

en rësqke * = — , ainsi la limite c> est connue. Supposons 

qu'on ait calculé les valeurs de c9 , c^ ^etc. jusqu'à un terme 
assez petit pour être néglige, et soit, par exemple, ce terme 
cooooo^ ou pour abréger c'^. Puisqu'on a ^""^ = '2<^^ •— 
c'^ sin. ac^"^ -f- , etc. , on aura d'une manière suflisamment 
exacte <^^ = 20"^, et à plus forte raison qf^ = 2<i>'^, etc. 
Donc la limite o sera cigale à 77 (^'^j ou bien on aura<^^^<^®=: 
16 4» Ce dernier ^ étant rounu, on remontera aux preiuiers 
par les éc^uations successives 

sin. C 2 ^^ — ^^^^ ) = c^° sin. ^^ 
sin. (29^ — <J>^ ) = c^® sin. <^< 
sin. ( 2 ô — <^^ ) = c® sin. ^< 

Équntîons qui sont toutes de la m(jme forme, et dont la der- 
nière se conilit de IV^quaiion tang ( c><* — <!> ) =^ tan^. (J>. 

Ceci s'ai)pli ;ue parlic l'en ment à V\ résoflution de Téqua- 
tion F ( /i) = n P ( r» ) , (|u(»l(|ne soit n. Etant donné ô on 
connoîtial (<[) )el « F (^); donc F (on) sera connu, et delà 
on tirera ô n con)me on vient de !'( xplii|uer. Ce moyen 
n'exigera j .mais qu'un petit nombre d'.opérations , au lieu 
que si n 1 toi? un |ieu grand, ou seulement fractionnaire, 
les rue thoJcs c]ue nous avons données pour déterminer ô/i 
devieudr oient Irèslonguf S, ou même impraticables, ainsi la 
mélhod' actuelle sera presque toujours préférable. 

Approximation^^ pour les fonctions elliptiques de la seconde 

espèce. 

(3o). La formule de ces fonctions est 



\ 



46 Mémoire sur les Transùend<mtes eîlîptiéjués. 

si on fait les mêmes substitutiona que dans rartlcle 27 1 e 
qu on prenne .. 



A-f-4,B< 



on aura la transformée 






i -hc^ 



B • 



(— T^în.^^oH-Go), 



G<> ëtant mis à la place de / ( hP + B^ sîn.* <^<^) ^\Oûauî 
roît semblablement par de nouvelles transformations : 



1 -h à 



I -f c 



00 



B 



( — ^ sin. <^o^ -H G^^ ) 



^î— ( — ^ sm. ^^^'«o H- G«o<> ) 



Go = 

etc. 



Ainsi la formule intégrale G se ramène aisément à cell^ 
qu'on voudra des transformées successives G®, G*^, ett^i 
Supposons que cette suite soit continuée jusqu'à un terme^ 
G^ très-éloigné ; alors on aura ca* = o , Aa* == i , et. d abord 
la valeur de G/* se réduit k/ (Af* -H Ba* sîn.* ^f^ ) d^f^^ Obser.' 

yons ensuite que nçus avons B^ =-j-., et semblablement 



£00 



B° c*»° 



jgooo 



300 ^000 



; donc la âuite fio , B^^, etc. de-»; 



croit plus rapidement que la suite o^ ^ c^, etc. ; et ainsi od 
peut faire en toute sûreté Ba» = o. A Tégard de A/*, puisqu'on 
a Ao= Ah-tB, A^o =: Ao -+-7B0, etc. , il en résuit© 



A^ 



A-Hl^Ç^Sflf!! 



00^00» 



16 



H-etc^* 



Enfin ai on appelle 1 comme çi-dessuaj^ ^. 1% lifl4^ ào9 angle! 









.*fl 






!■■ 



• • 



^érnoiresur les Transcendantes elliptiques. ^7 

= 2/* ^. DoDfcla 
valeur de G^ sera 









Gi» = 2^ * (A 



B . Be' 



o ^*oo 



8 



etc.) 



Maintenant il est aisé de voir que la valeur de G sera corn* 
posée de deux parties , Tune a= a o ^ en supposant 



a 



(A^? 



B c** . B c*» c*»° 



8 



-f-etc. )<n-c^)(i-HC'x>)etc.,, 



Tautre algébrique ou périodique ; savoir : 

Mais à cause de 1 + c^=z^^^ , i-f- c«>o =: ^-^^^ , etc. cette 



seconde partie peut se mettre sous la forme — — (^sîn. ^^ 
— - — sîn. <^oo , etc. Donc la valeur complète de G sera 



a 4» 



K 



y/|::o~^oo 






sm.<^®®4- 



K CC^'C 



O-OO^OOQ 



"«■ 



8 



sîn. <^^<><^^-.HC.) 



Et dans le cas où <^ = 90^ , on aura simplement G 1 = a. •^. 

Dans les applications il sufBra toujours de prendre un 
très - petit nombre de termes de ces suites , et les termes 
omis feront connoitre à quel degré d'approximation on s'est 
arrêté. 

(3i). Ces formules s'appliquent immédiatement à la recti- 
fication de Fellipse. Soit toujours 1 le demi -grand axe, c Tex- 
centricité; considérons Tare E, dont T- ri^ine est au petit 
axé , et dont Textrémité est déterminée par rordonnée au 
grand axe 1/ sin. ^ , et Tabscisse cos. ^ , cet arc sera égal à 
VitLtégtaïe/d^y^(i — c*sin.*<^); ainsi en faisant A ;^ i 






* . 



Hr^* 



•■ • 



43 Mémoire sur les Transcendantes ellîp^^ues, 

et B = — c', on aura G == E; d' ù il suit que le quart' 
d'ellipse peut s'exprimer par cette suite très-convergente 






c»c* 



c* c*» c*»^ 



8 



etc. ) (i-+-c^)(i-4-co''),etc. 



La rectification de Thyperbole est comprise dans les mérous 
formules. Soit c le derai-i.xe transverse, b sçn coiijugiië| 
1 lexcentricité ; soit ^^tang- <f i^ie ordonnée à Taxe transverseï 
et Y Tare d hyperbole compris depuis le sommet de la courbe 

jusqu'à cette ordonnée , o^i aura Y ^=f'£;^^^^=^ ^ t**^* ^ 

— y ^ ^ COS. ^ ^ c^^xte dernière intégrale , comj>arée à la forr 

mule G donne A = c*, et B = — c* , et ainsi on aura 

Y=Atan^. <^~G* 

D'où îl s'ensuit que la^différence entre' Tare infini d'hyper* 
bole et son asymptote , est égale à G i , et a pour valeur 






c^c^^ 



^o^oo^ooo 



8 



,etc. )( H-o^)( H-c^)( H-c«>«),aiCi 



H ne paro/t pas qu'on puisse trouver rien de plus simple pouf 
la rectiiicati(.»n des sections coniques. 

(Sa) lettons maintenant un coup d œil sur les rapports qui 

existent entre ces diverses transcendantes ; savoir F =y^ i 
E=/A//ô, et en gênerai G =:/(A^- B sin.*<^)^. 
D'abord puîsqile8în.*({>=ri-::^^, îl est clair qu'on aura 
G = ( A -f- — )F — ^ E , et ainsi G se déterminera par le 







*.)F« 



moyen de Fet deE. Mais on a pareillement G* =s (A* 

— -^r i^'^ • c^s valeurs étant substituées dans l'équation entra 

G et G° ( art. 3o ) , où Ton aura soin de remettre les valeura 
de A"" et 6^ en A et B , il en résultera une nouvelle équatioa , 

qui 



• / 



'WÊimoïï^mrîes'TfansàendantesêlUpHtines. ^9 

oui aura lieu quels quesoient  etB. Cetteëquation en donnera 
deux autres , Tune F = ' "^ "" F*> , que Foxi connott déjà , 
lautre 



Celle -ci fait voir que la fonction F de la première espèce 
peut s'exprimer par les deux arcs d ellipses £ , £^. H en est 
donc de même de la fonction G en général et de Tare d hyper* 
lH)le Y en particulier. On a aussi, par la même raison 



14-*^ 17.. . t^*^'^,^ 



^6Fo=5 _E<^ ^-iit^E^o ^ ^sîn. ^ 

De ces deux équations on peut éliminer F et F^ , pm'squ'on 

a d'ailleurs F = F® . et il en résultera cette relation 

entre les trois arcs £, £^ , ^^^ pris sur trois ellipses consë-^ 
cutives d'une même suite : 

Dans le cas oii ^ = go^^ , on a ^^ =: 180^ 9 ^^ =:^36o^i et 
cette formule devient 

(1 -Hc«)Ei = (aH-*<>)E<>i — Ao(i-H^)E<»i; 



d où il suit que le quart d'dlipse £ 1 te détermine par deux 
autres quarts d'ellipse &, £^, dont les excentricités sont 
moindres ; et en général il résulte de ces formules que dans 
la suite dVUipses formée d'après les excentricités c, c^^ 
C?^, etc. , la rectification d'une ellipse quelconque se ramènera 
toujours à la rectification de deux autres à volonté. On trouve 
ces consécpiences plus développées dans les Mémoires de 
r Académie de 1 78 > ; mais il n en résulte pas une méthode 

d^àpproximation aussi simple qoe celle qui a été exposée 
<dbun« Tarte 3o. 

G 



6o Mémoire sur les Transcendantes eîUpHques, 

^ 

Dépeloppement particulier de la formule 






ffjc'coa. «-+-to'«*r 



(35). Cette formule se rencontre assez souvent dans les 
applications , et d'ailleurs il est nécessaire d'examiner partie 
culièrement le cas des facteurs imaginaires dont nous avons 
parlé (art. 7). 

La variable x est susceptible de toutes les valeurs depuis 
zéro jusqu'à Tinfini; mais comme en faisante: = 00, on a 

Z=y*4^x==4 a: ; pour nous dfbarasser du terme qui 

peut devenir infini ^ nous considérerons simplement la 
formule 

quî par ce moyr^naura toujours une valeur finie. 

Il s'agit maintenant de rra»isformer cette expression de 
manière que les facteurs binom< s lU^ la nunntiîé sous le 
radical devi^^nnent réels. Pour celit on peut faire différentes 
suppositions , qui toutes réussiront également. Par exemple | 



X 






v/( oc*-f- 2 a 6 a^cos. 6 -4- 6* o:^) =z2Xf y/ a6 , 

a-+- 6 a:*= 2 xj^ v/ ** *t 

*«* + acos. 6-Hv^(o^-h 2a6a::^cos. 0-»-6*a:^) = 2ay*, 

Bornons*nous à présenter le rt'^sultat de la quatrir^me supj 
ftiiioû; elle donne a;* =• (jr^ — cos.Ô — îî^),et 






■Mimùîremrlêt^TiWiMmdantegeUipti^^ 5i 

où Ton voit quen effet les deux facteurs de la quant îré sous 
le radical sont réels. On voit aussi que la moindre valeur de y 

étant COS. 7 , on peut faire y = ^^fr , et il en résultera , en 

posant sin. 76 = ^9 ^ 

Par cette transformation la formule X devient une fonction 
elliptique de la seconde espèce , à laqudle on peut immé* 
dii^ement appliquer les formules de. Fart. So , en faisant 

Remarquez que nous supposons V^al^ réelle ; car on peut 
toujours prendre a et 6 positifs , et si le terme 2 a6 of cos. 
doit être négatif, on fera tomber le aigne ---aiir coe. 0. 

La relation immédiate entre ^ et 4: est doimée par Téqua? 
tion, 

!2asin. •76 COS.* ^ss:— 42^~aco6» ©^^(af-l-a cpô jc'coa, 6-+-é*a:*)^ 

<d'où ronvoitqueloraquea:=aeb, ^ = 09 «tlorsqnesssoo^ 

^=90^. La transformée en <^ représente donc l'intégrale X ^; 

prise depuis :p:s:o jusqu'à la valeur de x qui correspond à ^. 

On peut exprimer l'intégrale X par le moyen des deux 

formules simples F s=/î^, E =/ Ai/<&, et on aura de 

icette manière 

* ... *■■■■■ 

fiPDduitontà des lésultats arases remarquablis. * 



P^^."!"'-' ■ 



52 Mémoire sur les Transcendantes éUiptUjnéil 



EXEMPLE pr- 



-idt 



(34). Soît proposé d'évaluer les deux intégrales M= Ar^^- 

N = y*-/Yr:z^ 1 prises Tune et Tautre depuis z = o jusqu'à 

x= 1. On «ait que le produit de ces deux intégrales = 7 ^e ,< 
{ Voyez les Mém. de 1 786 , pag. 678). 

Si on fait dans la première -z = ( 1 •+• a:f')""* , on aura la 

Z dx 

transformée M ==/ ^(3,|,SjeH ^l?) » q^^'û faut intégrer depuis 
x=^ o jusqu'à x = 00. La comparaison avec, la formule X 
donnera/= 3,^ = o,a = v^3^6=i,co8 6 =||/5,j 

^===sîn-7 = TV^(2~v/3);d'oùrésdteM=-7^^^^ et 

comme l'intégrale doit être prise depuisa:= o, ju8qa'àa:=:oo,| 
ou depuis ^ = o jusqu'à ^ = 90^ , F deviendra F 1 , et rinté« 

grale totale sera M =4/ F 1. 

Dans la seconde formule nous ferons ;es ( i— -ï*)?, et la: 

transformée sera N =/ ^(3_s^>^j,4) > qu'il fautintégrer de- 
puis X = o jusqu a a: = 1 • Cette formule étant comparée à la 
formule X, on aura/=3,^= — 3, a=v/3, 6 = i, 
C08. e = — 7\/3, c = sin. ie = 7v/(^ •*- 1/ 3),ce qaî 
jdonnera 

91 la relation entre ^ et x étant 

2±li^coi/^===:— a?H^4^-i/(3— 5a*^-a:<J,^^ 



al on fait ar = 1 , on aura cos."* <^=a\/3— -3; ou bien 
tang. ^ s v^ ^- Maisnoi]8aYonAdéjayu(axL|a8;quedanflr 



\ 



'J^/UnMÎremrles Transcendantes eUipt^ 53 

lecr^aoù c — T\/(2-f-v/3)ettang.<^= V^^ ; ona exac^ f '^^Z*^* 1 

tement F ( 4> ) = | F i . De là il e«t aisé jde conclure par les A^* **i J 

1 
formules de Tart. 22 , qu on [aE(<f)=7EiH- rrr , donc 

rintégraleN prise depuis x == o jusquà x = 1 , se rëduit à 
cette valeur : 

D faut bien remarquer que ces valeurs de F i et E 1 rèpon- 
dent à un module c=7v/ (2-4-v/3), tandis que la valeur 
de F 1 qui entre dans M rëpond à un module c ==-7 y/ (2 — v/3) • 
Pour distinguer ce dernier module , nous le désignerons par h ^ 
et la valeur correspondante de F 1 par F 1 A. Ainsi nous aurons 
par le produit des deux Intégrales 1 Téquation 



a 



d*où il suit que dans ce cas particulier lare d ellipse E 1 , qui 
est une fonction de la seconde espèce , peut s'exprimer par 
F 1 et F 1 A , fonctions de la première. Ces calculs sont faits 
d^une autre manière dans le Mémoire cité, et nous n'en 
avons ti é alors aucun résultat , faute d'appercevoir que 
Tare E peut se déterminer par le tiers de E 1 . On rencontrera 
encore quelque chose de semblable dans lexemple suivant*. 

EXEMPLE IL 

(35), On propose d'évaluer les deux intégrales P z=:f^lJ* 

Q —/\J^S\j)^ depuis jc = o jusqu'à « = 1 : on sait que 
leur produit doit être 7JC. 

Si ou fait dans la première -z = ( i — :i:*)ï , on aura la trans- 

fonnée P =/^r(i=^^Ç^) \ ^^ ^^' intégrer depuis a; = 



J»*^ iw- 4 



54 Mémoire sur les Transcendantes elUptiéfUét,' 

jusqu*à X = !• Celle-ci étant comparée à la formule X , on fi 
V K.-..4 • /=3,é^o,a=v/3.6=i,cos0=— V3,c=Tv/(2^-v/3). 

ce qui donne P = "ys F ( <^ ). Quant à la valeur de <f , elle sa 

tire deFëquarion ^-^l ^ ^ co8.*<^=— :c^-+-4-Hv/(3— 3x»+a:*),^ 
dans laquelle , si on fait x = 1 , on aura cos.* i^==:2v/3 — 3t 
ou tang. ^ == v/ ^3. Ce cas «tant celui que nous avons déjà 
rencontré , on en conclura de même F(^)=tFi, et par 

conséquent P = -tt- F 1 . 

Venons à la formule Q , et faisons d'abord z*=j^"'' , on 
aura la transformée Q = 7/ — TrrJZTTv ^ intégrer depuig 
j^ ==: 1 jusqu àj^ =: co. Intégrant par parties , on auia 

Soît ensuite y = 1 •+• a:* ^ et on aura 7 y ^.yZ ^ - j « 

^ /VW^f^^^) • formule qu il fkut intégrer depuis x =s 
Jusqu'à x = oo« Gela posé , la valeur de Q peut se mettre 
sous cette forme 

mais la partie hors du sîgney s'évanouit au commencement 
iet à la fin de Tintégrale : ainsi on a simplement 

X «^ (y/ (34-3* .».*•) «*-jJ 

Comparant avec la formule X , on aura/=-T-7, ^= — ?» 
a =\/5, 6 =5 1, COS. 6 =.7vl3, c=î v^(a— ^/3) , etcommei 



Mémoire mrîes Transcendantes eîUptiqxies» 55 

Tintëgrale doit être prise depuis ^ = o jusqu'à ^ = 90» , ou. 
aura pour résultat (en distinguant ce second c par À), 

Maintenant puisqu'on sait que P Q = ^ ;t , cette ëgalitë et 
oelle qu^on a obtenue semblablement dans Texemple précé- 
dent f donneront ces deux résultats , 

On peut donc dans ce cas exprimer les quarts d'ellJpse El/ "^ ^ 
El*, qui sont des fonctions de la seconde espèce, par Fi , 
F v.k , fondions de la première ; et la même chose a lieu par 
consé([uent pour toutes l s ellipses dont les excentricités 
•ont comprises , soit^aus la suite c, c® , c°® , etc , soît dans 
la suite A, A^, k^^^ etc. , lesquelles suites peuvent aussi être 
prolongées à Tinfini dans l'autre sens« A ces relations , on 
peut encore joindre celle deFi=y/3FiA^ qui va êtrs 
fdéinoutrée dans 1 exemple suivant. 

EXEMPLE III. 

(5f>). Soit pro] osé d'intégrer la formule R =s. f—^— \ 
depuis z = G jus ju'à x = i. 
On fera d'à! ord i — ^* ==( y )t ^ ce qui donnera R e=3f 

^TnyTT) ' ^ ">»^grfr depuis ^ = o jusqu'à j^ = oo. 
Soit easuire /rt =y/ 4 et n» j^=x*— 1 , on aura la trans* 
formée R =-^/^( >-5^.^3) f qu il f-»nt intégrer depuis 
a: =s 1 jusijua X = oo. Cette intégrale se déduit facile- 
ment de la valeur de P^ dans l'exemple précédent, et on en 



56 Mémoire sur les Transcendantes eUiptiqnès: 

tirera R = ^m 4/5 F i , le module de F i étfint toujours 

c = 7 v/ (2-+-\/ 3). Mais il y a une autre manière de 
trouver la valeur de R. 

3 

Soit 1 — ^^=(1 — —) ,on trouvera d'abord la trans-? 

ÎQTTaée^=i/ ~^y~-^f quîl faut intégrer depuis j^ = 1' 

jusqu'à y = 00. Soit ensuite ni? := 4 et /n^= 1 -l-ar*, oa 

auraR =^^ / ., ^ fl .^ g, , nouvelle formule quil faut 

intégrer depuis x= y/j (m — 1 ) , jusqu'à x = 00. Or ^ en 
comparant à la formule X , on a y = 1,^ = 0, a = iy; 
6=v/ 3, COS. =7 v^ 3 , et c= 7 v/( 2 — \/3; ; de plus, lorsque 

i'^ af = iOT— i,onacos.*4>= -^^ ^{^ = av^s^S '^ 
Or, on trouvera par la trisection ( art. 18 ) que cette valeur 
de <^ répond à une fonction F = 7 F 1 , d'où il suit que la fonc-; 
tîon F, prise depuis cette valeur de ^ jusqu'à celle de 90^,; 
où l'on a X = 00 y sera F — 7 F 1 . D'ailleurs cet F 1 doit être 
désigné par F 1 A , puisque le module est ici A = 7 ^Z (2 — \/S) ; 

donc on aura R =s -^f-- t^. 7 F 1 à. Comparant cette valeur 

avec celle que nous avons trouvée par l'autre méthode , on 
aura cette relation très simple , 

Fi = v/3. F lA, 

laquelle jointe aux deux équations (b^)^ fait voir qn'une 
aeule des quatre quantités Fi,FiA,£i,£iA étant connue, 
on peut déterminer les trois autres. On aura par exemple ^ 

«•v/3 17 . Cl? - /S — v/3 



4v/3 



FifEi~(îi:i^^)Fi| 
FiAjEiA— (^^)Fi*}^ 



On voifi aussi qu'une seule ellipse connue dans les deux 

6uite8 



"Mémùifé sar léi !iya^ 57 

ftaites formées d après les exœntridtës c et A , suffit pour 
déterminer toutes lés autres. 

Nous insistons sur ces comparaisons , parce qu'il paroît 
qu'il y a très-peu de cas où elles ont lieu , et où l'on puisse 
déduire £ de F ; ici il y a un double rapport entre les E et F 
d'une suite y et ceux dune autre suite, formée d après un 
autre module , ce qui est encore plus rare et plus remar^. 
quable. 

Au reste , comme on pouvoit intégrer indéfiniment la 
formule R par lune et par Tautre méthode , on voit que la 
fonction F , pour le module c =7 \/ (2 H- v/3), se 
déduira toujours d'une fonction pareille pour le module 
k=z^\/ (2 — >/ 3), en prenant les amplitudes conve* 
nableSy et il en soroit de même des ellipses dont c et A sont 
les excentricités. Ces ellipses entreroient dans l'intégration 

de la formuley — ;^^ , qu'on peut effectuer par les deux 

mêmes méthodes que celle de la formule R ; et ainsi nous con« 
noissons deuxsuitesinfiniesd ellipses, telles que la rectification 
indéfinie dune seule de ces ellipses donne celle de toutes 
les autres. Ces réductions tiennent à la nature particulière 
du radical y/ (x* — 5a:*-4-3) , qui est susceptible de se chan- 
ger en \/ (x* + 3 a:* H- 3) , mais il ne paroit pas que de 
telles réductions soient toujours praticables. 

Théorème sur les fonctions définies dont les modules sont 

complément lun de F autre. 

(Sy). Dans les comparaisons qu'on vient d'établir, les. 
modules c et A: sont tels que A's 1 — c*, ou que A= b^ et ainsi 
ils sont complément l'un de l'autre. Si on met ft à la place 
de *, pour mîeîîX se représenter le rapport des fonctions 
£ 1 fr ^ F 1 ^ aux fonctions E 1 , F 1 ^ qu on peut aussi désigner 
par £ 1 c , F 1 c I les équations {V ) étant ajoutées ensemble 
donneront 

f = FicEift-f-Fi&Eic— FiftFic ..(c') 

H 



\ 



58 Mèmniré sur les Trantcendantes èlliptufues.^ 

Cette équation est dëmontréepoiir le cas dec=7 v/(2 -H/ 5); 
elle Test aussi pour le cas de c = y^ 7 , car on aurait alors 
b=zc, et elle deviendroît 

y = Fi (2E1— .Fi): 

Or celle-ci se troure exprimée en d'autres termes dans les 
Mémoires de 1786, page 678. Mais ces cas ne sont que par* 
ticuliers,et nous allons prouver que 1 équation (c') a lieu 
en général quelque soit c , ce qui est un théorème nouveau 
et remarquable sur les intégrales définies» 

Pour abréger la notation , 6tons les 1 qui indiquent que les 
fonctions ont une amplitude de 90® , et ne distinguons les 
fonctions en b des fonctions en c que par un accent mis 
sur les premières. Alors Téquation qu il s'agit de démon* 
trer sera 

-^-=FE'^-FE — FF (cT) 

Je regarde le premier membre comme inconnu , et je Tap • 
pelle n , je différentie ensuite les deux membres par rapport 
à c , qui est la seule variable qu'ils contiennent. Or, ayant 
E=/At/(^, F = /î^, A^ = 1 _ c^- sin.^ (^ , il en résulte , 
par les principes connus , -^ = — y i£$j^l± = — ( E F ) 

^^ irc=f L^ — = t/:â^ — t/-/- Mais, par les for- 
mules de Tart. 9 , on a / ^=^-ff^d^ — ^^ *^"' f ^o'- » ^ ^j. 
dans le cas deô = 90^ dont il s'agit, le second terme s éva- 
nouit, et ainsi on aura ^ = 5^^; Les variations de E' 
et F' s'exprimeront semblablement par rapport à* , et parce 
que bdb -4- cdc == o , on en déduira ^ = - ( E' F' ) 

^^^■57 — à^ç • C^la pos^ 9 si on différentie Téquation 



r 



ifi) I dont le premier membre est supposé n , et qu'on substi^ 
tue les valeurs quon vient de trouver pour dEjdF^ etc. 

on trouvera 

r 

^ n 5= o. 

Et ainsi la quantité II est constante ; il «ulfit par conséquent 
de la déterminer dans un cas particulier. Soit c = o, ou 
fe i== 1, on aura E = F =7^, E' = 1 ; quant à F' il est 

infini , car ayant F' —/^ = log. tang. ^(45° •+- 1 <^ ) 



COI.^ 



si 



on fait ^ = 90** , F' devient infini. Mais comme cet infini 
est logarithmique, et qu'il eft multiplié par E — F, qui est 
zéro , le produit sera encore zéro. Donc le second membre 

de réquation (d')se réduit dans ce cas à ^ » donc il sera 

toujçars égal à 7 :?r , et ainsi Téquation (if') , qui est désignée 
jttus précisément par (c') aura lieu, quelque soit c. 

Ce théorème donne une relation entre les fonctions Ei, F 1 • 
qui appartiennent au module c , et les fonctions semblables 
pour le module b. Il faudroit une seconde relation de ce 
genre pour pouvoir déterminer les fonctions de la seconde 
espèce E 1 ^ , E 1 c par celles de la première F 1 ^ , F 4 c ; 
mais il ne paroît pas qu on puisse la trouver en général. 

Nous a\ ons déjà remarqué deux cas où ces réductions ont 
lieu ; ce nouveau théorème va nous en foiu'uîr un troisième. 

Supposons ^ = c^ = ^-^ » ce qui donne ^ =: t— n- \/ 2 , 

c^:t=i— ^5 -t- 2 \/ 2; dans ce cas E 1 ^ et F 1 ^, deviendiont 
E« 1 et F^ 1 , et l'équation (c') donnera 

' -f ssFiEoi^t-F-iEi— FiFoi; 

màiÈ pœe les formules de 1 art. Sa , on a F i= ( i >+- c">) F" j =: 
V^a. F»iet 



^ Fi =:--£ 1 -^ ( 1 4-*) E» 1. 

Ha 



Observons d'abord que la formule H peut s écrire ainsi : 

TT^_^ A« -f-B ^-rf^ ^^ An — B >*i— Tttin.*^ ^^ 



« . 



Là première partie n\iyarit aucune dilBcultë , occupons-^ 
nous de la seconde , et faisons : 

■ I ■. - . ■ , ■ 

■ • ■ 

faisons en même tems 

1 r- J sin.» <^ . . 
1 8in.' ô 

A ' 

nood ?aurons^ en ajoutant ces deux ^ formulés^ 



• ■ .. ■ - • i« 



I , 



A — c^sîn/ * 
^ -^ i^(«H- J-)&in.*<^H-c*sin/<^* ^ * 

Soit pris mainteBjantV/angle^y.ltelquje :«inr..>lr=îil^^*, 
etsoit fâïrpdujf âMg^ *«==• n îi^e-r ilaSitbstîtution donnera, 

î- ih / , II') ■ »••-' >■: 



et ainsi oni| ce rëiultat très-remarquable : 

,y "^ • i 2JT. 1" A 



V'. 



i4--— sm. <p 
Or, des deux nombres n , -^ si Tun est plus grand que c, 



I 1 



Tautxe eist certainement plus petit : donc» on peiuiioujours 
rùmeher la formule intégrale H , a une/orn^ul^ sembla^le^ 
dans laquelle n soit plus.pet^ c. . -^ ., 
Aifiw, lorsque » est A^gS^tif et pjus grài^ 



J^** 



*#■■■. 1 • 



» % 



V. *l 



MÊiMi^ ^M'^hwmi^^ ISS ^ 

convënient qu'a la formule H dé devenir iIlfiIue^pDlir':cer• ^««\> :?- ff >**«^ 

taines valeurs de <{> , se trouve en quelque sorte rejeté sur la \^^^ ^é^ . 

transcendante de lordre infërieur / ^.^i^^iA. ^ et il ne reste 

plus à considérer qu'une fonction elliptiques riégulièie ^ dont M i^ i%^J\J»^ ^; •f, 

la valeur est toujours finie. 

Remarquons que dans le caa particulièi àéws^o^ on a|, ^-^ " '"' 

par une intégration absolue» '"^^"^ ••% A**à., .t ^^\^^\ 



^ ù i + c 



% 



de même, dans le cas de /i s^— C| si on fait, ^.'iv --A^^ m^\^ "^^kiw* ^t^\ 

^^ «^ t^^ 



^ • (I — c ) Mn. ô 

sm. o = ^ Vt— f 



on aura, 



* t"^ 






Ces deux formules sont comprises Tune et l'autre dans ^ "^J ^' i *^^ ^ 

celle de larticle 37. ^ ••% ^^^^-t^vw^ 

Enfin, si nétoitimaginaire, et delà forme v (cos. a-+-\/: — 1 
sîn. a), on voit par la formule générale, que le cas où v est 
d'une grandeur quelconque, se rameneroit tout de suite au 
oas de v plus petit que c-. ^ 

(40) Cela posé, procédons à la transformation de la forr ^^ ^* v.^'i^*^*») 

mule H , que nous mettrons sous la forme , '^ ^ ^ ^ V^ 

et dans laquelle on pourra supposer que n est pluspetît que c. 



* 



-^•^TÇj ^^m 4 



Nous ferons à l'ordinaire sin.*^ =7 (1 H-'C^ »in.*<^^ — bu?" ^aîv^o^^^wv 

cos. ^^), et la substitution donnera, "^ '' ^ * ' 



♦"^X"» I . 












"*••*- i^ ^ ♦ *«».»«1 



c/-^-*"-'^/^ 






vmtm,i/m^r^ H<c« 64 Mériiùiré sur les Trameëndantes cU^tiqu&î. 

M'4»m€ fi s </-»f^ et où les nouveaux coêfficiens sont : 



1 -f-n 



f^ ^^ • i.L |N La même loî se contîn uera dans l«s transformées ultérieures, 
C/« » êiÂ'^y •t V) ^^ g^j.jg qu^en faisant 



"-y-* /-*'/' fTi 



r- 



A"» = A» -Hr—rr . 



£00 -5 B». 



e*" + a «o 4- »»•• 






,uJ t^r^^^y^ 



(^ 



on aura : 




» + ^"'^ ç Wôo îB^ rJJll^^ ♦''* 



" — 1 ( i4.«<»/ , 4, „«o lin.. ^00 I 



^ ^ et ainsi de suite. 

^"^ ^ ^^^^ (40. Examinons d'abord avec quelque détail la loi de pro? 

• ' gression des coêfficiens, n^ nP^n^^^ etc. Si on fait /z= toc, 

J *. /• • i« ê.^^ ♦ ♦ ^^^ et semblablcment n^ = //iO c^ , on aura mP »= '!L{!1±±Ï^ ceipiî 

'^'^ï rt? ' ^ ^•t une formule assez simple pour déduire m^ de m ^ et on 

déduiroit de même m^ de mP , etc. Remarquons maintenant 

Z ^^ fmJ- %••■ cj^/^ qijç puisqu'on suppose n < c ^ on a w < 1 . Or , de là il suit 

<^ M*'^ ^•V'*' qu'on a aussi w<> < 1 et même to® < w ; car soit pour un 



^ ji,^^^^^^ moment mo = <î m , ou c5 = 7^^— , il en résulteroit 1 H- 

/^-•^y^ t^ "V"*"*^ prouvent que 1 -+- (î et 1 — lî sont toujours positifs , et 

^ g jA, ^ qu'ainsi <î est toujours plus petit que Tunité. Donc nv" < w, 

'^^ ijnrT)* ' "VTw* ^^ p." une' raison semblable m^ <C /y»^, mi^ <^ /t^^o , etc.' 

»•''<- f- vV. -, «Va 



TiiirtmirésupletTransem^^ ISS 

D'où Ton voit que les termes i m^m^j m^ # etc. , sont nou- 
seulement plus petits que Tunitë ^ mais qu'ils décroissent 
continuellemenL II en résulte par conséquent que la suite 
n,n9^ n^^ n^^^ etc. décrott plus rapidement que la suite 
c, c^, co^ y etc. chaque terme de la première étant plus 
petit que le terme correspondant de la seconde. 

A regard des signes de ces coêiBciens , il y a deux cas à 
considérer, i^. Si n est positif, ou qu'étant négatif il ^t plus 
grand c* , alors nP sera positif; il en sera donc de môme 
de n^ , et ainsi tous les termes n*> , n^^ , ff^j etc. sans excep- 
tion seront positifs. Dans ce premier cas se trouve compris 
celui de n == zt: c ^ qui donnera ;i<> = c<> , n^^ = c<>^ , et 
ainsi à Tinfini ; mais ce cas est inutile à considérer , parce 
qu'alors on a vu dans Tarticle 38 , que la fonction H se 
ramène à la première espèce. 

2®. Si/iest négatif et pluspetîtque c*, soît n=z — c'Bliti.^ 6 , 
On pourra faire de même /i® = — c^* sin.* 6^ , et on trouvera 
que langle 6® est réel et déterminé par la formule 

tang.(0o — e) = itang. 0, 

ce qui est la même loi , suivant laquelle ^® se déduit de ^. 
Calculant donc successivement 0® , 0^<> , etc. d'après cette loi , 
on aura nP =i — c^ sîn.* 0®, n^^ = — c^ sîn.* 0^ , etc. ; 
d'où Ion voit que dans ce second cas tous les n sont néga- 
tifs , et plus petits que les c^ correspondans ^ ce qui rend 
encore plus convergente la suite n^ n^, n^, etc. 

(4^). Connoissant ainsi la loi de progression des coêffi- 
ciens n , venons à celle des coêfiîciens A et B. Soit pour 
abréger 



t . 



i 



^i'-hèfii-hny^ 



et soit désigné par k^ une semblable fonction de c^ et n^^ 
et ainsi de suite , on aura donc 



i . » 



B« ss A Brfi^js: Aii&o B , B<>*<( SI AA« A«« B L «te!. ^ 

I 



€6 MÀmtArèsttrlêsTrajûéé^^ 

Mais puisqu à une certaine distance les nombres o et n^ 
qu'on peut désigner par c/» et /»/• , sont assez petits pour 
être regardés comme nuls, il est clair que Av» est d<)ns le 
même cas , et qu ainsi on psut iaire en toute siiretë E» == o. 
Quant à la valeur de A^ , on* trouvera aisément qu elle édt 
donnée par la suitB, indéfinie 

A/.=A-+-7:^ + ;^-+- f:^:^ -H etc. 

Suite trèa-convergeote , et dont oa calculera plus ou moins 
de termes « suivant rapproximation qu'on yeut obtenir. 

Appelions toujours 4» la limite des angles ^ , ^ -^ y^ etc. , cto 

qui doune^ après un nonibje Je kriiirs siifiisaiit , <h^== 2^* o ,^ 
alors la valeur de H/* sem H^ =r=: »/«< \i«* *. 

(45). Il est facile inciinioiiaiit dr* développer la valeur com* 
plète de H que donnent les transformées successives, i^pit 
pour abréger 



«t on aura 






• ■ 

""3^- i-î— -""-i • H^-^/t+^'^^.in.'*»»* 

etc. 



1 . 



Les termes qui restent à întégrçr di^peodent des arcs de 
cercle, lorsque tous les coëfficieus/ï®, n<>o. etc sont positifs,'* 
et drs logàrithnies , lô'rsquils sont tous iH^g.<tif8. LorS'jU^* 
^ = 90** ou un multiple de 9o<> , ces înt^gralés disparoissient, 

et on a aÛBpkmeot Us: a i^ , 'docîc &\Js^ n.^n* 

« 



^ ^ ^ 



fiî on iaît /i == o, oh aura A =: — ^ A<» s==: — , éta . et la 

valeur de H s'accordera avec celle de G de Fart. So- 

Remarquez que la valeur de H 3e termineroît , ainsi qu^ 
celle delà Jimîte Aa*, si quelqu'un des noLibres k , k^yk^^ ^ exc^. 
étoit zéro , ou si on avoit Tune des égalités /^ = — i -rk-bt 
n*^ = — 1 H- ^^ , /^<>o =. — ï 4- £^®, ètç. .On çonnoît donc 
déjà une infinité de cas où la fonction II peut se ramener à 
la première espèce. Ces cas sont ceux où en faisant n =: 
— c* sin." 6 , onauroit pour 6 Tune des valeura qui satisfont 

à réquation F ( ) = — — F i ^ fi et v étaxit des içntiers 
quelconques. 

Second moyen de transformation appliqué h ta formule H.* 

• ■ 
(44)* Ce nouveau moyen consiste à pjMndré | comme dan4 
Tart. Sg , un nouvel angle ^' tel que 

r 

ftm. ^':;^ ■ — ^ 




4 • 



1 + c •in.' ^ • 

Cet angle ^' crottra coatinaelIeiB^it avec Tangle ^ , et Oà^ '91^'^»^ *ki^ki/ 

coïncideront entièrement lorsque <f sera un multipl» de 90^. '3^t^f '* ^^ 

Faisons , conformément aux dSaominatibiis accoutumées , ÀtHflf 'M*^*!^'^'** 

c' = f^ , et A* = v/ ( 1 — c'»«in.* ^' ) , nous aurons A^IC^^^W-^î^l 



8m. ^ c(H-A')» A — H-c'Â^» 

f 

valeurs qui étant substituées dans la formule 



'k^4b<h 



~ '« r « 



, ' . «■ t 






XI — JK^-^x^n^iu.^(^) A » ^.^'1- V4.•^^• 

donneront *''*'*-•. 

■ » 






68 Mémoire sar les Ttwuëa^^ 

H' représentant/ (A' H- r^îs^)^» «t les nouveaux 
coêfficiens étant 

Ainsi nous trouvons que la formule H dépend d'une for- 
mule semblable H' , dans laquelle c et n sont différens. H 
faut examiner s'il y a quelque avantage ^à^ cette transfor- 
mation. 

A regard de c , le changement paroit désavantageux , 
parce que c' étant plus grand que c , le radical A' difiTère 
plus de Tunité que A. Cependant si on continuoit ainsi par 
des transformations réitérées , la limite des quantités c, 
c' I c'' y etc. étant l'unité , on prendroit cos. ^ pour le dernier 
radical A, et alors l'intégration pourroit s^effectuer par les 
moyens connus* Mais ce g^ire d'apfMx>ximation ^ dont nous 




que cette 

u^4 Vl|, j' -diminution peut s'obtenir en renversant le résultat précé- 

^V. "^'*i^':;ii^^dfint| oiï, ce qui revient aa même, en récrivant ainsi : 

âr >> V^«^ ^ 4ç^ alors on anroit : 



et les nouveaux coêfficiens seroient , 



r ""''•^ »° = (^/(a»-Htf»=!:av/<»»-t.»c«)), 






;^.fn^yh.c «r- -^ B<> = -t- B *' 

Ao — , A B 







r 



"JiliUmoirèinivrlêsTrt^ 69 

'h cauae du double signe itr, on aura à choisir entre deux 
transformées ; et il paroit convenable de prendre celle où 1»? 
sera le plus petit. Or, les valeurs de n^ sont telles que leur 
produit = c^ ^ ; ainsi , on pourra toujours faire en sorte que 
dans la transformée , n* soit plus petit que c^ , et cela quel- 
que grand que soit n. On peut donc obtenir le même avantagé 
dans les transformées ultérieures; et ainsi , par cette mé« 
thodoj on pourra trouver très-promptement une valeur de H 
aussi approchée qu'on voudra ^ sans qu'il soit nécessaire 
d'aucune préparation lorsque n est un peu grand» Cependant 
cette méthode a quelque désavantage sur la première^ en 
ce que la valeur de n^ est irrationnelle, et qu'elle devîendroit 
même imaginaire si n étoit négatif et <[ c^. Un second dé* 
savantage de cette méthode , c'est que ^^ ne se déduit com* 
modément de <^, quen employant un angle amdliaire ^ ^ 

tel que sin. ^:=zc sin. <^ ; alors on a sin. ^^ = -^^ tang. 7 ^. 

Troisième moyen de transformation, appliqué à la 

formule H. 

(4i>) La méthode que nous avons suivie dans Tarticle 20 > 
peui s'appliquera la formule H ; il faut observer pour cela, 
que si , d'après Tarticle 17, on fait , 



sin. * <^ 



I— cot. 4^ 



i-h>/(i — c*«i»«*^)' 



on aura ~^^ = ^^ : substituant ces valeurs dans la for- 

mule H de TarL 40 ^ et faisant , pour abréger k = ^^ ^^ » 
on trouvera, 






ii'-^Aii-é-c' 



^ MémùifîisurlesTmnseendanifBtM 

La dernière partie est intëgrable par arcs de cercle et pa^ 
logarithmes. La première est une formule semblable à H, 
dans laquelle c est le mémo, et n différent. Cetbi nouvelle 
valeur de n étant nommée t , on auroit 



(C — n')' 



n faudroit renverser le résultat précédent , pour en tirer nno 
approximation semblable à celle qui a été indiquée dans 
l'article 20; mais comme cette méthode est beaucoup moins 
avantageuse que leS deux précédentes , nous n y insisterons 
pas davantage ; nous en couclurons seule-ment que si Tin* 
tégrale H est connue lorque n = « , elle sera pareillement 
comme lorsque 

Et par le renversement de cette formule , on trouve que ai 
riutégrale H est connue dans le cas de n = 6 , elle le sera 
pareillement dans les quatf e cas que contient Texpression 

C'est ce qu'on trouveroit aussi par la comEinaîson des deux 
premières méthodes ; car la première méthode donne , entre 

^ et ^^, cette relation , — |j=: i^. -^ , ouF (c, ^)= ^^. 

F (cOj ^^ ) ; la seconde, en mettant)|r à la place de <^ , donneroit, 
F (c, ^) =2 ( n-c^) F (c^, t^®) ; donc, paf la combinaison 

desdeux, onaF(c, <^) = iF(c,\lr), ou^^===:^;ce^ 

est le fondement de la troisième méthode ; et par conséquent 
toutes les conclusions tirées de cette troisième méthode ^ 
sont renfermées implicitement dans les deux a:utres. 

Nous nous proposons maintenant , à Taide de ces diffé- 
rentes transformations ^ de faire coBJxdltHer les' cas où la 



) 



Sxnction elliptique H peut se ramener aux fonctions «le la 
seconde espèce , et ne dëpend ainsi que des arcs d'ellipse. 

t 

I}0S cas où ta fonction, H peut se ramener aw^fonàlhns 

eUiptiifues de la seconde espèce. 

(46) Les cas les plus simples où la réduction a lieu imr 
tnédiatement , sont ceux dé n = — i , /i == — c* , n — -Le. 
Voyez les art. lo et Sg. Si donc, parmi les transformées 
successives qu on obtient par Tune des trois méthodes ex- 
posées, il en est une qui retombe dans Tun de ces cas, on 
^tt assuré que la formule proposée , et toutes les antres 
transformées, dont le nombre est infini, peuvent se réduire 
à la seconde espace , quelquefois mêaie à la première > et 
ne dépendent aîusî que des arcs d' ellipse : d où Ton voit 
qu'il est possible de trouver une infinité de valeurs de n 
réelles et îiiiaginuires , exprimées en fonctions de c, qui 
donnent lieu à cet abaissement. C'est ce qne nous allons 
développ'T. 

Parla première méthode. D'une valeur de n correspou- 
'dante à c, on tire cette valeur de n^ correspouddute à c® : 



n«>: 



n (n-f-c") 



(iH-^y(i-+-«) 



Réciproquement d^ine valeur de n^ correspondante k- c^^ 
on déduit cette valeur de n correspondante à c :. 

»==^r:^' !«"— c«dr\/(«o-i-i) (»«»H-c<»»)J: 

irofcS Fusage de ^es foQrmules : 
' • K dans là preniièré on fuit /t = - 



=2 7— 1 , ou /t =s — c' , on 
tfa iucun résultat i^ionîaiitn =z±c , oij a /i® = ^^, = c^ , 
OU 1!^ ;;:7 C, ce^ qul )a apprend rien. 4^ nouveau. 



Si 4lins k Jscond^ > «i &it a-^ss-— i|ûiiaur«r;^ 



*— a 



»» • 









1-+-C- 



*• 



7^ Mémoire sur les Transcendantes elUpUquéÊ. 

Le second membre est une fonction de c^ ; il faut le rendre 
fonction de c , et pour cela substituer à la place de c* sa 

^ «-«♦•'^ valeur Y^;^ ; on aura ainsi /z = — i — ^ , ce qui est un nou- 

veau cas. Mais comme , en vertu de Tarticle Sg , on peut 
ne considérer que les valeurs de n plus petites que c , et 

réduire celles qui cxcéderoient c à la valeur ^ , dans ce 
cas , au lieu de la valeur — i — b y on peut prendre 
zrr^n f ^^ — 1 H- ^. C'est aussi ce qu'on trouveroit immé- 
diatement en faisant , n^ =z — c*, et il en résulteroit, 
n = — 1 -f-^. 

Le cas de n =i — i ^- ^^ peut conduire à une inBnité 
d'autres. Faisons , dans la seconde formule , n^ = — • i -f-^ , 
nous aurons : 

U faut changer le second membre en une fonction de c 
ou ^ , et pour cela faire b<^ = ^^ ^ c^ = |^ , cequi don. 
nera 

-Ci-v/*) 



n 



v/(7^y 



C es deux valeurs de n en feroient connoître quatre autres ; 
par une nouvelle substitution , les quatre , huit ^ et ainsi 
de suite. 

Toutes les valeurs de n ainsi trouvées sont négatives , et 
plus petites que c* ; elles peuvent donc étrt représentées par 
la formule n=z — c* sin.* 0. Nous avons déjà remarqué dans 
Tarticle 4^ que les valeurs qui rendent nul quelqu'un des 
termes />•+-! — b^n^^ i — ^^,/ioo-Hi — b^y etc. , 
rendent nul aussi quelqu'un de ceux de la suite k^ffi, k^^ etc. 
et ainsi dana tous ce» cas la formule générale àèXmti./^Z 

se 



Mémoire sur les Transcendantes elliptiques. 70 

se terminera d'elle-même , et la fonctionU sera rëduîte à la 
première espèce. 

Soit encore dans la seconde formule rt^ == c^ , il en résul- 
tera /i = zh c , ce qui n apprend rien de nouveau ; enfin , 
^oit /jo == — c'^ , et ou aura pour nouvelles valeurs n = 

— c^zb^cy/ — 1, d'où il en résultera une infinité d'autres 
par des substitutions réitérées. 

En général on voit que chaque valeur de n négative , et plus 
grande que c^ , en donnera d«ux imaginaires ; chaque valeur 
positive en donnera deux réelles , Tune positive et l'autre 
négative. Mais nous ne connoissons encore dans les valeurs 
positives que le cas de /^ = c , qui n'en fait pas connoître 
d'autres :• les autres méthodes vont en offrir de nouveaux. 

(47). Par la seconde méthode. D'une valeur de n corres- 
pondante à c 9 on tire cette valeur de n"^ correspondante à c^ 

Réciproquement d'une valeur de n^ correspondante à c^ , 
on tire cette valeur de n correspondante à c : 



Soit dans la première formulé ti =: c , et on aura n^ = 
^ (v^^i±£^y . mais il faut changer le second jnembre en 

fonction de c^ , et pour cela faire c a^ f^^ , b = 7^. La 
substitution faîte , on ôtera par-tout l'indice o , et on aura 

Si on eût fait /z = — c , on auroit trouvé cette valeur de n 

Ces deux nouvelles valeurs sont moindres que c , et chacune 

K 



74 Mémoire sur les Transcendantes elliptiques. 

des àewx en peut fournir une inlinité d autres , tant par la 

formule de cette seconde in(4tliode que par celle de la pre- 
mière. 

(48), Par la troisième méthode, c restant le même , si v 

est une valeur de n , on eu connoitra une autre par U 

formule , 



4(f-f- O (•» -f-c-) » 



et aussi une autre , par Tinverse de cette formule , qui 
donne, 

=t:v/(n-f)-i 



n 



v-(^-^i) 



Dans celle*cî on peut mettre — à la place de v , te qui donnera 
pour troisième formule , 

Cette troisième mëtliode est, comme nous Tavons dëja re- 
marqué , une suite des deux autres ; mais elle est plus 
commode pour Fobjet actuel , parce que la valeur de n est 
exprimée immédiatement en fonction de c , et qu'il n\ a 
point de réductiou à faire d'une fonction de c° à une fonc- 
tion de c 

La première formule ne donnant rien dans les cas les plus 
simples , passons à la seconde , et fahsons v = — i , il en 
résultera n ^=^± b — i , ce qui est une valeur déjà connue. 
Faisons ensuite v = ^ — i dans la troisième formule , nous 
aurons 

y/b^ 1 



•M -«M « ■ ■ 



v/(rh)+' 



Mémoire sur les Transcendantes elliptiques, y 5 

valeur qui a ëté de ja trouvée parla première méthode, muîs 
moins immédiatement. On pourroit y changer le signe de b , 
ce qui donneroit deux nouvelles valeurs imaginaires. 

Soit V = — c* dans la seconde formule, ou v = — i dans 
la troisième , nous aurons n=z — c*± b c \/ — i, ce qui 
est un résultat déjà connu. 

Enfin faisons v = c dans la seconde ou la troisième for- 
mule, et uDus aurons 



valeur qui revient encore à celles que nous avons trouvées 
par la seconde méthode. Si on eût fait v = — c , on auroit 
trouvé ces valeurs imaginaÎFes , 



n = 



v^(^ — 1)-+- 



Il est inutile d'entrer dans dé plus grands détails , et on 
voit que par la combinaison de ces formules , on obtiendra 
une multitude infinie de valeurs de n exprimées en fonctions 
de c réelles ou imaginaires , au moyen desquelles la formule H 
pourra être débarassée du dénominateur i -+- /isîn.*<^, par 
une ou plusieurs transformations convenables, et qui peuvent 
s effectuer par les méthodes précédentes. Ainsi cette fonc- 
tion elliptique de la troisième espèce peut se réduire , dans 
une infinité de cas , à une fonction de la seconde espèce, et 
ne d<^end alors que des arcs d'ellipse. 

'D^une autre manihrc d'évaluer le s fonctions elliptiques. 

(49). Il peut être nécessaire dans plusieurs cas , sur- tout 
dans les problêmes de mécanique , dVxprimer par la seule 
variable ^ les fonctions elliptiques doût ces problêmes dé- 



^ *_* 



'^6 Mémoire sur les Transcendantes elliptiques. 

pendent. Alors le développement se fera dé la manière 
connue ; mais les méthodes précédentes serviront toujours à 
simplifier la détermination des coëfiîciens. 

Considérons d'abord la fonction F = y-^ , et supposons 

-^= A — 2 Bcos. 2 ^ -H 4 C COS. 4 ^ — etc. , afin qu'il en 
résulte 

F=:A<^ — Bsia.2 ^ -t-Csîn. 4 ^ — -D sin. 6 <{>-+• etc. 

Il s'agît d'avoir le plus simplement qu'il est possible , les 
valeurs des coëfficiens A^ B, C: etc. Or,* par un premier 

développement, ona -^ = n- -^ o^^^^-^^ "*" FI ^^ *^^-^ ^ 
-H etc. ; ensuite mettant au lieu des puissances des sinus 
leurs valeurs en cosinus linéaires , on trouve une suite de la 
forme supposée , dont les coëfficiens sont : 






etc. 



3 



B= ±a^.ASH.|S ;+|S H^etc. 

C= tS^^S ^ ±S h- etc. 

D= -^8 ^-^ -H etc. 

etc. etc. 

Dans chaque valeur on a désigné par S le terme supérieur 
de la valeur précédente , et par ce moyen la loi de ces suites 
est assez facile à saisir. Les multiplicateurs à employer pour 



passer dune ligne à Tautre , sont en général -r^ r-^— ^ 

(n + iu\n + 5) » in^i)^2n^4) f ^^^' ? ^^^«e loi uc serviroit pas 
à déduire B de A y mais elle servira à déduire C de B , en 
faisant /i = i , D de C , en faisant n = 3 , etc. On pourra donc 
par ces suites calculer effectivement les valeurs de A 



Mémoire sur lei Transcendantes eUiptiques. jy 

B, C , etc. ; mais lorsque c dîffère peu de l'unité , il faudroit 
calculer beaucoup de termes pour avoir une approximation 
médiocre. 

(5o), La valeur de -^ étant multipliée successivemWt par 

d^y d(^ COS. 2^ y d^ COS. 4<^i etc. , puis intégrée depuis 
^ = o jusqu'à <^ c= 90® , donnera , 

A. ^=/^, Bf =/-^-^, 2 C. f =/^f^,etc. 

Ainsi chacun des coëfïîciens A , B , C , etc. se trouve par 
une intégrale définie, et ces intégrales ne dépendent que des 
quantités F 1 , E 1. On a d'abord pour les deux premiers 

A- = Fi,etB- = 4-(Fi— El) — Fi, et en substi- 

tuant les valeurs de Fi et Ei (art. 27 et 3i) , il en résulte 



A = ( 1 -H c^) ( 1 •+- c^^ ) ( 1 -H co<><>) , etc. 

Ces deux premiers coëiïîciens étant trouvés , on peut en dé- 
duire tous les autres; car en comparant la différentielle de 

4- avec celle de sa valeur , on obtient 
2.30 = 4B (^) — A 
3.5D =i6C(^)-.i.3B .... (6) 

' 4.7 E =36D(î^)— 2.5C 
etc. 

Cependant ces équations ne ser oient pas d'un usage bien siir 
si c étoit très-petit ; car il faudroit supposer A et B calculés 
avec une extrême précision^ pour que les erreurs ne devins- 
sent pas bientôt fort considérables sur les autres coëfficiens. 
Dans ce cas, on pourroit employer les suites de l'article 
précédent ; mais il vaut encore mieux se servir des mômes 



78 Mémoire sur les Transcendantes.elUp tiques. 

équath3as (6) dans un ordre inverse. Par exemple^ si Tap- 
proximation dont on a besoin n'exige pas qu'on aille au-delà 
du terme D, on pourra négliger E dans la troisième des 
équations ( 6) , et il en résultera le rapport de D à C. La 
seconde fera connoitre celui de C à B, et la première donnera 
celui de B à A,^ ce qui pourra servir de vérilication. On voit 
dès-lors que tons les coëfiiciens seront connus, jusqu'à celui 
qu'on %e permet de négliger. Au reste, le coc^fficient A est 
celui qu'il faudra toujours déterminer avec le plus de pré- 
cision ; car A (^ est la parlie principale de K, celle qui 
augmente indéfiniment; les autres ne sont que des inégalités 
oii équations de cette valeur moyenne. 

(5 1 ) . Les fonctions elliptiques de la seconde espèce , pouvant 

être représentées par la formule G =y (a4- 6 cos. 2 c^) -^ 1 

il est aisé de voir qu'on a 

G= «é[A^ — Biin2^ + G sin. 4 ^ — D sîn. 6 ^ + etc. ] 

/•Td^ M-l-aCx . B + 3D . ,^ /2C4-4EN . ^ T. 

— ? I B ^ — Q— ïj ^ sm. a ^ 4- ^ un. 4 (J — [^ — ^^} •""' 6 ^-hctc. J ; 

ainsi ce développement ne présente aucune difBculté non* 
velle, et s'exécute par les mêmes coëfïiciens. 

A regard des fonctions de la troisième espèce , il sufHra 

de considérer la formule H = / — ; — ^-î-i. ~ : or , si on 
suppose 

H=M^ — N8in.2<^-+-Psîn.4^ — Q ain. 6 i^Hr etc. 

et qu'on différencie chaque membre , il en résultera une 
valeur de — , qui , étant comparée à celle de Farticle 49 > 
donnera , 

4_ 

n 



2P== — aN— M-H-^(B — N)t 



Mémoire sur les Transcendantes ellipti(jUes. 79 



4R=-6Q-2P-f-^(D-Q), 
etc. . 

D'où il suit qu'en supposant toujours A , B, C, etc. connus, 
il suffît de déterminer le premier coëfHcient M, pour eu 
conclure tous les autres, Or^ on a , par Tart 4^, 

-T-= 1 — -zn\ —r-;: -H . _^ o + —t-ôô -H etc. : 



On pourroitaussi déduire M de A , B, C , etc. , car on connoît 

1 +/2 siii.*^ 



la formule -—^-^4^= i -f-^ a cos. 2 <> -h 2 a*co5. 4 <^ -+- etc. . 



dans laquelle a =: ^[' ^^! . | • multipliant cette formule 
par -~ , et intégrant depuis <^ = o jusqu'à <^ ;:= 90^ , on aura, 

Mv/(H-/^) = A— 2BaH-4Ca*— 6Da^-j-elc. 

(52). Il neresteroît, pour faciliter ces déterminations, qu'à 
construire une table des valeurs de A et B^ ou de leurs lo- 
garithmes , pour différentes valeurs du module c ; ce qu^on 
pourroit faire aisément par les formuler (a). Il conviendroit 
de représenter chaque module par le sinus d'un angle, et alors 
le complément du module répondroit au complément de 
langle. Soient A et B les nombres du module sin. 6 , A' et B' 
ceux de son cotnplément cos. 6 , alors , suivant le théorème 
de Fart. Sy , on aura cette relation , qui pourra servir de 

vérification continuelle —j^i = 1 j-sin.*6 — ^cos.^0. 

Voici un léger essai de cette table , qu'il fauçlroit éiendre 
davantage, mais qui ne laissera pas d'être utile dans plusieurs 
occasions ^ et qui d'ailleurs a été vérifiée avec soin. 



8o Mémoire sur les Transcendantes elliptiques. 



ftlodulc. 


Log. de A. 




Log.dflA. 


Log. de B. 


od. 


: 


oooo33i 
oo<.,5a3 


Inl-. nég. 

5,i8o7i99 
e.iSag'pj 
~6;^5"354(.36" 
7,. 389540 
7,4936a6S 


90 J. 


Inf. po!, 
0, 5390755 
0, ',799075 


Inf. pc3. 
0,3399469 
0,3116870 


3 


l 


0003978 

0016860 


87 
84 
81 


o,44ii3'33 
0,3665934 
0,3164715 


0,1 7-, 191. 
0,0180 i75 
9-9'7549S 
9-81197 ■ 7 
9,7574305 
9,6576705 


18 


" 


00478-lti 
007^955 
0108184 


7.7470"'I3 
7.9453400 
8,1091576 


78 
7» 


0,1778878 
o,a46o56i 
o,iiS8a33 


a4 

^7 


" 


0147^59 
0194130 
0,46981 


8,1497638 
8,3734439 
8:4845561 
8,58fos88 
8,6799658 
8.7679334 
8.8iii53o 
8,95039.4 
9,ao;o45i 


<'9 
6li 
63 


o,i9499'(' 
0.173B101 
o,.548ii7 


9,5817. 3o 
9,5o83i3a 
9.436i9GS 


33 
50 





030G733 
0448034 
o53oi6o 

D(i 20766 
0730074 


60 


0,1376317 

0. "947747 
u,u8ï88ii 
0,0; 10074 


y,3658i78 
9.1954144 
9.iai854S 


5. 

48 
4S 


9,1 536. 34 
9.081188» 
9,oo70l5' 



Pour faciliter la construction de cette table, îl est boa de 
remarquer qu'ayant exactement A =^-^^ A", on a à-très- 
peu-près-^«=-^\/A*, et cette valeur ne pèche, en excès, 
que de la pel ite partie -^V <^"* ^- D'où il suit que l'erreur ne sera 
pas d'une unité décimale du j' ordre , tant que c sera au- 
dessous de sin. 62° 40' > et avec la correction on peut sup- 
poser c sensiblement plus grand. Or , comme la valeur de 
A se calcule par des facteurs successifs dont ^ J" • est le 
premier , on connoîtra immédiatement , par le calcul de A , 
la valeur do log. A*» , et ainsi on aura B d'une manière très- 
prompte . On peut aussi proHter de la méms propriété au -delà 
de la limite fixée; car on a également A = ^^7^. ^■^~- A»* , 
et de là il s'ensuit, avec encore plus d'approximation, 
— = ■^(1 -f-^\/A'"'), valeur qui ne tromperoit que de 
lieux unités du 8'^ ordre , si on avoit c = sin. 84''.Or , il n'est 






I 



Mémoire sur les Transcendantes elliptiques. 8 1 

pas nëcessaire d'aller plus loin , ni même aussi loin, parce 
que quand c est si près de Tunité , il y a d'autres formules 
plus convergentes , dont il est à propos de se servir pour 
calculer A et B* 

Un des premiers usages de ces nombres consiste à déter- 
miner les fonctions F i et E i par les formules F i =—' A, 

El =~A — ^c*(A4- B). Ainsi dans le cas où c nest 
pas trop près de Tunitë , on a à la fois F i = -f- (i H- c«^) A^ , 



Ao 



€tEi=:-^.— — ( 1 H-c~ — c~v/A.<>). Mais pour cet objet 



il est aussi court de se servir de la formule exacte 



^=T-7T^Li— -5 ^ etc.] 

qui est la même que celle de Fart. 5i ; mais sous une autre 
forme. Cette formule cependant ne seroit pas d'un usage 
commode , si c étoit trop près de lunitë. Dans ce cas b 
sera très^-petît , et il faudra se servir de la formule E i = 

1 -Hi^^^Oog. 4— T)H-Tr*'(log. 4 — f^) +etc.,formule 

que nous avons démontrée ailleurs , et qui meneroit très- 
promptement au résultat. Il est donc ^ propos d'avoir des 
formules semblables pour calculer A et B dans le cas de b 
très -petit ; ces formules pourroient se déduire de la valeur 
de E 1 , et des autres relations connues ; mais voici un moyen 
direct d'y parvenir. 

(53). Oxf, peut déduire des valeurs de A et B développées 

dans Tart. 49i ces deux équations B = A — 2 (i-^^)^ , 



dk 



c(i — c^)-j^^=^fKcdc.ljSi première fait voir comment B 
se déduit de A ; l'autre étant différentiée donne , 

(^-e*)^-»-^- ^-A==o. ... (Y) 

'■m 



••-.; 






82 Mémoire sur les Transcendantes elliptiques. 
Comme nous voulons développer A suivant les puissance* 
de è ^ il faut aubatituer dans cette équation \/ ( 1 — fe"* ) au 
lieu dé c, et elle deviendra , 

. ' <i— ^ )-?F-' r-"-5^ — A = o . . . .((5). 

Il arrive donc , ce qui est fort remarquable , que Téquation 
est absolument de la même forme par rapport à fe ou par 
À o; d'où nous concjuerons qu on satisfait à Téquation (^) , 

en mettant an lieude A la valeur A' = 1 + 7 fe^n- i^ t^H- etc. 

Cette valeur A' n'est pas celle que nous cherchons (puisqu'elle 
répond au complément du module) , mais elle y conduira. Soit 
A= A' ^ , la substitution dans Téquation (<5) donnera , après 

les réductions ordinaires , p = ^ / j7t-—^)1J^\ Développant 

cette valeur en série, et déterminant la constante a par 
la valeur* confeue de E 1 /on aura 

f-A=A'[log.-i-j-^^-ilM-^&«-etc.]. . .(e) 

Formule très -convergente lorsque b est très-petit, et qu'il 
conviendra d employer lorsque c sera au-dessus de siji. 80^, 
ou b au-dessous de sin . 1 o^. Dans la construction d'une table ^ 
on a cet avanftagé , que A' est déjà calculé pour un petit angle , 



:epetodànt Ift forme de l'expression 
connue , on trouveroit facilement , diaprés Téquation ( y ) , 

cette loi : 












y • 



Mémoire sur les Transéendantês elliptûfues, 85 

OÙ il faut observer que les fractions 5^ > 3^ » seront suîvieSi 

de — . ?^ , etc. Connoîssant A on aura B , soit par 1^ 

4. 7 > 5.9» ^ ^ 



formule 



2 



B = (A'+ ^ 4^^106. 4--- ~^'-^^^- etc.) -^^^ . .(,) 



( dans laquelle , à la place de A' -H 2 i -gy , on peut mettre 

^_^ ■ , ou sa valeur développée 1 ^~-« 5 i* '+"777^ 9^ etc.), 
soit par la suite 

Les autres coèfficîens C , D , etc. se calculeroht par les équa- 
tions (6) , dont Tusage est sur et commode dans le cas dont 
il s'agit. On voit au reste que la combinaison des équations 

(t)) et (£), meneroit directement à Téquàtion ^j^j^, = i — 

•y c* — ;^ fc% qui est le théorème de Fart. 3/, 

£nfm , pour parvenir à une relation d un autre genre , si 
on considère la suite des fonclioos F 1 > qui répondent à la 

suite des modules c" ^ c' , Cy c® , c^^ j dont le 

moyen c ==: sin. 45** , on verra aisément que les fonctions F' 
et F^ ont des modules complémens lun de Tautre , ainsi que 
F" et F«o , etc. On aura de plut F' == 2 F^ , F" = 4 F<>^ , etc. 
De là et des formules précédentes , il suit que % est égal à 

la limite des quantités log. -4- , 7 Ipg. -^ , 7 log. -^4«- , etc. , et 

dès le 6® terme cette approximation équivaut à cent décîr 
maies au moins. 

De la surface du cône obliçuç. 

(54). Soit le rayon de la base = 1 , la hauteur du cône =y, 
la distance entre le centre de la base et le pied de la perpen- 

L a 



\ .. 



84 Mémoire sur les Transcendantes elliptiques. 

diculaire ==é^> Tangle au centre entre la ligne g^ et un rayon 
queIcon(iue = o , la partie de la surface du cône qui répond 
à Tangle o sera , 

* 

Pour réduire cette intégrale à la forme ordinaire, faisons , 

<^o«- « = jîS^. ou tang. ^ o =. v/ (f^S) tang. ^<^. et 
prenons l'indéterminée ot, de manière quey^ ttH- ( 1 — m^ 
(m — ^) = o, ce qui donne 

■ 

faisons de plus , c* = a^"^^^' , , nous aurons la trans« 
formée , 

^ — 7(1—'» j'V Ki;:) / (i-f.i„co<.<^)> ' 

formule où m est plus petite que l'unité , comme il est 
nécessaire pour que ^ soit réel , et où on peut remarquer 

que v/ (— ) est la moyenne arihmétîque entre la plus grande 

et la plus petite distance du sommet à la circonférence de la 
base. 

Si on fait maintenant pourabréger, C =7 ( 1 — ot^) " Z y^ 1 
on aura 

— m A tin. <^ ^ m J f cet. <p , >• d p " /> g*êîn.*^ ^^. . 

"" 1 H- 7» COS. ^ ""^y (i — m* cos.*^) A «^ ( I -^m'coi.*^) A «^ A 

De ces trois intégrales , la première se réduit à un arc de 

e sîn. (p 

cercle ; car, soit tang \ = \./(y ^\ > l'intégrale sera 

I 

y ,^ ^^a \ mV A- Si on fait ensuite , ^^^, = /i , quantité 



f. 



Mémoire surles Transcendantes elliptiques. 85 

positive , les deux autres intégrales pourront se mettre sou6 
la forme^ 



Soitdonccoimneàror<iinaire,E=/Aj<f,H==/f^^4^. ^^, 
et on aura, 

Z =-=J!îA2ïïii Iv^jîî ^.E + If. 

Dans le cas du cône entier , on aura*simplement Z = 4 1^ i 
H-4Hi. 

La quantité H est une fonction elliptique de la troisième 
espèce, qui ne peut se ramener en général aux fonctions 
de la seconde ; ainsi la surface du cône oblique est une trans- 
cendante supérieure aux arcs d^ellipse ; mais elle est comprise 
dans les transcendantes elliptiques , et elle jouit par consé- 
quent de leurs propriétés , c'est^-dire , qu'on peut comparer 
une infinité de portions de cette surface , de manière que 
leurs différences combinées soient déterminables par des arcs 
de cercle ; car à cause de n positif, les logarithmes n'entrent 
pas dans ces comparaisons. 

On peut assigner une infinité de cônes obliques dont la . 
surface soit déterminable par arcs d'ellipse : il faut pour cela 
que n soit égal à l'une des fonctions de c, au moyen desquelles 
nous avons trouvé que la fonction H peut s'abaisser à un 
degré inférieur. La valeur de n devant être positive, le cas 
le plus simple est celui de i!i=c, qui donneroit^=\/ (c-Hc*) , 
y=:v/ (c — c*) ; de sorte que si on a entre les lignes, y^ g', 
et le rayon de la base i ou r, l'équation 



là surface partielle ou totale du cône pourra se déterminer 



. 86 Mémoire sur les Transcendantes elliptiques. 

par les arcs U'ellîpse ; on trouve par exemple que la surface 

totale =-^-H2Ei — (i — c)Fi. 

Le développement de la surface du cône oblique sur ain 
plan , produit un secteur dont Tangle se détermine par la 
îoTmule 

V 

ou par sa transformée 

S = v/ ( -^ ). ( 1 — w* )^y AJ» 

^ \ m y ^ '•/i-f-/t sin.* ^ 

Cette quantité dépend donc toujours dei mêmes transcen- 
dantes ; mdis elle est un peu plus simple , parce qu'elle ne 
renferme qu'un seul terme qui ^e rapporte aux fonctions 
elliptiques de la troisième gspèce. Dans le cas particulier 
dont nous avons fait mention , Fangle total du secteur seroit 
rtH-2(i — c)Fi. 

De quelques formules générales qui peus^ent se ramener 

awjç fonùtions elliptiques* 

(54). I-'a nature des transcendantes elliptiques étant con- 
nue et approfondie , il importe de ramener à ces quantités 
le plus grand nombre de formules intégrales qu'il sera pos- 
sible. Comme la multitude en est infinie et aussi variée que 
les substitutions qu on peut mettre en usage , nous nous 
contenterons d'indiquer quelques cas où cette réduction a 
lieu. 

1^. On peut réduire aux fonctions elliptiques t intégrale 

/ v^(^-Hc/-^yx>-f.crx-} ' ^^'^^ laquelle P est une fonction ra- 
tionnelle de X. 

Car si on fait o;^ = z , on pourra supposer P = M -H N }/z , 



Mémoire sur les Transcendantes elliptiques, 87 

M et N étant des fonctions rationnelles àt z^ et Tintégrale 
proposée deviendra, 

■ 

dont les deux parties sont comprises dans les formules ellip- 
tiques. . 

Vdx 

ao. Toute formule f ^ (^n-C^'H-y^O ^^^ laquelh P 

«f une/onction rationnelle de x , peut se ramener aux fonc-- 
tions elliptiques. 

Car on peut toujours faire P ==:MH-Na:, MetN étant 
des fonctions rationelles paires de x. Considérons la partie 

N x d X 

etfaisonsv^(aH-6a:*^-Y'^) = ^)C®î^ donne 



X* 



*y 



il est clair que par la substitution de la valeur de a:* , ^xdx 
ne contiendra d'autre radical que v/C^* — 4^y"+*4y^'^); 
donc toute la difficulté se réduira à intégrer une quantité de 
la forme. 

Qx*dz 

dan's laquelle Q est une fonction rationelle de JS^ Quant u la 
partie 

VLdx 

si on fait ^(a-j-6ar'-HYx^)=x^, onaura 



a(y— ^») 



d X ^n^^ydjr 

^^^ v/(C' — 4«y4-4-*y)* 



88 Ménioire sur les Transcendantes elliptiques. 

d'où Ton voit que la trtnsformëe en y contiendra encore une 
^ partie entièrement ratîonelle , et une de la forme 

' '^y ày 

R ëtant une fonction rationellede^. Donc la formule pro^ 
posée est toujours réductible aux fonctions elliptiques. 

5®. On résoudrait absolument de la même manière 
la formule fV d X yy {(x-^f> x^ -\^y x^) ^ P étant une fonc- 
tion ratîonelle de x. 

Ces deux cas comprennent la formule /V dx{a^^tx^ 
^-y od^)±\^ et aussi la formule^Q dy{9i H- 6^-+- y^*)— ^i 
où Q est une fonction rationelle de^ ; car en faisant^ =a:*, 
cette dernière retombe dans les deux autres. 

4^. On peut réduire aux /onctions elliptiques la formule 
/]?dx{a H- 6 a: -H y X* -H Ja:^)±î, V étant une fonction 
rationelle de x. 

Cette réduction peut sefaîrede plusieurs manières; d'abord 
on peut faire Tune ou l'autre des suppositions 






6x 
6 



y a;^ H- <5 x^ ) = a: \^ <î 



xz^ 



A 



et les transformées en z seront comprises dans les fonctions 
elliptiques. On peut aussi faire disparottre à volonté le coef- 
ficient a ou le coefficient <î sous le radical ; îl faut faire pour 

cela x=z m. -+•/ 1 ou a: = m 4- -y , et prendre pour m une 

racine réelle de Téquation an- 6;/n-y/7t*-H (î/n^=o. 
Supposons qu'on a fait disparottre de cette manière è , alors 
on fera y?^ (^-H dx -+- y x*) = z , ce qui donne 



et en substituant cette valeur dans la formule proposée , 

toute 



I 



J^fémoire sur les Transcendantes elliptiques ^^ 89 

toute la difHcuItë se rëduîra à întëgrar une différentielle de 
de la forme .,., ^ *^^ — ît , O ëtant une fonction ratîonelle 

de z. 
S^. On peut réduire aux fonctions elliptiques la formule 

f y/i.^i.^y.^J'lJ^y.^^Z.^^.a^^ ^ P ^^«^ unc fonction 
ratîonelle de x. 

Car si on fait a? + i =s jpz, cette formule deviendra 
d abord 



p «""«</-« 



T7] 



/Y X mtt-X 

ensuite la valeur de Xy qui est 7Z rb7v/ (a' — 4)î ^t^nt 
substituée dans P , il est clair que le résultat sera de la 
forme M zt N ^Z (z* — 4 ) , M et N étant des fonctions ratio- 
nelles de z. De plus, on sl x -+- 1 =a:îv^(z-H2),a: — 1 
=: ± x^\/ (z — 2); de là résulte 2 jC^ss vl (^ •+* ^) 
y/(z — 2) , et • 



â: 



_s 



»dx 



\dg iJs 



v^CsH-a) -T- y^C^—a)! 



'donc la trailsfôrmée en j^ aura tous ses termes intégrables 
par les fonctions elliptiques. 

6®. Enfin on peut intégrer de même la formule 

/ viC4-y/--^y-^yy+Cr) > ^ ^^"^^ une fonction rationelle 
dey. ' 

Car si on fait P = M + Ny , M et N étant des fonctions 

paires de j^ , et qu'on appelle le radical R , la partie —^ren- 
trera dans le cas précédent , en faisant a =0 etj^* = x. 
L'autrepartie— ^^-^se réduit pareillement ' à une fonction 
eBiptiquei en faisant j^ = x. 



M 



gô Mémoire sur les Transcendantes eUiptii^nef» 

E X E"M P L E. 

(56.) Soit propose d'intégrer la différentîello 

On fera y^ ( i — 5xx) = i — -~ , ce qui donne x = 
-p (i-Hjsz) ^V^( '^'^H- 2-2* — 7) > et la transformée sera 



dn 



J(i— s*)</« 1 3«^-+-t </« 



(i-*-«')(5*'— a>/3* 5«*-f-a«*— r v'cS^^-i-e*"— !)• 



La première partie est rationelle ; la seconde semble devoir 
se décomposer en deux fonctions elliptiques de la troisième es- 
pèce^, à cause des deux facteursdu dénominateur 3z*H- 2Z* — 1 . 
Mais en examinant la chose avec plus d^attention , on trouve 
quen faisant v/(3z*H-6z*— i)=pz, la seconde partie 

de la valeur de J II dçvient — ^--W. -^"Z* Ainsi la différen- 
tielle proposée peut être intégrée absolument sans fonctions 
elliptiques, et elle se réduit à Texpression rationelle , 

Une pareille simplification aura lieu en général pour la 
ibroiule 

car si on fait le radical =z p z, cette formule deviendra 

fpTZjZir^ î réduction assez remarquable et analogue à cplif 
des articles 38 et 3g. 



r 



Mémùire surlèf Transcendantes ellipd^uèt: 9 s 

Des transcendantes contenues dans la formule 

s 



xP-^^dx 



^— , qu^on suppose intégrée depuis 



X = ojusquà X = 1 . 

(57). Euler a considéré cet transcendantes dafts le chap. IX , 
tome I de son Caloul intégral , et il en a démontre un grand 
nombre de belles propriétés. Désignons avec cet auteur 

la formule dont il s'agit par le caractère [— 1 i ce qui est 

commode pour comparer diverses formules de ce genre , dans 

lesquelles n est le même ; nous aurons d'abord f^ 1 = P -2-1 ^ 

première propriété , qui fait voir que les nombres p. et q 

peuvent s'échanger Tun dans l'autre. On a ensuite |[ fi^tJîj ::^ 

-?— . r^^î d'où il suit quô les formules [-^1 peuvent 

toujours se réduire à des formules delà mé^le nature , dans 
lesquelles ^ et ^ ne surpassent pas n ; ainsi on pourra tou- 
jours supposer queyc^.et q ne surpassent pas /i. Dans le cas 

de ^ = /î , on a exactement f -y 1 == ~ , et dans le cas àep 4- q 

= n , rintégrale [ ~- 1 ï^^ dépend que du cercle , et on a gé- 
néralement 



["-^] = [^.] 



n Bin. 



tf AT, 



n 



£<{uation (0 



(O 



(3) 



(4) 



Ces deux cas sont les seuls où Ton puisse déterminer exacte- 
ment la fonction [—1 ; toiis les autres offrent autant de 

transcendantes supérieures aux arcs de cercle , et il s'agît 
de réduire ces transcendantes , pour chacjue valeur de n , au 
moindre nombre possible. On a pour cet effet Téquation 

générale [-^] [^] =-[C] [^7^] > q^" ^ ^^^ ^^^^^ ^^^ (5) 

M 2 



f yk:v/^h^ Afc4-xwa^â^^#iii^-M ^ l^ h^^ ^^J •'f^ ^^ 



^ Mémoire sur 1^ Transcendantes elliptiques. 

soient^, ^^ r^ et quî en fournit plusieurs autres, attendu 
qu on peut renverser clia][ue expression. Par le moyen de 
cette équation , on peut, pour chaque valeur àe n , former 

un tableau de toutes les valeurs de [ ^ 1 , où il ne restera à 

déterminer queles transcendantes [^-7-^] , L~T"] » C "T^l» ®^^* 
dont le nombre est y — 1 , si n est pair , et ^-^ , s'il est im- 
pair. Nous renvoyons pour les démonstrations à F ouvrage 
d'Ëuler. Voici maintenant quelques autres résultats sur le 
même objat. 

(58). Suivant Féquation (5) on a [-£-] [j;££±^]=== 

Multipliant ces deux équations , et mettant les valeurs con- 
nues par les formules (3) et (4) 1 on aura 

:tsin. (p-^q) — 

(6> rjLirinfisss 

n{n — /^ — ^; sm. ^--sm. -2 — 

d'où il suit que la formule f^^^l peut toujours se détermi- 
ner par la formule [ ^1 , qui en est en quelque sorte le com- 
plément. On a en particulier 

(7) r^lrj^]:- 2?CC0t.i^ 



(8) 



n {n — 2 a ) 



[^^][,-^.] 



su*'* 

/itfsm. — - 



L'ëquation ( 5 ) donne encore [ ^ ][ J±^ ] = [ lt_ ][■_:. "1 
ou en mettant les valeurs connue^ 



^/isin.^' 






^ \ • • 



i^î 



\ 



JHféhiùireiur Us Transcenâànfes eU^tiqu0Sf qS^, 

U résulte de celle-ci 



[x][^.] 



ansiji. 



a IF* 



(10) 



€t combinant ce résultat avec Téquatiôn (8) , on aura : 



[f] = i"^]- ^ «»• 



a tr 



(n) 



D'oui on voit que les formdes[J^,[?:^], [=^], peu- 
vent se déduire immédiatement de [-f-]' 

(69) Venons aux transformations par lesquelles on peut 
connoitre plus précisément la nature de ces fonctions. La- 
substitution 1 — a^=ny conduit à Téquation (1) ; la subs- 
titution 1 — a:" = x" z** donne une Ëransformée rationnelle 
lorsque p-^ç^zn^ et il en résulte Téquation (4) : dans 1^ 
cas où n est pair , et où Ton a /? -+^ ^ ssc 7 /» , cette même 
substitution donne la formule 






laquelle doit être intégrée depuis zt=o jusqu'à z 

n 

Pour obtenir d'autres résultats , supposons 1 — x"= -^ , 
o\ix^=:^zt:i\/ (i — z**), on aura, danslectsde/r=^=:a, 

a a a— i . 

la transformée ih tTIC f— -^; et par rapport aux li- 

miteSi il faut observer que a: = o donne z = o , a:'» =7 
donne z = 1 ^ et x = 1 donne z = o. D où il suit que l'inté- 
grale doit être prise deux fois depuis z= o, jusqu'à^ = i. 
Ainsi , comme on peut mettre « à la place de z , on aura 



ri«) 



[4] 



2 n 



f 



a «- 1 



du 



^/(|--*''/ 



<i3) 



A 



^4 Mémoire sur les Trameenldantei èlUptiquèf. 

' Delà on tirera les valeurs successives de [-j-] > \~\ i [-|-3 y etc. 
sous* une forme assez commode^ et ces formules peuvent 
remplacer celles dont nous'avons dît qu^Euler se sert pour 

•exprimer toutes les valeurs "de [— ]• En effet, dans le ta- 
bleau de toutes ces valeurs , formé à la manièi:e d'£uler . oa 

trouvera facilement que les formules [^--j^J » t"T^] > ^^^*' 
peuvent se déterminer par un égal nombre des formules [— ] / 

CtI ' [y]^ etc. <;h*, celles-ci sont maintenant réduites à 

la forme la plus simple dont elles soient susceptibles. 

Remarquons que les équations (7) et (i3) combinées, 
donnent , 

(.4) - y^(j__^)Xy^(^_^^~_____jL. 

• Sî/i étoît pair, et quon eut/i — y = 7», la mémesubs** 



n 

z 



(i5) 



titution de i — x'* = — - , donneroit cette formule : 

2 I =: 2 w / —7^ 'x — r == 2 n f —jTZ r* 



,< 



£t dans le même cas de n pair , on auroit directement-, sans 
substitution , 



» i 



a:* — » rf 



r « 1 -a:»-' aa: 



Supposons maintenant 1 — x** = ^ 2^ x* '* , ou a:-^ » = ~ 

-H 7 i/ (.1 -+- z" ) , on trouvera, dans le cas de p + 3 ^==/ï 1 
cette nouvelle formule , ... 






*.. 



\. 



qui doit être intégrée depuis z ==^, jusqu'à i = oo, et qui 
suppose a < 7 n. Cette formule n'est pas moins simple 
que la formule (i3), et elle peut servir au même usage ; 
car si on la combine avec Téquatîon (ii) , on en tire, 



K] 



i — 



%a 



a-jt 



~ COS. -f / 



ï*- » dz 



Il faut donc qu on ait gënëralement , 



(«8) 



/ 



y/ ( 1 — X») 



COS. — / 



z'—^dz 



la première intégrale étant prise depuis Xi=:o , jiisqû^à ir =î=: i , 
€t la seconde depuis ^ = o jusqu'à z= oo. J observe, à Fégard 
de cette équation, que si n est impair, et qu'on fasse x = i — -^ 
dans le premier membre, etz=y* — i dans le second, lïm 
etl'autre se réduiront à la même formule ; savoir : 



c 19) 



/ 



(i—yy-'dy 



^/[« 



/i. n — I 



r- 



n. n — X . n -* a 
I"3 



y^— etc.J 



Cette intégrale , dans le premier membre , est prise depuis 
^ = o jusqu'à jr =: 1 , et dans le second , depuis j^ =?= 1 jusqu'à 

y =00. Donc ces deux parties sont entr'elles 1 1 cos. ^l 1. 

Au reste, quel que soit n paîr ou impair, la ibrmnle (19) 
venant de la formule (17) , suppose a <^ 7 n ; car , d'ailleurs 
si on avoit a = , ou>7 n^ le second membre devîendroit 
infini; et pour que l'équation eût toujours lieu, il £iudroit 
la mettre sous la forme 



a:'»—* d X 






jB«— 1 dz 



tt'-in^ 



Z") 



'"''dzj: 



(»o) 



eequon troureroit par la dernière substitution , en suppO" 
saut ^ -^- 2 ^ = 2 72. De là résulte la manière d'^valuff 



(ai) 



96 Mémoire sur les Transcendantes elliptiques. 

rintëgrole du second membre ; car, au moyen des équations 
(14) et (19), on trouve, a étant > 7 /i| 

v/(»+«'') lv/(i-t-^'0 ) n(aa— i^)sm.-^ 

(55). Lorsque n est impair, le nombre des transcendantes 
nécessaires . pour déterminer toutes les formules f^l , ne 

sauroit se réduire au-dessous de ^-^ : lorsque n est pair ^ 

ce nombre peut se réduire à -• ou '^-—'. 

£n effet, par la combinaison des équations (12) et (18) , 
on trouve, 



I-" 



(aa) 



[i]=.'--co..S[i;^]: 

Or , la formule [ '""J"* ] , qui est là même chose que [ . ^ "i > 
ne présente de valeurs différentes qu'un nombre — ou ^^^^^ 

4 4 

Cette dernière équation donne, en mettant 7 /» —a à 
la place de a , 



t aa 



[f^:]-=--.i».^[5^,]. 



et ainsi on a directement 



{3Î> 



[i]=^>-Vcot.i?[ii=-:], 

« 

d'où Ton voit qu'il suffit d'avoir les valeurs de F — 1 , dans 
Its seuls cas où a ne surpasse pas 7 n. 

Si 



r 



-'- J8idanj|^ëcpieaidn( iB^toxunet i^/i-^âk à là plaçede a\ on 
ftura 

(*4) 






• «V 



îik[uaUon qtii tirailleurs se wénde immëdiatement^û mettant 
•■yi^ 1% pJ^^^.i^®,^ > dans le jrepwçr m^l^re : elle supposp 
toujours a <^^n. De là et de Téquation ( i g ) , on tirera cettp 
mBtnLégkMé , qui n'est pas aussi' ëvideAtê. . r 

Çfftr^TéwXxm g^rauit yoint répandre un» .grand j^ur suf Jet 
exemples particuliers. ( Voyez ïouvrag/i cUéiTEulcr^ article 
9q2 et s^i^àHs). '- ■ - -- ' r'- A .'■■'■ '-■■ I *..!ii{. -1 

(6o). Epcemple I^. Si /^ =; S| la seule transceQdante re- 

- - tst • 



' . V \ . .. i. i . . . ^ '...'"".,■• . ' ' : ; ■ • 

et 8$i yalénr , qaV» a dëjà trouvée dan* Tartiicle 55 , est - 



/■ 






[T]=!fc:F.c=.^F,j, 



i«4 . 



le module c ëtaarsîn. yS^ , ou ^ ëtant sîft.' i5o. * 
jExemple IL Si n=i ^^ il suffît de la transcendante 



dx jt dz 



» • - ■ ■ - 

dont la yalétit e«t F 1 9, ç étsgsA -n^ > ou si^^^^"- 






•1^ 



, c 



gS Méhwire sur les Transeehdahties eU^dqnés, 

Ejsemple III. Lé cas de i» ss 5 df£re les deux traiiaoa!l< 
dantes 



[t] =^'/ v^(.I,»> =a^ C08. -f-/ ^^.^^) , 

t]=^ /7rr^ry)=^^ COS. t/7(TT7)Î 

mais dles ne paroissent pas réductibles aux fonctioiii ellip* 
tiques. . .. ' 1 . .. 

Exemple IV. Le cas de n = 6 o£fre la seule t^raoscea*- 
dante 

r 

La première forme; en faisant -p-=: i -t-jc*^ dônnerk pour 



5/ 

résultat [ y ] = -^. F i i^ , le module ft étant. sin. 16^. La 

seconde forme, en faisant -|r=J^* — 1 , donneroît pour ré^ 

sultat [ ~ ] = 2^ COS. -f- F 1 c , c étatft sîn. 7$^ Ces deux ré* 

sulrats devant revenir au même , iXÏBXiX donc qu'on ait ^ 1 c =s 
v/3F 1 è, comme nous Tavons trouvé dans làrc 56. La 

transcendante [ -j-l étant ainsi connue^ on en peut déduir» 

les deux dont £uler se sert pour déterminer toutes les autres; 
elles seront 

> 1 A ^^- ' . ' • • • . I ' ■ . - I ■• . 

Exempte V. \jà cas de »= 8 offre les deux frânscendanltea 



llfémôiremrté$Trimsetn3an}esêWpti(fuèi. 9§ 

Xftseconde, en mettant x^ à la place de x, dévient 2 */ ;/(; IxV 

r 

et aînsî sa valeur est [y ] = 7 F 1 ( ^ ). Pour évaluer la 
formule [-^-1 nous choisirons la seconde forme, et faisant 
ip z^ , ce qui donne z = 7 \/ (/^ -+•,2) ^^i^ V^ C/^-*"^ ) > 



nous aurons par la substitution 



1/5 



±dp 



• Ci4-«') v/(/> + a)V(/^ — a) 



f ■ * 1 JJJ! ! ti « 



Ces deux parties doivent être- intégrées deux fois , fdepms 
p = 2 jusqu'à p =zco^ et comme dans chaque intervalle 
elles sont de signes contraires , il suffira de prendre le dou- 

Ue de la plus grande partie et d'intégrer ^ ( ' /;. ^ < p^ ^T) ^ 

depuis ^ == a jusqu à/J^ = 00. 5oit /?. =• a -H y* , on aura 
donc , 

.. . ^ I . . i: , . ..•!.;,:.. .^. '').): : 

les limites Je ^ étaiit <)[ ^t^c^^^ pour abréger, 

= /» cot. <f , C*=: 2 v^ a 



v/(2-f-v/;a) 



2 C08 . -^ j û 



2, et U transformée ^ra -i^ ^//.^j,;.,t^x 1 dojçit Tinté, 



grale entre les limites requises , est — F 1 c. On peut re- 

marquear quele module c a pour complément ft = v/ 2 — 1 , 
de sorte que la fonction ellîptique qui se rencontre dans 
ce résultat y est celle que nous avons déjà considérée dans 
Tart. 37 , et qui a des propriétés particulières. On aura en 
conséquence r ^' 

Si on fait maintenant [-7] = M , [y] == N , on déduira de 1 ^(h 

ces valeurs connues , celles des trois transcendantes qui sont «^^ 




zjFtCz^'fti 



Na 



nécessaires dans la méthode d'Ëuler pour former le tableau 
des valeurs de [—1 1 et on aura 



ItJ~ a C08..f . L J-^^^ > L3J- ^— M. 



Exemple VI. Le cas de n == 10 dëpend des deux seules 
transcendantes 



/^ -• 



■• 



• ■ ! ' . • • •• . • . ! ■, 

\ f Car t suivant Tëquation ( 22 )^ ces deux valeurs suffisent 



l» ••• 



(\ pour déterminer toutçs celles de [-^]. Or, [-|-] ou [y], est 

* 



n > 



• t I 






atifôi représenté par/* TTT+ït^ »^* en mettant z* à la place 
de z , dans cette valeur , ainsi que dans celle de [-^1 > les deux 
transcendantes dont â s'agit -seront , -' . '^■ 









Elles, sont les mêmes que dàifs le cas,de/t.= 5. En général 
le cas de n ±=x^ 4 ^ •+• à se râiAénefa toujours' i celili de" 



^ " W ^ ^* ^* Exemple, J^IL Enfin nous examinerons le cas de i»=: la.^ 



! -ïviî i a'J 



7 . •<' dépend des trois.formules 



qmabl< 



» 1- 



La formule [ 4^ Jou [ -^J est aussi égailè à/ ^^f;^'^..^ , et 



i ' ^ elle se réduit à ^f ,,'j -. , en mettant « à la place de z*. 

' r ■ Jpe ménae îâ te [ ^ ] , en mettaxit z à la place dez' , se 



.', » i. 






rëânît à j/ v, ^^^ ^ ; ces valeurs étant connues , on aura 
d-abord 

[4] =t/7<^- f;; "'<«='!"• '5°) 

, [t] =î/7<^ = tF' (« = •!»• 45°). 

I 

n reste à déterminer la formuley* . ^^ ^, 73» Pour cela soît v 

1 -H z^ =^z*, la différentieUe à int^er devîejidra , 

et on trouvera , comme ci-dessus , que tout se^éduit à intégrer 

le double dé la seconde partie, depuis /? = 2 jiisqa kp =:co. . ^^ j%^ ^ ^ 1 

Soît //= a^ , on aura donc fc t^* 



I l.*4 




Soît p=zq^ ^ on aura donc 

Si on fait maintenant ;?i^ = 1 2 , et ^^ + m*s= ^*^ , ce qui ^ ( f "** 1 • 

donne 2 ^ = y/ (/^- 2 ot ) -H v^ (jr — 2 ot) , on aura pour ^ vhfi^'i**''^* ^ « 1^ 
transformée , ^ , • # £ 

dont les deux parties doivent être intégrées depuis^^= 2-4- v/5, 
ou y* = 2 //i"* -H 7 , jusqu'à j^ = 00. Soit 2 + y/ 3 == /^ , 
y^zni=^3i^^ la première partie deviendra 

/. ii* 



V' (•* — a m — «). v' (X* — am-f-/i)* 



Enfin,.oita:^î^etc« = "-^, ouc=^Wi, et la 
dernière transformée sera ^^/-^j^-I±^- , dont la va- 

> 




l^i'- 



r r 



•5 



^>V 






loa liîimàire sarles TrmueendëntsBS èlliptufuésJ 

leur entre les limites requises est ^^^^ F i c , ou ( / ""* ) F i c.\ 
Pareillement j si on fait b = V^4H- y/s ^ Tintégrale de la 



V3— I 



»-f- v/s 



seconde partie en j^, sera Q^ - ' ) F i ^ ; et nous désignons 
le second module par b^ parce qu en effet on a ^*-h c*=: i 



et qu'ainsi ils sont complément Tun de lautre. On aura 
donc y 



[4]=/ 



dz 



ys-^i 



(^L£izi)(Fi*H-.Fic); 



Or il arrive, par rapport à cesfonctions, qu^on a exactement 
Fiè = 3Fic, la valeur de [y j se réduit donc à celle-ci : 

[y] = (v^3 — i)Fic;et comme c est très-petit, cette 

fonction sera très-facile à évaluer. D où Ton voit que le cas 
de n = 1 2 est encore résolu complètement p^ les fonctiona 
elliptiques de la première espèce. 



FIN. 



«• 



• "•..,/ i 4^* 



I -»4l.Jt lit "VV^ 



/ 






/ 



V.A\v-.V\..'o - M^ ■ 

DISSERTATION 

SUR 

LA QUESTION DE BALISTIQUE 

PROPOSÉE ' 

PAR 

L'ACADEMIE ROYALE 

DES 

SCIENCES ET BELLES - LETTRES DE PRUSSE 

POUR 

LEPRIXDEtySz, 

QUI LUI A tri ADJUGE DANS L'ASSEMBLÉE PUBLIQUE DU S JUIN. 

Par m. le GENDRE, 

iRcien Profèneur de Mathématique! k l'école rojrale militaire, 
\ Pariî. 




à BERLIN 

CHE2 G. J.<t)ECKER, IMPRIMEUR DU ROL 



•r» 






*W«»rt«#>HJ«fW(#M*j»e^«M*jflr(^#>N»îOfw>fUOcv<»*»e»*(^ 



RECHERCHES 

soa 

LA TRAJECTOIRE DES PROJECTILES 

DANS LES MILIEUX RÉSISTANS. 



— ^ — Tultuluur in altam 

Ut lapfu graviort ruant, ^ — ^ 

^ J\ £| Bv^TOH e(l le premier qui aie fait des recherches fur les tra- 
♦jjijggjggg* I jeâoires dans les milieux rcfîftansi il affigne partîculieremenc 
celle qui a lieu dans l'hypothefe de la réfiftance proportionnelle i 
lafimple vîceflè; maisilnedonneque des approximaiioiis aflez groffieres pour 
la trajeâoire qui a lieu lorsque la réfiftance eft proportionnelle au quarré de 
la viteflè. S'il n'a pas donné la vraie conftruâioD de cette courba , c'eft 
iaiis doute parce qu'il Ta jugée trop compliquée pour que la pratique. en pûc 
drer quclqu'avancage. Car il o'cft pas à préfumer que ce petit problème 
d'Analylè eût arrêté l'inventeur des nouveaux calculs. Quoi qu'il en foir, 
l'honneur de la découverte cft dû à Jean Berooulli, qui en a public une Ib- 
lution générale , en fuppolânt la réliftance comme une puiflance quelconque 
de la vîceilè. Loog-tems aprè<:} M. Euler a repris la même qucftioo dans 

Ai 



4 Dissertation 

i r 

t I 

ks Mém. de TAcad» de Berlin pour Tannée 1753; Ton but eft d'appliquer 
la théorie à la Baliftique, 6c il propofe pour cela des moyens fon ingénieux. 
Dans les Mém. de la même Académie pour l'année 17^5 & ailleurs, an 
trouve des recherches fort étendues de M. Lamberf fur le même objec 
M.leOievalier de Borda dans les Mém* de TAc. des Se. de Paris pour l'année 
176^^ a traité cette queftion avec fon élégance & fa fineflè ordinaires^ 
d'après l'idée de Newton il fubAicue à la vraie trajcâoire celle qui feroit dé- 
crite en vertu d'une denfité très peu variable , ôc il obtient par ce moyen 
une approximation fort (upérieure à celle de Newton. Enfin M. Bézour, 
dans fon Cours d'Artillerie qui a paru en 177^9 a fait une application plus 
particulière dos méthodes qui lui font propres, au jet des bombes ôc des bou- 
lets. Tels font les principaux auteurs qui ont écrit fur cette matière* Heu- 
reux fî, en profitant de leurs découvertes^ javois pu remplir les vues 
de l'Académie! 

Êqi/ation de la trajeEtoire. 

Fîf . «. a . rappelle l'angle de projeâion FAV - - * 

La vîtcflc de projeâion - - - ^^ 

» ^^ 

La hauteur due à cette viteilê - * A 

La gravité ou la vîtefie qu'elle imprime dans une féconde g 
La vîtefTe à un point quelconque ^ -- ^ u 

La hauteur due à cette vîtefTe - * * { 

L' angle que fait en M la direâion du mobile avec 

l'horizon - - - ^ ^ 

L'élément du tcms - - - dr - 

Puis à l'ordinaire AP ZZ x^ PM HZ y, A M ZZ s. 
La réfiflance du milieu étant fuppofée proportionnelle au quarré de la vitefle^ 

je la repréfcnterai par — où -j-g. La quantité k défignera la hauteur 

due à la vitcilè avec laquelle le mobile éprouve une réfiftance égale à foa 
poids. Si le milieu eft d'une denfité uniforme , /: fera confiant; mais fi 

la denfité eft variable , — fera variable auffi & proportionnel à la denfité* 



SVK £A QUESTION DB BA£ISTIQ>UR ficC. ) 

5* Cela pofé, la force retardatrice en AT fera î^ • — fuivant P-^, ôc 

[ t i ' '' ' 

— . — 4- /^ fuivantMP. On obfcrvera que dans cette dernière force 

%k as ^ . 

I — Y J g^, fi la denfitë ^ du fluide 

étoit comparable à la denfité^ du corps. Mais dans le jet des bombes & 
des boulets , on peut en toute fureté négliger -y. On aura donc fuivant 

les principes de la Méchanique 

d T-^ = — -.^ At^gAt. 

\àtj 2k Ai ^ 

Faifant dj ZZ /idx/ & fuppolant àx conftante, ces équations devita* 
dcont 

Axàp n — gàt^ 

kddp m dpds. 
La (êconde eft Téquation de la trajeâoirc ; l'autre donnera la viteflè & le 
tems de mouvement. 

4* Nous fuppoferons que la denfité -7- eft confiante^ & dans cette 

hypothefe l'équation kddp ZZ dpds aura pour intégrale —zzAc^ • 
Four déterminer la conftante^^ on prendra Féquation dpdx zz — gdit^ 
qui donne — zz -— - 7-^' ^ comme au point de projeâion la vsteilê 

horizontale — ZZ Kcof^, on aura ^ — — v,^ ^^. ZZ — ^ ' ^^ « 
Donc 

dp • ■ € 



dx aAcof»^' 

Go aura en même tems la hauteur diie à la vitefle en M 



s 



e * 

cof » (p 

A 3 



6 Dissertation 

f . L'équation diff^ndellc qu'os vient de trouver étant muItîpEéc 
par ds 6c intégrée donnera 



s 



'-^ LpVit + pp) + i'(p +V(t + pp))l 



d'où réfultera, en éliminante ^ & féparant, 

àx — dp 



On en concluroit :auffi la valeur dcpdxoudc dy. Msàs malheureufemeot \ 

ces formules ne font pas intégrahles ^ âc ne fe prêtent pas même aux appi9« 

■ ^m ' " . . • ■ * • 

ximationS) u ce n'e(l dans un très petit nombre de cas. 

6. Si le milieu ne réfîftc pas, ou du moins (i la vîtefTe de projedioB 
efl affez petite pour que — (bit confidérée comme nulle, on aura dx zn -r 

« 

%h coC^Û .dp. Donc/)= tangtf — ■ . ^ & y n: x fangl 

— - 3 . . Équation à la parabole, d'où Ton déduit la hauteur du jet n 

A fin * tf , & fon amplitude zz 4 A fin ^ cof ^. 

7» Si la réfiftance du milieu (ans être abfolument nulle efl afiêz pedtBi 
tu égard à la vitefic de projeâion , pour qu'on puific rejetter les puiflàncei 

dé -r (upérieures à la première , on aura allez exaâement 



k 

dont l'intégrale efl: 

ang<-p-iîÇi(^,+ Lt,ng(45 + il))(.^i-p) I 



a A cof 3 tf 

3 



(^^^ _K(.+pi,)+/.L(p + K(. +prt)) 



SUR LA Qt7ÏSTI0H DE BALISTIQUE &C. 

+ ^(i^-:^ + '»« '^ "»8 Uî" + i ')> 

traitaoc de même la valeur de dy ou de p d x, on trouvera 



^ ._^ (-ilïïl^^ +^ 4°°8'^« + - L UDg (45' + h «)). 
Si on fait p ZZ o, on aura la hauteur du jet 

iû,., _il^(i!ïïï!^* _ t ««g (4J»+ J0> 

% on fait y ZI pour avoir Tangle de chute , on trouvera (a tangente 
,„g« _ (^___ + 1__^ Lta«g(4s<'+ JO). 

Çubftituant cette valeur dans celle de Jt, on aura Pamplitude du jet 

On pourroit avec un peu de patience pouflèr ce calcul jusqu'aux quanti* 



^2 



tés de l'ordre — ;, & les formules qui en réfulteroientpourroient s'appliquer 



ib* 



dans diffôrens cas du jet des bombes où y eft fenfiblement au defibus de 
l'unité. 



Propriétés générales de la trajeàoire. 

8* Soit ASB la vraie trajeàoire du mobile , A SB celle qu'il auroit 
décrite dans le vuide avec la même vîtefTe & le même angle de projeâioo. 
Soient pris dans ces trajeâoires deux points N Se N'oh les tangentes foient 



,Y^i 



-^:^^ 61M î-^/^f./ y^^é^^ ^L. L^M^vuMs^ ^ y^u^u^ ^ 



j ^ .u-^^ t/'V^ ^ "H^ 



•K. S- 



9 . 'J o j 1 -' DxBSBRTATXOir 



AV AN 



parafleles; IsfortTiulc Croatie C5)doiiciêraf ZI i -f" "i"> ^" i^ — 
I ^ \ Propriété qui établit une correfpoodaoce rcmarquabk 

entre ces deux trajcâorres. 

o. Si on veut fa voir ce que devient la courbe A SB prolongée du 
c6té de A àd defibus de rborizontale AB^ on fera AN ôc AN* négatifs 

dans réquation précédente , ce qui donnera — n: -*-. L T i — -7- J • 

D'où il (ùit qu^en prenant fur la parabole l'arc AN' zz k &. menant h 
tangente N'V\ la trajeâoire BAN aura une afyroptoce XZ parallèle 
à N'V\ 

to. Si on prend Tare parabolique An! de plus en plus grande Tare 
correfpondant An de h trajeâoire augmentera auffi, mais beaucoup moios 
rapidement. Donc An' étant infini, An \e fera auifi. Mais finfini lo- 
garithmique étant du dernier ordre , on voit que la courbe Bn ne tarden 
pas à Te confondre avec une ligne verticale , ôc qu'elle doit avoir par confé- 
quentune afymptote verticale. 
Fif . 4. II. C eft ce dont on achèvera de fe convaincre en confîdérant le 

mouvement d'un corps lancé fuivant la direâion A l^y qui fait avec rbori- 
zontale un angle 9' déjà fort près de po^ Dans ce cas nous appellerons 

dy 

PMj y^ Se rang ^iVf Q ou j^ — l Pi P fera une quanrité fort grande & 
qiii augmenta jusqu'à Tinfini. Nous aurons alors t//^ 1/ ( i ^ pp) ZZ 



M 
1 



T- : mais comme on peut mettre fans erreur fenfible p au lieu de 


M 

y (^ + PP)iO^ aura en intégrant pp — tang ' ^ zr 77-77^ (« * — i). 



■ » 
M 



Éliminant t * , on a -^ — t-^-tt— r?* Or il eft aîfé de dé- 

t — A' fin * 5' • . . 

nontrer que — iTTTSr^ eft une quanrité pofirive ; je l'appelle m*, & j'ai 

co 



-* ^'. 



SUR LA QUESTION DE BALISTIQUE &C. ^- 

ctt nitégrant ^ ZI Arc tang — — Arc tang ^^. D'où réfulce x 

égale à une quantité finie lorsque p cft infini. Donc la courbe AMz une 
aiTymptote verticale DY. Il en eft de même de Ja courbe Bn^ C^ig* ^) 
puisqu'à une diftance aifez petite de By langle de la courbe avec l'horizon- 
tale eft déjà fort près de 90^ 

IX. Quant à la propofition avancée , quei: — ^ H fm^ 6' eft une 
quantité pofidve, on pourroit fe difpenfer de la démontrer , puisque cette 

quantité étant fuppofée négative , l'équation — m indiqueront 

toujours une afyinptote verticale. Cependant fî on en vouloit la démon* 
: ftration, on appelleroit — - 6' la valeur dc<p Sç h' celle de 7 au point iV 



s 
k 



(Fig. i); on auroit (4) A' cof • tf ' ZZ A cof ^ « *. DoncJt— A'fin»^ 

^ kc {j ^ . ^^^,)i & comme e =: i 4. —j-^ 

. (^^ + Ltang(45«+iO) + ^C-^+Ltang(45+fO> 



7 hco{*6 fm^d 



»■•. 



il cft clair que e ; — . ——7- cft néccflairemcnt poficif. 

13» Puisque notre trajeâoire a deux afymptotes^ Tune verticale^ 
Pautre qui fait avec l'horizon un angle plus grand que 6^ elle reflêmble affez 
à une hyperbole dont une afympcote feroit verticale. Newton cherche 
dans Tes Principes quelle doit être la denfité du milieu pour que Thypei^bole Fig. %. 
fi>it la vraie trajeâoire du mobile. Ce problème eft facile à réfoudre par 

l'équadon kddp zz d^^d^^ dans laquelle — peut repréfenter la denfité. 
Car l*équadon de l'hyperbole étant de cette forme y zz "' ** . — tang 9, 

00 en déduira facilement ^pf ou -i- z: -rrr^—r- . ^ *-t.ng«>/ 

B 



I 



/ ■ ■ 

lo -^Dissertation 

]| 4* â cette quantité pouvoit être regardée comme fufiîfaînment con- 

ftante dans toute Tétendue de la courbe , on auroit une approximation fort 

, fimple pour les trajeâoires dans les milieux réfîftans. Cécoit là le but de 

\ Newton; mais fi on examine la denfité^ on trouvera qu'elle varie entre A^ 

Sj depuis -^ cof * jusqu' à x^/^ ^x * Elle auj[mente encore au delà 

de Sj mais jusqu'à un certain point feulement; enfin au point de chute B 
elle devient rrr—r. r^ — r^ rr:» B eft bien difficile, comme on 

voit^ de concilier ces valeurs avec fhypothefè d'une denfité confiante , à 
moins que l'angle de projeéHon ne foit fort petit. Cependant on verra par 
la fuite que la branche defcendante de cette hyperbole peut être employée 
dans bien des cas pour repréfènter à très peu près la vr^e trajeâoire. 

1 5 • Si on fuppofoic la vitefiTe 6c la denfité au point de projeâion dans 
cette trajeâoire hyperbolique, comme elles font dans la vraie trajeâoire, 

il faudroit prendre —^ — ZZ 4Afin^cof^&^ — 3 ^ cof^, & l'ampli* 
tude^du jet feroit / 

1 +— . — fin S 

amplitude évidemment trop petite, puisque la réfiftance n'eft vraie qu'au 
point de. projeâion, & qu'elle eft trop petite dans tous les autres points. 
Mais cette valeur fera d'autant plus près de la vérité, que k fera plus grand 
& 6 plus petit. Cette formule feroit très commode pour calculer les por* 
tées de but en blanc des pièces de canon. 

I 6. Pour revenir aux propriétés générales^ on obfervera que la bran- 
Fig 1. che defcendante BS diffère d autant plus de la branche afcendante AS que 
h eft plus grand par rapport à k. La branche afcendante eft presque droite 
dans une étendue afiez confidérable , furtout lorsque la vîtefie de projeâion 
eft fort grande; au contraire la branche defcendante eft fcnfiblemcnt courbe 
'dans toute fbn étendue. Quant à la vitefTe dû projeâile , elle va conri- 
nuellement en diminuant jusqu'à un certain point N dans la branche defcen* 



e 



SVTL LA. QUBSTIOK OB BALISTIQUE &C. H 

dante* Elle augmence eofiiice, mais d'une maoiere peu rapide ^ puls^u'à 
Cofini la hauteur due à la vîceiTe eft L' Ceft ce que nous développerons 
davanta|;e dans l'exemple que m>tis allons calculer. 

Prenuere méthode d^ approximation. 

I j. Nous prendrons k pour Tunité, & nous fuppofêrons qu'on con- 
ittitcM'angle de projtâion 0^ ainfi que la hauteur A due à la vîteiTe de pro- 
jeâion. Soit par ex. A zz io&^ ZZ 45 ^^ Téquation de la trajeâoire ^ 
(5) deviendra 

Je donne à <P différentes valeurs de cinq en cinq degrés, 40 , 35, 30, && 
n en réfulte autant de valeurs de s dont les différences premières, que je 
nomme ^Sj font les petits arcs parcourus pendant que la direâion du corpt 
varie de 5^. Ces différences fervent à trouver celles de rabfciflè & de l'or** 
donnée, en confidérant que l'élément is peut être regardé comme une pe- 
tite ligne droite inclinée à l'horizon d'une quantité moyenne enox les incfi« 
naifons de fes deux extrémités. Par ex. fi Télément ^5 eft parcoure 
entre les degrés d'inclinsdfon 3 o & 3 5 , f en conclus ^y zi ^^ fin 3 x^ * & 
âx zn ^s cof 32^7. On verra d-defibus quel eft le degré d'approxi* 
ination qu'on peut obtenir par cette voie. 

a 

1 8 • Pour faciliter le calcul on voit qu'il efi. néceilaire d'avoir une 

Table des valeurs de ^^^ -f" 1*^*08(45*+ f.^)> a» moins de cinq c« 

cinq degrés* En void une qui n*eft pas cotàpletCi niais qui lu£c pour 
notre objet. 






B \ 



t% 



DiSSSRTrAtlOlf 



^ 



<P 



5 

10 

M 

ao 

15 

30 

35 
40 



• % 



fin<p 



cof»<p 



+ Ltang(45'»+f<|J) 






o,oop 000 

0,175 aoo 

0.354 473 - 

0,4^5 80^ 

0,5 4x a44 

o»743 708 

o»9^5 389 

i»2'i5 573 

1,507 <Î3x -^ 

1,858 X7^ -r 



<?> 



430 

44 
45 
50 

55 
60 

<^5 

70 

74 
75 



(fn(p 



cof*^ 



+ Ltang(45«-f-i^) 



0^x95 
2,8^4 



ï,io7 894 
4,199 31^8 v 
587 

7*4 
3,^44 135 

4»78i 05/ 1/. # 
<J,58o 790 

9,7^8 500 
14,6^14 441 

1^,447 l%6 A 



1 9. Si Yon procède maiocenaat au calcul que nous venons dindiquer 
te qu'on ajoute les ^y depuis ^ zi 45^ jusqu'à <^ ZZ o , on aura la bau* 

- - ' _ - - fin ttï 

L rang (45^ + j<P) bc fait que changer de ligne ôc conferve la môme va* 



ceur du jet. Faifaoc cnfuite ^ négatif^ 6c obfervant qu'alors "^ 



kur, OD pouffera le calcul jusqu'à ce que la (bmme des iy négatiâ égale à 
peu près la hauteur du jet. De cette manière on trouvera les réful^ts 
compris dans la Table fui vante: nous avons pris les premières valeurs de ^ 
plus proches les unes des autres^ afin d'obtenir une plus grande; appro* 



ximation. 



4i tp7^^^ 



*v 



/tû i u 3j r^ ^«»7 ^ 






SV& LA -QX7BSTIOK DE BALISTIQUE &C. 



J3 



<P 




45' 

44 

43 
40 

35 

30 

^5 
ao 

15 

10 

5 

o 



s 



0,000 

0,39 a, 

o,<^^i 

1,158 
1,557 

1,855 
x,o34 

1,170 

i,>(78 
^,3.70 

»,45i 
Mi3 



000 

781 

857 
940 

310 

997 

837 
1x7 

980 

7<?4 

171 



3,3^X 

',497 
0,43 8 

0,258 

0,178 

0,135 
o,io8 
0,0^1 

0,080 



g6%]o,ojx 



782 

"5 

043 
380 

^77 
840 

a^o 

853 

784 
408 
790 



Inclin, 
moyen. 



44*'! 
43 i 

4«i 
37 i 
3H 

'7Î 
77 



^y 



0,275 

0,185 

0,319 
0^x66 

0,138 
0,0 8 X 
0,051 

0,0 3 z 
0,0 ip 
0,010 
0,003 



305 
247 

35ï 
8^9 

988 

579 

773 

733 



Ix 



0,280 

0,195 
0,372- 

0,347 
0,2 18L 

0,158 
0,124 

0,103 



S66 0,089 

495 

175 



0,079 



0,072 



152 

209 
2^3 

79*1 

^33 

5,92 

815 

é^o8 
720 
721 



Somme des iy Se des ^x dans la branche afcendaoce 1,39^ 3 8 i ^yO 43 072 



■w 



2^,591 811 

2,<i5^ 778 

2,720 58% 

1,784"^ 

2,850 989 

2,920 890 

^t99^ 537 

3,080 501 

3,17^ 213 

3,288 4^0 

3,424 217 

3,594 108 

3,815 113 

4,1 1(^ 113 

75 14,550 857 



10 

M 

20 

^5 
30 

35 

40 

45 
50 

55 

60 

^5 

70 



0,0^7 849 

0,0^4 9 6j 

0,0(^3 804 

0,0^3 981 

Ofo66 42^ 

Oyo6o 901 

0,075 ^47 

0,083 9^4 

0,095 712 

0,112 247 

0,135 757 

0,1^9 891 

0,221 005 

0,301 000 

0,434 744 



*T 



I2i 

9 

17- 

%7 1 

3*1 

■37 i 

•42.7 
•47 i 

■5*i 

■57i 
.6xL 

.72 f 



-0,002 

-0,008 
-0,0 1 3 

•0,019 

■0,025 

•0,032 

■0,040 

■0,051 

0,0(^4 

■0,082 

0,107 

0,143 

■0,19^ 

0,278 
0,414 



9^0 [0,0 6^7 
480 0,0^4 
8x0 0,0^2 
239 
420 
277 

<^45 
1 14 

703 

i85 
034 

088 
523 



0,0^1 
0,0(^1 

0,0<^2 
0,0^3 

0,070 

0,075 

0,08^ 
0,091 
o,iox 

0,115 
0,130 



784 

4LI 
291 

020 

370 

003 
800 
di4 

833 

^44 
28x 

049 

x88 
730 



B 3 



\ 



14 , - DI8SBRTATXOV 

1 o • Cette Table donne d'abord la hauteur du jet SD n i,3c^ 38 1| 
& l'amplitude de la branche afcendante AD '^H ^1^43 07 x. En ajoih 
canc les ^y négatifs jusqu'à ce que leur (bmme égale la hauteur du jet, oa 
trouve 4ue cette fomme eft trop petite à 70^ & trop grande à 7 5 • r On 
auroit le vrai point de chute par les parties proportionnelles; mais pour plus 
d'cxàâitude, je calcule dire dément Tare s lorsque ^ ZZ -=— 74 î je trouve 
s ZH 4)449 1 03 & dans l'intervalle de 70 à 74^, j'ai ^s iz 0,33 2550, 
9y zz ~* Oj^i66^Xj ix iz 0,10x900. D'où je conclus 

l'angle de chute - - * 74^8' 

l'amplitude de la branche defcendante - 1,153510 
l'amplitude totale ^ if - - 3,i^(^5 8Xp ' \ 

On trouve en même teras la longueur de la trajeâoire ^iS*i7 ZZ 4,4^x834* 

Degré de précijion de cette méthode. 

X I • La méthode précédente ne peut être d'aucun ufage dans la pnn 
tique , à caùfe de la longueur des calculs qu'elle exige ; mais elle a Favaih 
tage d'être direâe & de donner tout de fuite une grande approzimatioa 
Nous pourrons donc juger du degré de précifion des autres méthodes, quaid 
nous aurons fixé celui dont elle eft fufceptible. 
rsf 3- Soit un arc de cercle AB divifé en un nombre n de parties égales que 

j'appelle ^\ foit AF zz A ic le rayon FC zz i; nous aurons, .fittvaflt 
notre méthode, cette approximation 

- AHzzmQiniA + im) + fin (^ + i m) + + fin^^ +?lrii^^^ 

BHzi mTcotiA ^ im) + cof (^ + i m) + + cof^^ + ^^^i)) 

& par la fommation de ces fuites on trouve 

AH = ^^ (cof^ _ cof (A + «.)) 
BH = ^ (fin (A + n«) — 6nAy 



t^%%., \ 



*■ V 



SUR LA QUESTION DE BAiriSTiqUB &C. 1$. 

» f . ; 

I>'oû il fuit que l'abrcifTe & l'ordonnée font augmentées conftamment dans , 
k rapport de (in f a» à ^ (v , ou qu'elles font trop grandes l'une & l'autre de 

— \ —, *) « étant un petit arc. Cette augmentation cft de 77^7 lorsque 

Tare «cft de 5^ - 

X X • Une courbe quelconque pouvant être regardée comme compo- 
se de très petits arcs de cercle, on voit qu'une femblable augmentation 
aura lieu dans toutes les courbes divifées en panies ailêz petites pour que leur 
^courbure foit uniforme. On peut même prévoir ce qui arrivera dans celles 
^ont la courbure, fans être uniforme, fuivra une loi connue. Ainfi dans 
aotre trajcAoire la partie la plus voiline du point j4 étant la moins courbe 
Wlans la branche afcendante, l'inclinaifon moyenne eft trop petite. Les iy 
iont donc trop petits & les ^x trop grands. D'où il fuit que la hauteur dft 
jet 1,3^(^3 8 1, qui eft trop grande d'environ ~f^ par la nature de la mé- 
thode, eft trop petite par une autre raifon qui paroit prépondérante. Ces 
inégalités font difficiles à évaluer; cependant par un examen plus réfléchi 
nous avons cru devoir porter la hauteur du jet jusqu'à 1 13 97 5 • ^ 

%$. Qiiant à l'amplitude x, 043071 de la branche afcendante, 
comme elle eft trop grande par deux raifons , nous pouvons la diminuer de 
frrs ^ ^^ ^^^^ 2,04x4x3 fera encore un peu trop grand. 

%/^. Dans la branche defcendante il y a deux parties à confidérer, l'une 
depuis le (bmmet jusqu'au point de la plus grande courbure qui répond à 

X 3^ 40'd'înclînaifon (on le trouve par Téquation e* IZI . r-z — r-r ) » 

l'autre depuis ce point jusqu'au point de chute. Dans la première partie 
l'inclinaifon moyenne étant fuppofée trop grande, les iy (ont trop grands 
& les ^x trop petits. Au contraire dans le refte de la courbe les ^y font 
trop petits Se les ix trop grands. De tout cela il réfulte qu'en fixant la 
hauteur du jet de 1,3575 , on peut diminuer l'âftnplitude trouvée de j—j 

^ Id & dans la fiiîte de ce Mémoire^ feftirae les erreurs en comparant b difiKrence des deaz 
quantités avec cdle des deux qui eft vraie ou qu^oo regarde comme telle. Ainfi It T'ai iéSA' 

fat étant m & cehû qui en approche 5, Perreur fera — • 






/-^ vA-H^ ^«#vt. 1- ^ç 






i6 7^* Dissertation 

Y- 
daos tonte Ton étendaci & férablir de 39i9$5<^7» encore eft-îl pro-^ 

bable qu'elle fera un peu trop grande. Cependant plufîeurs càufes tendeiM^ 

à la diminuer i^ parce que la correâion 77— efl trop forte pour le cmn*i 

mencementde la courbe, i^ parce qu'il y ^ une diminution infènfible des ixi 

depuis le fommet jusqu'au point de la plus grande courbure , 3^ enfin pzs^A 

ce que les ^y étant moins diminués dans la branche dcfcendante que dans la . 

branche afcendante, l'amplitude de celle* là étant fuppofëe répondre à la mémfr 

hauteur, doit être un peu trop petite. '* 

► 

Degrés de vîtejfe du projeâile. 

1 5 . Nous avons trouvé ci - deiTus la hauteur^ due à la vf tefle du pro« 
jeâile ^ ^ ~73T ^ '* ^^^PP^^e A' ce qu'elle devient au fommet de fat' 

trajeâoire, j'aurai ] 

hcof^ê 



K 



fin* 



• • 



Subftituant les valeurs numériques, on trouve dans notre -exemple- A' zi 

6,490707. 

% 6. La vicelTe du projcâile eft la plus petite un peu au delà du fbm- 

met au point où Ton a e* ZZ — j-z— :rrrf & la hauteur due à cette- vl^ 

teHè iz; *— fin ^. Dans notre Exemple le point de la plus petite viteflô 
eft fitué vers xo^ d'inclinaifon , & la hauteur duc à cette vîceilè m fin xo? 
2Z 0,3 5 . Le point de la plus petite vîtcfTe tft toujours plus loin du fom* 
met que le point de la plus grande courbure. 

X7« Depuis le point de la plus petite vitefie jusqu'à l'infini, la vitefie 
du corps augmente, mais d'une manière peu rapide, puisqu' à l'infini la hau- 
teur due à cette vitefie =z i , quels que foient la vîtefie & l'angle de prch^ 
jeâion. Dans notre exemple le point de chute répond à environ 7 û^ d1n« 
clinaifoa Faifantdonc^ ZZ — 74^ on trouve { zr 0,7703. Donc 
la vitefie de projeâion eft à la vitefTe au point de chute : : 18:5 à peu près. 



SVR £A QuisTIOH dÎ BÀIXSTIQué &C. 17 

%S. Oo peut concevoir ainfi le chaugcmetit de virefle dans la branche 
fcendame. Lorsqu'un projcâile eft chafle horizontalement , comme on 
D-inmagine au fommet de (a trajeâroire, fa vîceflc commence par diminuer» 
9 xlCar dans les premiers inftanS| la gravité quelle qu'elle foit par rapport àla ré^ 
ir.lfiftance du milieu ^ ne peut ajouta ruffifamment à la vicelTe du corps , puis- 
hl qu'elle n'agit pas dans fa direâîon. Si la hauteur due à la vîceflp horizon* 
xelnle du corps eft plus grande que Tunité, au bout d'un certain tems elle fera 
réduite à l'unité, & alors la réfîftance fera égale à la gravité. Mais comme 
il n'y a qu'une partie de la gravité qui accélère le mouvement du corps, il eft 
clair que la vitefTe doit encore diminuer. Cependant cette diminution doit 
avoir des limites; car la gravité devenant de plus en plus efficace à mefure 
que le corpï s'approche de fonafymptote verticale, Ôc la réfiftance dimi* 
nuanc avec la viteile, il y aura un poiqt où ces deux forces fe Feront équi- 
libre. Ce point, qui fera celui de la plus petite vitefTe, fe déterminera donc 

par l'équation gfm^P ZZ — 5'{, ou e' ZZ — r"lS"T7â75* comme ci - deflus. 

Faffé ce point de la plus petite vîtefïê où ^ fera -— /i^^^i & par conféquent 
plus petit que l'unité, l'aâion delà pefanteur devenant de plus en plus di- 
reâe, l'emportera fur la réfiftance & augmentera la vitefTe jusqu'à ce que 
la hauteur qui lui eft due IZ i. Mais ce n'eft qu'à l'infini qu'on obtiendra 
cette limite. Quelle que foit donc la hauteur due à la vîteflê au (bmmet, 
elle diminuera jusqu'à un certain point où elle fera plus petite que l'unité, 
puis elle augmentera jusqu' à l'extrémité infinie de la trajeâoire où elle fera 
égale à l'unité. 

xp. Je conclurai de là que dans l'hypothefe d'un air uniformément 
dénie on ne procureroit pas une vitefTe de chute fort confidérable aux bom- 
bes, en les élevant même beaucoup plus haut qu'on ne peut le faire par le 
moyen de la poudre. Car nous venons de voir que leur vit'.fTc en tombant 
ieroit due à une hauteur moindre que Tunité & par conféquent feroit fort 
audcflbus de la vîtefle initiale. Un très petit angle de projcâion donneroit 
alors la vitefTe au point de chute beaucoup plus grande. 



1 



—9 

Iff • DlSSfiRTATlOH 

Seconde méthode d^ ûpproximatioru 

30. Uéquation hAAp iiz dp à s n'étant point intégrable lorsque k 
cft confiant^ nous prendrons pour k une quantité variable qui rende l'incé-; 

gration poiTible & qui foit telle pourtant que la denfité — n'ait pas d'ano« 

malics trop confidérables. La formule qui nous a paru propre à remplir cet 
objet eft 



1 — I + «tp 



8 



k V (I + p^y 

La denfité fera donc i au fommet ; pour qu^elte fott ta même au point de 
projeâion , il faut qu'on ait ■ ! ^ ""^ ^ . ZZ i • Ainfi on prendra <t zz 

l + cof f * ' , 

31. D'après cette vafeur 00 voit ié^ trots points dans la trajcâoire 
où la denfité ZZ i ; le point de projeâion, le fommet âc le point de la 
branche defcendante où l' inclioaifbn eft 6 comme au point de pro- 
jeâion* Refte à favoir fi dans les autres points la denfité ne varie pas 
d'une manière trop fènfible» Or en cherchant le minimum de k formule- 

i+fltp2 rii-f a I— act I— cof $ 

— ——% on trouve qull a lieu lorsque p ZZ ZZ tâ — %. 

& alors la denfité zz 1/ ( i — tang ^ \ 6}y quantité un peu plus petite 
que l'unité 9 mais de manière que la différence eft imperceptible à moins^ 
que l'angle de projeâion ne foit fort grand; lorsque ^ zz 30^ cette quandté^ 
ZZ I — ■— 9 lorsque ^ ZZ 4 5 ° elle eft 1 — jj. Enfin en fuppoi»' 
&nt Tangle de projeâion même de 60^^ le minimum de la denfité ZZ 7^* 
D'où Ton peut efpérer une approximation fuffifante» 

3 1. Four nous arrêter à l'angle de projeâion de 45^, on voit que Iir 
denfité fuppofëe fera vraie au fommet & à 45^d'inclinaifonde part de d'autre 
du fommet» Dans les points intermédiaires la denfité fera trop petite^ 
mais fâ plus grande diminution n'ira qu'à ^* De là réfuke une légère- 
augmentation dans la portée depuis le point de projeâion jusqu'au point de- 
la branche defcendante oà l'inclioaifon efi: de 45/^, Depuis ce dernier 



StJR lA QuisTION Dfi BAIISTIQUE icC. t^ 

jxnnt îus<)ii'au point de chute la denfité augmente d'une manière aflez rapide, 
puisqil^u point de chute où l'inclinaifon eft d'environ 74.^» la denfîcé eft 
i|. Mais il faut confîdérer i^ que ce n'eft qu'à rextrémicé de la trajeâoire 
que l'augmentation de denfité eft Ci fenfible. x^ que la portion de la 
branche de(cendante où la denfité eft trop grande, ne répond qu'à une por-*' 
tion aflez petite de l'amplitude; c'eft environ f dans cet exempte. 3^ que 
reflet de cette augmentation eft de raccourcir la portée qui écoit trop grande 
dans te refle de la courbe ; d'où réfulte une efpece de compenfation qui en 
ftâifiant les portées , les laifTera encore un peu trop grandes* 

33. Après nous être aflurés^ du degré d'exaâitude avec lequel notre 
formule repréfente la denfité, procédons à l'intégration de l'équation kddp 
ZZ àpds. Elle devient dans cette hjrpothefe 

ddp zn (i -|- «/>*) dxdp; 

on CD tire d'abord — zz ^^p ^ -{- p -^ B; 6c comme au point de 

proieâion ~ iz — , ,.. ^ % on a la confiante 

Maintenant la fëparation des variables donne — d x zi ^ 



l£ ^ ± p ^ pt 



Soit déterminé c par l'équation cubique 



— c^ 4- c — B ZH o^ 
3 

& on aura — d* zz -p — '^ — ^ ^« Faîfànt donc pour 

5 (c^p)Çp\ + cp + ç^ + y 

abréger K (^ c • + -1) zz m 
on aura l'intégrale 

fc Arc «.^ (-tii) + if Arc t»g (ïïHiiif) 



« 



ao . Dissertation 

m 

Pour avoir y > on multipliera la valeur de d x par c "^ p^ & oo zxxn 
en intégrant 

V — ex 1= -1 Arc tang rL±if^ — ± Arc tang (^l±àl\ 

3 4. Four faciliter le calcul numérique de ces formules | on cher« 
chera deux aqgles A&c P tels que 

tang A — , tang F — — - — 

en obfervanc que dans la branche de(cendante où p eft négatif , tang P 
peut être négatif auffi. Alors Tangle P fera négatif & non obtus; car la 
diminution de l'angle P fe faifant fuccefiivemcnt jusqu'au point où p ZZ -— * 
^ C| lorsque p devient plus grand, P augmente audi par degrés* 
Ces angles étant trouvés , on aura 

=. ex L (^ — P). 

CLltt 

3 5 • La première de ces formules peut être encore amplifiée en pre- 
nant un nouverangle ^ tel que 

tang Vf/ z; ^ 
alors elle devient 

mais la première fera moins fujettc à erreur lorsque c différera fort peu de 
tang ff. 

3 6. On obfervera 1^ que c doit être calculé avec précifion par Téqua- 

tion — c ^ -f- c — B ZZ Oj furtout lorsqu'il différera fort peu de 

tang 6^ Or ce calcul eft fort aifé à faire par les fauflès pofitions & par la 
T^ble des logarithmes, x^ que les logarithmes de nos formules étant tou« 
jours hyperboliques, fi on fè fert des logarithmes ordinaires, il faudra mul* 
tiplier ceux-ci par le nombre 1,30x5 85 i dontlelogarithmeeft 0,3^x11 $7.. 



suit LA QUESTION DB BALISTIQUE && XI 

3^ que A — — P défigoanc la longueur abfblue d'un arc dont le rayon eft I9 
après avoir évalué cet arc en degrés & parties décimales de degré ^ il faudra 

les multiplier par le nombre — | dont le log. eft 89 ^418774* 



' Exemple! 

# 

37« On propofe de calculer la hauteur du jet & l'amplitude de la 
branche af (rendante y lorsque A m io&^ZZ45^. 

Il £iudra faire p zz o & procéder au calcul comme il fuit 
« — j-^^ IZ V % — I hz 0,414x13^, La z=L taoçix*! 

zi 0,(^171x43 
^ ~ TH^Û + "°^ ^ + 7 ^*°^*^ == i,x3807ix/- 

Four trouver c on réfoudra l'équation — c* 4^ c — B ZZ o par les 

faufles pofitions , ce qui donnera très promptement 

c ZZ 1,0^517x7, Le ZZ 0,0190885^ 
D'où l'on conclura 



i- = 3 (K X + i) = 


: 0,8575081 
: 7,14x^407 


Somme m* z: 
Lm z: 


• 

: 8,1001489 
: 0,454x4^5^ 


Je cherche maintenant les angles ASc P 




L| c m 9,718058$- L( 

L/71 ZZ 0^45414(^5 


>-f-7c7 =Z 0,18^0055' 
L/n ZZ 0,454x4^5 


RcfteitaogP z: ^,1738 no 


Ltang^ = 9,7317590' ' 



• * 



C3 



%% DtSSSRTiuTXOK 




P z 
A z 


z lo" 38' ^o% %6 
z i8 xo X, 55 


L cof P z 
L cof ^ z 


= 9.9914^^5 




j cofP _ 
coM "" 

L ^-z 

C I 


I 0,0478903 

•• 

I 1,18851^4 



Somme 1,13^41^7 
Multipliant cette femme par x,3oi5 85 1 1 le produit fera ^984<^9$47« 
On a enfuite -^4 — P zz 1 7^ 41' 41" ^^ 17°, ^95» D où l'on con- 
clura — (A — ^)îr 0,1 74044^. Donc (i -|-c*«)xzz "ijO%o^^^6. 

Mais I + c* fit zz i>4735887; donc enfin Lx zz 0,31 17744 & 

X zz ^yO^OQ^^. 
Ceft l'amplitude de la branche afcendante. Four avoir y qui eft la hauteur 

du jet, on prendra l'équadon j zz ex — — (^ — P), d*où Ton coih 

dut presque fans calcul 

y ZZ i,4o^i9x 
or nous avons trouvé par la première méthode x zz x,04X4x3 9 y ZZ 
1,3^75. La difFérence eft de -j^ fur l'amplitude , & de —^ fur la hau- 
teur du jet. 

3 8 • On devoit bien s'attendre à trouver par cette méthode x Ôc y 
un peu trop grands , puisque la denfité eft un peu moindre que dans la vraie 
trajeâoire. Au refte fi Tamplitude eft plus exaâre à proportion ^ la hau* 
teur du jet, c'eft que la denfité eft vraie dans une étendue fenfible au fom- 
fnet; or les erreurs en cette partie n'influeroient que fur l'amplitudei 

Exemple IL 

3^. Dans la même hypothefè on demande l'amplitude totale. 

Il faut donc chercher une valeur négative de p qui étant fubftituéc 
dans nos formules donne y ZZ o ; c'eft à quoi Ton ne peut parvenir que 
par une efpece de tâtonnement. Mais comme on fait que l'angle de chûto 
eft fenfiblcment au deflîis de Tangle de projcâion ^ on pourra eflayer au 



SVR LA QTTESTIOR DB BALISTiqtTB ôccl ' %y 

kazard une valeur de p qu^on jugera convenable ^ ôc pour peu que la valeur 
de y qui en réfultera fait pettee^ on en conclura facilement une ampHcudf 
plus approchée* Car fi après avoir fuppofé p zz — rang ^, il en réfuice 
X ZZ aôcy iZZ ^^f on aura Pamplitude plus exaâe x zz a j^i cot 6^. 

40. Dans le cas préfenc nous favons que Tangle de chéce eft fort pri» 
de 74^ Prenant donc p ZZ — - tang 74^, on trouve x zz 3,17(^101 
&y IZ 4" 0,092179. Ce réfultat indique qu*à 74^ dWlinaifon le 
mobile efl: encore au dciTus de l'horizontale j4B; mais en multipliant y pas^ 
cot 74^1 & ajoutant le produit kx^ on a Tamplitude corrigée 

Far cette correâion l'amplitude fe trouve un peu trop grande; mais la dif«^ 
férence eft imperceptible. 

41. Nous avons trouvé par la première méthode (24) Tamplitude 
rz 3,i955<^7;le réfukat précédent n'en diffère que de —^. Ccfl donc 
à jufte titre que nous avons annoncé cène féconde méthode comme devant 
donner une approximation fuffifante. Quant au calcul qu'elle exige ^ il eft 
un peu long: mais on peut employer beaucoup moins de décimales que 
nous ne Tavons fait. Trois au quatre fufSfent, excepté peut -être pour le 
terme c — tang ^, ou fbn correfpôndant fin (4^ — A)^ qui demande une 
plus grande précifion» 

Calcul Jëparé pour la branche defcendante, 

m _ 

4X» Les formules que nous venons de trouver donnent la vicefle trop* 
grande au fommet y parce que la denfité eft trop petite» De là réfîilte une 
erreur particulière fur la branche defcendante^ erreur qu'on peut éviter en- 
calculant féparément cette branche. 

La hauteur U due à la viteflê au fommec (è détermine ezaâement pas 
la formule 

Acof * t 



H 



s^^ 



I + Acof a 



*Câ^, + ^'*"«^^^' + '^) 



/ 



%\ DlSSB&TiLTIOir 

Nous pouvons imaginer le corps lancé horizontafemenc ayec une celle vttcfle^ 
2^ les formules du /i^ 33 s'appliqueront ici en faifant le ^ de ces formules 
m G. Si nous changeons en même cems les (ignés de ^ & de y ^ afin que 
ces quantités foient poficives dans la branche defcendanre^ les formules 
auxiliaires ièronc 

•^ c* 4- -i- =: m* 
tang ^ z: — , tang -<4 ZZ — , tang P — p — t « 



mm m 



& nous aurons 



(' + '*-)' = K^f^) + v(^ + « 



ex Jf 1- (^-f-P). 



a,m 



43, Quant aux valeurs des confiantes ^ nous obferverons qu'on peut 
toujours faire ^ m ^^ mais 6 devient arbitraire. Si on le prend de 

45^ dans notre exemple, la denfité fera vraie au fommet & à 45^ d'incli* 
naifon. Dans Tintervalle de ces deux points elle efl trop petite ; mais le 
minimum qui répond à 3 x® 4^' d'inclinaifon cft encore de jj. Paflë 45^ 
jusqu'au point de chute , la denfité eft trop grande. On pourrait prendre 
6 plus grand que 45^ & même de 74, afin que la denfité qui cfl toujours 
exaâe au fommèt, le fut encore au point de chute. Mais dans Tintcrvalle 
de ces deux points elle feroit fenfiblement trop petite , ion minimum étant 
0,8 ^3 i« II vaut donc mieux s'en tenir à l'angle de 45^ dans notre exem*- 
pie, afin que la première partie de la courbe depuis o^ jusqu'à 45^ d'incli- 
naifon foit déjà fort près de la vraie trajeâoire, 6c que la féconde partie où 
il n'efl pas nécefTaire que la denfité foit fi exaâe, ferve à corriger Terreur de 
la première. Le calcul fuivant prouve qu'en prenant 6 plus grand que 45% 

Tarn- 



SUR LA QUESTION BS BAIlSTIQUB ScC. 1$ 



/ 



fampGtude ferait plus approchée^ mais il eft difficile de fixer au jufte la va- 

leur de 6 qui produirait une exaâe compeofatioo dans les erreurs» 

• •>» 

Exemple L 
44. Suppo(ant pour la branche defcendante de notre trajeâoire « z;;: 
' — r m K X — I comme pour la branche afcendante , & cal* 

I + cof 4J® • ^ 

culant X comme il vient d'être dit^ on aura -p ZH 11X47793(^9 ce qui 

cEffisre un peu de i,a38 &c« valeur de J9 dans la branche afcendante. La 
valeur de c & celle de m feront donc un peu différentes; on trouvera c m 
i|0758574) Lm =z 0,4545303» Maintenant fi Fon fuppofe /i :i; 
tang74^9 on trouvera jc zz 1,1x1x377, y zz i>3io35x. Mais la 
hauteur du jet a été trouvée i,40<^ipx; corrigeant donc l'amplitude de la 
branche defcendante, on aura 

xzz 1,148719 
& de là l'amplitude totale 3,1 988 1 <^, qui ne diffère plus que de 7^ de 

celle qui a été trouvée par la première méthode. 

Exemple IL 

45 • Si l'on veut &ire en forte que la denfité fbit vraie au p<mit de 

chute, il faudra prendre a zz ■ ^^ ^^ ^ '> & on trouvera l'amplitude de la 

I + cor74^' ^ 

branche defcendante x m ijij^x^ô; quantité trop grande puisque la 
denficé ttï trop petite. Cependant l'erreur n'efl pas fort confidérable ; elle 
o'eft guère que de j^. Ce qui prouve qu'en changeant un peu la valeur de 
A, l'amplitude n'en eft pas fenfiblement altérée. 

4^. Remarquez que dans le calcul de la^ branche defcendante 00 

pourroits'épargnerlaréfoludon de l'équation cubique — c'-f-c p ZH o* 

Car après avoir vu quelle efl à peu près la valeur qu'il convient de donner à 
^, qu'on calcule auffi groffierement la viileur de c. Ccft à c qu'on don* 
nera uoe valeur en nombres ronds , & oo en déduira la valeur de « par 

D 



%6 Dissertation 

réquation — c * ZI —r — ^* Car nous venons de v«r quil nous cft 

3 a A' 

permis d'altérer un peu la valeur de ^; or nous l'altérons de manière que c 
fe trouve exaâement^ ce qui ne peut manquer de fimplifîer le calcul* 

Troijîeme méthode d^ approximation. 

47. Il paroît difficile de trouver des formules qui fans être trop com- 
pliquées,* repréfentenc la crdjeâoîre en entier avec plus d'exaditude que cel* 
les de la méthode précédepte» Mais (i on veut calculer féparémenc la 
branche afcendante & la branche defçendânce, on pourra y parvenir par des 
formules plus fimples & à peu près auffi exaâes* 

Calcul de la branche afcendante, 

48. Nous avoQS vu ci- defTus (13^ que la denfîté néceflâire pour âé- 

t/ /, ^^^ CL d\ 

aire l'hyperbole ^ étoit . -• Cette formule, quirêuffita(&z bien. 

V (1 -f- pp) 



pour la branche defcendante, nous a donné 1 idée de fuppofer pour la 
branche afcendante — ■ zz -rt^ r • tt-: :♦ M en réfulte Té* 

k V {i^itp) V (I + pp) 

quation facilement intégrable 

ddp ■ ip ' ^ 



dx V (I — ap) 

Mais avant d'aller plus loin , il eft néceffaire de déterminer « & de voir quel 
degré de précifîon on doit atticndre de cette nouvelle méthode. 

4p. La deniité au point de projeâion devant être la même qu^au 
fommety on fera i IZ (i — ^ tang ^) ( i -f* tang ^ 6)^ ce qui donnera 

a l^Z fin ^cof^; 
<t étant connu, fi on cherche lé minimum de la formule (i — — ap) 

(i 4- pp)^ on trouvera qu'il a Heu lorsque p zz ^^T ^^. -^ 

Lorsque û zz. 45**, cette formule donne p iz i, tcp — f» Laprc* 



SUR LA QUESTION Dff BALISTK^UE &C. Zy 

miere valeur p ZI i indique qu'au point de projeâioh la denfité eft à (éa 
minimum; elle refte donc la même dans une étendue fenfîble, ce qui pro- 
curera une grande approximation, furtout pour la hauteur du jet» L'autre 
valeur p zz 7 donne le maximum de la denfité i^j* Si ^ efl plus 
petit que 45^, il n'y a qu'une valeur de p qui fera utile > (avoir p zz 

I — V (i — 3 fin î^ ^ cof * tf) Il . 1. . T ' â 

T— 7 — TT ; elle mdiquera un maximum. Lorsque 9 ZZ 

30% ce maximum ZI i—jp» & ainfi de moins en moins à médire que l'an- 
gle de projeéHon eft plus petit. 

Enfin lorsque 6 eft plus grand que 45^, par exemple^ lorsque é zz 6o\ 

- 4 + ^7 _ 4 — V7 

- 3V3 '^"~ 3V3. • 

La première fait voir que vers 5 ^^ d'inclinaifon la denfité eft trop petite de 
•—-, & qu'à 1 4° 7 elle eft trop grande de ^. Entre ces deux points il y 
en a un où la deiifité eft jufte: c'cft lOTsque /? zi cot ê^ ou lorsque llnclT* 
naifon eft de 3 o^. 

5 o.De là il réfulte que jusqu'à 45^& un peu au delà les portées feront 
trop petites ainfi que les hauteurs des jets; mais l'angle de projeâion deve- 
nant plus grand, ces quantités feront un peu trop grandes. On bbtîendroit 
un degré d'approximation de plus en faifant coïncider la denfité au point de 
projeâion avec la denfité à une petite diftance du fommet ; il faudroit alors 

prendre pour — ■ la formule -7-7; . —j r* 

$ I. Si on intègre maintenant Téquation — -^ ZZ — ^ . on aura 

° ^ dx V (1 — ap) 



- les deux valeurs dcp peuvent fervir, (avoir/? 



1 ^ ^P io ly/ /_ _x p « , .^-.î.i. j_ ^p 

• dx ' ^' ^^' ^ -^ dx 



t ^ • r^ ZZ ^ — V^ (i — ^p)f & par la valeur initiale de — on 
trouve 



cof^ 



tangtf 



4A 

Soit maintenant K (i — cep) z: {, on aura dx ZZ -^—7;, & en inté- 



î-C^ 



granc 

X — z-— coCS M CLC lr7—^\ 

D X 



ag Dissertation 

On trouve de même 

J'appelle A" Tamplicude de la branche afcendante & F* la hauteur du jec^ 
faurai par ces formules 

y = 1JZ£1 X — - tmgl L(i_cof'«. 

m 

Exemple. 

5 1. Nous fuppofêrons toujours h zz io&*zz45^ Donc a 
~ t & C zz o, ^8 ^ I o tf 8 • D*où Ton tire 

X zz 1,027381 ' 
y:=^ i,39^i8^* 

On fera (ans doute étonné de voir avec quelle précifion cette méthode nous 
donne la hauteur du jet que nous avions trouvée d'abord de i,39<^38 i » & 
qui doit être tout au plus de i >3 97 5 • C'eft que la denfité eft exade dans 
uàe étendue fenfible au commencement de la courbe, ou dans la partie qui 
influe le plus fur la hauteur. Quant à f amplitude X^ on voit qu'elle eft 
un peu trop petite, puisque nous l'avons trouvée ci-de(Ius de 1,04 x 41 3» 
Mais la difFérence n'eft gueres que de j^. On peut fe rendre raifon de 
cette différence en confidérant que notre formule fuppofe la réfîftance vers 
le fommet un peu trop grande; or ce furcroit de réfiftance influe tout entier 
fur la valeur de X. 

5 3. Par ce (eul exemple on voit que cette méthode eft fufceptible du 
même degré de précifion que l'autre, & que les calculs en font beaucoup 
moins compliqués. Fafibns donc au calcul de la branche defcendànce; 
elle offirira plus de difficultés , parce que Pangle <P y varie davantage. 

Calcul de la branche defcendante. 

54. J*obferve d'abord que la féconde méthode , quelque compliquée 
qu'elle foit, a un avantage réel dans le calcul de la branche defcendante ; 



SUR LA qXJlLSrtOUf DE BALISTIQUE "^dcc. %^ 

c'eft qu'oo peut fuppofer la dccfité yraie au (bmmet & au point de chûcc^ 
fans qu'elle foit fort loin de la vérité dans les points intermédiaires. Mais 
comme il s'agit principalement de fimplifier les calculs ^ quand même on 
^erdroit quelque chofe du côté de l'eiaditude, nous prendrons une formule 
plus fimple pour repréfenter la denfité. 

5 5 • Nous fuppoferons avec M. le Chevalier de Borda 



Cette formule zi i au fommet ; pour qu'elle (bit encore i au point de la 
branche defcendante où Tinclinaifon eft ^, il faut prendre a — tang 7 ^. 
Dans tout l'intervalle depuis /i zz o jusqu'à p zz tang {, la denfité fera 

trop grande , & fbn maximum fera ■ ^ lorsque p zz tang 7 {. M. te 

Chevalier de Borda prend ^ égal à l'angle de chute; msAS il eft clair qu'alors 
la denfité eft fenfiblement trop grande dans toute la trajeâoirci furtouc 
lorsque l'angle de chute eft un peu grand. Ainfî dans notre exemple où 

jPangle de chute eft d'environ 7 4^, le maximum de la denfité (èroie 



cof 37^ 

ou i^t ce qui rendroit l'amplitude fenfiblement trop petite. Il vaut donc 
fmeux prendre ç beaucoup plus petit que Tangle de chute ; il en réfultera deux 
avantages i^ que la denfité variera beaucoup moins depuis p ZH o jusqu'à 
p IZ tang ^; x^ que la denfité étant trop petite depuis^ ZZ tang {jusqu'au 
point de chute , cette partie de la trajeâoire pourra fervir à corriger la pre- 
mière. On ne peut pas dire au jufte quelle doit être la valeur de ( pour 
que les erreurs des deux parties de la courbe le compenfcnt parfaitement; 
mais le calcul nous a fait voir qu'il falloir prendre ( un peu moindre que 
Fangle de projeâion S. Ainfi dans notre exemple^ { doit être un peu 
moindre que 45^9 ce qui eft fort loin^ comme on voit, de 74» 

5 6. La quannté a étant donc prife d'une manière convenable fuivant 
ks difi!érens cas , on aura — =: (i -f* ^f) ^fi dont l'intégrale eft 

j^ ZI -^ — ^ — ♦ Si nous appelions toujours h' la hauteur due à la 

D 3 



3o Dissertation 

vîccffc au (bmmet| nous aurons C zz i r-. Faifent enfuice i -f- 

h 

^p ZH ^ & intégrant^ on trouve 

x(,—C) + .y=xL(r±S>i. 

5 7. Pour faciliter le calcul de ces formules, on verra d'abord quelle 
valeur il convient de donner à <x ; on fera groflieremcnt — ZZ fin ' A^ d'oJÉ. 

réfulte C ZZ cof A. Connoiflant ainfi à peu près la valeur de C, on pren- 
dra pour C les deux ou trois premières figures de cof A; on en conclura 
auffitôt « ZZ h' (i — C) (i -|- C). De cette manière C aura toujours 
une valeur exaéte &, commode; on donnera à ^ ou i ^ ap h valeur qui 
convient à peu près à Tangle de chute. La première équation donnera la 
valeur de jc & la féconde celle de y. Si celle - ci cadre avec la hauteur du 
jet connue par la branche afccndante, x fera Tamplitude de la branche 
defcendante ; fî non, l'erreur & langle de chute ou une nouvelle fuppofition 
ferviront à trouver la vraie amplitude. 

5 8* On peut éliminer | des deux équations précédentes , & Téqua* 
tion de la trajeâoire devient 

I — C ' 

Mais en faifant — ^ Z= P 9 la forme fuivante paroit plus commode pour 
le calcul 

On connoitra dans cette équation ^ & 13, & on pourra regarder Cx 
comme l'inconnue. 

5 ^. Ces formules doivent être mifes fous une autre forme fi — n'eft 
pas plus petit que l'unité. D'abord fî — =1 i , ce qu'on pourra fuppo« 






SUR LÀ QUE5TIOK DB BALISTIQUE icc. 3K 

fer dans bien des cas^ puisque et c'eft détermioé qu'à peu près; Téqua- 
tion devient f 

& la folution-en (èra extrêmement facile. 

60. Si<t eft plus grand que A', on fera — zi i + 3*, ou plutte 

faifant grofficrement — ZZ cof ^ ^, ce qui donneroit b ZZ tang ^,011 

pfendra pour b les deux ou crois premiers chif&es de cette tangente. D'où 
Ton déduit réciproquement ^ zz A' (i -f- ^^). Cela pbfé Féquadon de la 
trajeâoire deviendra en éliminant encore ^^ 

X -^^ ay ZZ — a L r cof -^ T ^^ "" )• 

En prenant exaâement tang M zz b^ le fécond membre de cette équadoo' 



fc réduiroit à — a L ( '" ^ ,/ Y 



EXEMPLB. 

61. Soit propofë de calculer l'amplitude de la branche defcendante^ 
en fuppofant la hauteur du jet y zz 1,3^^1 8 <^ & la vlteiTe au fommcc 
due à la hauteur h zz 0,4007072. 

On pourra fuppofer comme ci - defTus (44) la dçnfité exaâe à 45^ 
d'inclinaifbn, ce qui donnera de même « zz V^ a — i & L^ ~ 
^, 2(^38539* 'c çonferve ces valeurs pour mieux comparer la méthode 
aâuelle avec celle de Taru cité: autrement je prendrois ^ ZZ 0,1 84» puis 
4r ZZ K{i + bb). 

D'après ces valeurs je trouve Taimplitudc de la branche defcendante 

X zz 1,147015 

ce qui cadre fort bien avec le réfultat de Tart. cité qui èft 1^1487 19» 
r4in & Tautre différant fort peu de la vraie amplitude 1,15314. Ces ré- 
fultats fe rapprocheroicnt encore davantage s'ils étoient calculés fur une 
méffie valeur de y* 



^^ Dissertation 

6%. La valeur que , iious avons donnée à a fuppofe que h denfîcé eft 
jufte à 45^ Â ii^f elle eft trop grande de -p^, & depuis 45^ jusqu au ' 
point de chute , elle eft trop petite. Cette féconde partie de la. courbe ne 1 
fuffit pas pour compenfer Ferreur de la première ^ puisque Tamplitude eft 
encore trop petite. D'où il fuit que notre réfuluc eût été plus exaâ ea 
prenant a un peu plus petit que tang (ix^ ;). Oeft ce que nous avons 
avancé (55). 

^3. Si dans cet exemple on eût pris a. zz tang 37% afin que la deQ«> 
fité fût exaâe au point de chute, on àurôic trouvé Tamplitude de la branche 
defcendante x zz 1,105779 qui diffère de 7^ de la vraie amplitude. On 
conçoit qu'il doit y avoir dans ce cas une erreur fenfible , puisque du (bm- 
met au point de chute la denfité eft conftamrbenc trop grande, (on maxi^ 
mum étant j. U faut donc néccflàiremenc prendre a plus petit que M. le 
Chevalier de Borda ne l'indique. 

De quelques cas où Ton peutjimplifier le calcul 

de la branche defcendante. 

6^. Dans la trajeâoire hyperbolique donc nous avons parlé ci«deflus^ 

coofidérons particulièrement la branche defcendante S MB. Après avoir 

Fig. tf. mené par le^fbmmec S l'horizontale SOy faifons SP ZZ Xj PMzzy^ 

Fangle des deux asymptotes rz.d la diftance ifO m ^, l'équation de 

l'hyperbole fera 

y taug ^ zz 

Nous avons déjà vu que cette courbe (èroit la vraie trajeâoire , en dippO'-» 
(ant la denfité du milieu zz -t-* — U + F »ng ç) ^ ^^ y ^^ ^ ^^ ^ 

^ y (.1 +pp) ^ ^ 

cettb quantité ne varie pas beaucoup dans une certaine étendue de la bran- 
che S MB. 

6^ . L'équation précédente étant diiFérentiée donne i *f- p tang ^ m 

Mais on doit avoir au (bmmet — ZZ —r. & la denfité =: i. 

Donc 



XX 



C^)' 



SUR LA QUESTION DE BALISTIQUE &C# 3 J 

Dpoc 3 ZI 3 & cang ^ zz — . D'où l'on voit que les quantités b Se 

{ font ^bfolument déterminées ^ &: que l'hjrperbole ne repré(entera afiêz 

bien la trajeâoire que lorsque la denfité — v r 4- \ ^^^^ P^^ variable. 

i^(^. La denfîté eft vraie lorsque l'inclinaiion eft ^, ou lorsque p ZZ 
tang ^. Depuis le (bmmet jusqu'à ce pomt la denfité efl trop grande , & 

ùm maximum^ lorsque/? zz tang-j^, efl K T^^ T^\ ' ^^^^^ ^® 

point où Tinclinaifon eft { jusqu'à l'infini , la denfîté eft trop petite. C'eft 
au calculateur à voir dans les différens cas fi la valeur de { eft teUe, relati** 
vement à l'angle de chute ^ qu'il puiflè efpérer une compenfacion fuffifante 
entre les erreurs. Si cela eft^ on pourra calculer Tamplitude plus fîmple* 
ment que par aucune autre méthode , en réfolvant l'équation 

y ~ 



3 " 3 — ^ 

dans laquelle on mettra pour y la hauteur du jet trouvée par la branche 
afcendante. 

Exemple. 

^7* SoîtjCommeci-defTus, A' zi 0,4007071, onauraLtang^ 
ZZ 9,72.77^59, & ^ ZZ i8^ 7- C'eft donc à 28^ 7' d'inclinaifon 
qjttc la denfité fera vraie. A 1 4^ 3' le maximum de la denfité zz i-^. 
Mais depuis le point de a 8^ 7' jusqu'au point de chute la denfité dimiuue 
continuellement, d'où il eft à préfumer que l'amplitude fera trop grande. 
Auffi en prenant y zi i, 39^18 ^> comme nous l'avons trouvé par la branche 
afcendante (5 ^)> & réfolvant l'équation 



XX 



y tang i zi 0,745948^ 



3 — * 

on trouve x zz, i , 1 6^8 7 ^3 ; réfultat un peu trop grand, mais qui approche 
beaucoup de la vraie amplitude 1,15314. Si on ajoute cette valeur de x 
avec l'amplitude de la branche afcendante trouvée (51^, on aura par cette 
méthode mixte l'amplitude totale 



34 DiSSERÏATIOH 

3,15^144 

plus approchée de la vraie amplitude 3j^S'i^^7 m^^ ^^^^ ce que nous avons 
trouvé jusqu'à préfent. Il y a fans doute un peu de hazard dans cette ap- 
proximation ; nous (avions cependant que l'amplitude de la branche afcen- 
dantè étoit trop petite, que Pautre étoit trop grande; d'où il étoit naturel 
de conclure qu'en les ajoutant les erreurs fe détruiroient (en partie • Dans 
d'autres cas on pourra réuffir tout auffi complètement. 

6 S. L'hyperbole ordinaire ne (âtisfaifant à la queftion que dans un 
certain nombre de cas particuliers , confidérons une hyperbole quelconque 
repréfentée par l'équation 

La denfîté néceflàire pour la décrire fera ^ . , / , ^V ^ com- 

'^ ^ y Cl + pp) ^ 

me on doit avoir au fbmmet -^ iz — r & la denfité m x , on fera 

dx % h' 

h ZH n ^ % -^ 
I rang ^ iz ^ • % H. 

n faudra donc examiner fi on peut donner à n une valeur telle que 
— ' j — Y^ ne (bit pas trop variable depuis le fommet jusqu'au point 

de chute. Si cela eft, on mettra pour y la hauteur du jet, & on refondra 
par les fauffes pofitions l'équation 

6q. Si l'on fuppofe n infini . la denfité devient rr-: :« & l'équa- 

y . V(i+ ppy ^ 

tion précédente (e change en celle-ci 

équation à la logarithmique qui eft par confèquent une limite des hyperbo- 
les de tous les genres. La denfité fera condamment trop petite dans cette 



SUR LA QUESTION DE BALISTIQUE && 



3$ 



courbe 9 & par confëquenc Tamplicude trop grande. Néanmoins fi l'angle 
de chûce n'eft pas fort grand , on voit que la denfité fera fenfiblement con« 
ftantey furtout vers le fommer^ ce qui donnera l'amplitude aflez exaûemenc 

70. Dans notre exemple Tangle de chute étant de 7 4^, la formule 
précédente feroit trop défeâueufe. Auffi en faifant y ZZ i^BS^^^S^^» & 
K ZZ 0,400707, on trouve x zz 191^94859 réfultat trop grand, 
mais qui n'eft cependant pas fort loin de la vraie amplimde i , 1 5 3 1 4* 

7 1. Si l'on (iippofe n plus grand que l'unité, on conçoit qu'on aura 
des réfiiltats moyens entre celui de l'hyperbole ordinaire , âc celui de la lo« 
garithmique. Ainfi en faifant n zz X| on trouve dans notre exemple' 

X zz "L.^llS^ 

7 2 • Si l'on fuppofe n plus petit que l'unité , mais pofitif , l'amplitude 
diminuera à mefure que n fera plus petit. Ainfi dans notre exemple où l'hy- 
perbole ordinaire donne un réfultattrop grand, parmi les valeurs fraâionnai- 
res de /i il y en aura une qui donnera île vrai réfultat. Soit n zz f» on 
trouve X zz 1,1^1x7, qui (e rapproche de la vraie amplitude. Soit 
n ZZ Yôy on trouve x — - 1,1518 qui ne difière presque plus de la 
vitefiê^ & qui paroît s'en écarter dans un autre fens. Il y auroît d'autres 
cas où en diminuant n même à l'infini , on ne feroit qu'approcher du vrai 
réfiiltat, (ans y tomber jufte. 

73* Enfin fi l'on fait n infiniment petit, l'équation de l'hyperbole 
devient 

jc + A> zz — 4 L (i — ^ x) 

autre efpece de logarithmique qui eft la féconde limite des hyperboles de 

tous les genres. La denfité néceflàire pour la décrire eft -^ ; auffi 

^ ^ V(i +ppy 

retombe- 1« elle précifément avec celle que nous avons trouvée ^5 ^). L'arn* 
plitude qui en réfulte dans notre exemple eft 1^1^86 1^^ Elle (è trouve 
un peu plus jufte que celle du n^ 6 1 par les raifbns que nous avons déjà 
alléguées (6z). 



\ 



V^ÀiXly 



^ ^-— . 



£ a 



<j 



3^ DlSSBRTATIOA 

Équation de la trajeâoire lorsque V angle 

de pfojeclion ejl petit. 

74. Les méthodes précédentes, furtouc la (èconde, approchent d'au*- 
tant plus de la vérité que l'angle de projeâion eft plus petit. Mais comme 
cette fuppofîtion ne les (implifie pas, je donnerai d'autres formules fuflifkm* 
ment approchées , & plus faciles à calculer. Pour cela je prendrai la den« 

fité zz ^ , quantité qui variera fort peu fi p rcfte toujours 

afFez petit. On aura donc — ^ zz -j-p d'où réfultc p zz tangtf 

X 

I /• côf# \ * 

X 

y zz (taog t + -^) X — f^ (.~^' — i). 

75. Si on nomme X l'ampticude de la branche afcendancc de P* la 
hauteur du jet, on aura . 

X zz coU L {i -{- %hùn6) 

On trouvera l'amplitude totale en faifânt 7 ZZ o & réfblvant l'équation 



X 



(i -I- 2 A fin —m ZZ c ^^ — !• 

7 6. Ces formules (ont fort fimples ^ mais pour fe procurer une plus 
grande exaâicude lorsque Fangle de projeâion ne fera pas Ki petit , il fera 
bon de calculer féparément la branche defcendante. On cherchera donc la 

hauteur due à la vîtefle au (bmmet par la formule ordinaire -— zz t — r — s 

fin ê 

-j -TTê + ^ ^^g (45^+ 2 ^)j & on refondra l'équation 

I -f- X hly ZZ t' — X 
dans laquelle on mettra pour y la hauteur du jet trouvée par la branche afccû* 
dante. Cette équation eft déduite de la formule générale (74) en faifanc 



SUR LA (Question db BALiSTiquE Sec. ^f 

ê ^in o & changeant le iîgne de y. D'ailleurs elle s'accorde parâice- 
menc avec celle que nous avons trouvée (6^^ pour la limite des hyperboles. 

77» Quant au degré de précifîon de ces formules^ il fera d'autant phis 
grand que l'angle de projeâiôn fera plus petit. Dans la branche afcendante, 
la denfîté croîtra depuis le point de projeâiôn où elle eft i y jusqu'au (bm- 

met où elle cft — t7* ^^^^ l'amplitude de cette branche & la hauteur du 

jet feront trop petites. Si on calcule tout d'un coup l'amplitude totale, la 
branche defcendante fe trouvera alFeâée de deux erreurs; i^ parce que la 
viteiTe au fommet eft trop petite , 2^ parce que la denfîté eft trop grande 
depuis le fommet jusqu'au point où l'inclinaifon efl & comme au point de 
projeâiôn. Elle diminue à la vérité dans le refte de la branche defcendante, 
mais pas afiêz pour procurer une exaâe compenfation. Cette méthode 
donnera donc les portées trop counés; mais en calculant féparément la 
branche defcendante , on reâifie la viceffe au fommet & comme en même 
tems la denfîté devient crop petite dans toute la branche defcendante , l'arn-» 
plitude en efl augmentée, ce qui pourra corriger l'erreur de la branche 
afcendante. On voit par ces raifons , que pour obtenir une grande appro- 
ximation de ces nouvelles.formules, il ne faut pas fuppofer l'angle de pro« 
jeâion plus grand que 1 5 ou i o^, & il faut avoir foin de calculer féparé- 
ment la branche afcendante & la branche defcendante. 

Exemple L 

78. Pour voir cependant quelle feroit f erreur de cette méthode , fî 
on l'appliquoit à de plus grands angles de projeâiôn, nous prendrons, comme 
à Pordinaire A ZZ i o & ^ ZI 45^ On aura l'amplitude totale en réfol- 
Tant Téquation 

(i + 10 1/ a) X 1/ a =1 ^'^^— I 
qui donne x zz ^994043* Or la vraie amplitude eft 3>i955<^7« 
.^nfi cette méthode donne la portée trop courte d'environ ^. Mm fi 
nous calculons féparément la branche afcendante & la branche defcendante, 
nous aurons une plus grande approximation. L'amplirade de la branche 

E 3 



38 DiSSERTATIOK 

•(cendante (èra 1,91155 , & la hauteur du jet 1,3503a; quantités trop 
petites l'une & l'autre; cependant la hauteur du jet ne diffère de la vérité 
que d'environ j^. On trouvera toujours par ce moyen la hauteur du jet 
plus approchée que l'amplitude de la branche afcendante, parce que la deç-* 
fité n'efb (ènfiblemenc défeâueufê que vers le (bmmet, ce qui influe peu (ur 
ta hauteur du jet. Pour avoir maintenant Tàmplitude de la branche defcen* 
dante, on refondra Téquation ' .. 

2 h' y -f- I ZZ e* — ^ X 

dans laquelle A' zi 0,400707 & y zi i,3 5 o3x. On aura donc x m 
X 9 ^ 8 3 4^ 9 & l'amplitude totale m 3 , i o 5 o i , qui n'eft pas fort éloignée 
de la vraie amplitude 3,15^5 5 (^7. Elle eft encore trop petite d'environ 
y;. Nous obtenons par ce moyen l'amplitude & la hauteur du jet avec une 
approximation presqu'égale de qui fuffiroit dans bien des cas. 

EXBMPLE IL 

7^. Si la méthode précédente n'éloigne pas beaucoup de la vérité 
lorsque l'angle de projeâion efl de 45 ^, elle doit être infiniment phis appro« 
chée lorsque l'angle de projeâion efl: périt. Pour nous en aflurer plus po« 
iirivement, nous fuppoferons h ZZ 10 ôc ê zz lo^ On trouvera d'abord 
l'amplitude de la branche afcendante X ZZ 1,475 1^3 , ôc la hauteur du 
jet y ZZ 0,1 (^i 3 89* L'amplitude totale fe trouvera direâement en ré(bl<- 



cof 10 ^ 



vantl'équadon (i 4- lo fin 10®) — : — r zz e — i, d'où 

^ ' col 10" ' 

réfiilte ^^jr^ ^^ ^9^99989^ 6c X zz a,4(Jioox. Nous (avons 

d'avance que ces réfultats font trop petits, il faut voir de combien ils le font. • 
8 o • Je calcule ces quantités par la troifieme méthode , & je trouve 
A" zz; i>478o37, P" m 0^161^60. Il n' y a donc que j^ de dif- 
férence fur l'amplitude de toôô ^"^ '^ hauteur. L'erreur doit être un peu 
plus grande , parce que la méthode troifieme fuppofe auffi la réfiftance un 
peu trop grande. Mais le maximum de la denfité n'étant que i -^y^^ on 



/ 



SUR lA QUESTION DB BALISTIQUR dcC. 3f 

I 

'?ott €pc U point de comparaifon dont nous nous femmes fcrvis^ ne peut pas 
être (bnfiblement éloigné de la vérité. 

8 1 • Pour vérifier l'amplitude totale , je calcule féparément la branche 
defirendante en réfolvant Téquation xA'y-f- i iz e' -~ x^ dans la- 
quelle A' ZZ ^91854^7 m Oji6i$6o. Jcttouvcx zz Oy^^%S$^% 
quantité qui doit être un peu trop grande. Ajoutant l'amplitude de la 
branche afcendante 1,478037 qui eft un peu trop pedte, j'en conclus 
l'amplitude totale ^9470^ 3 3 qui doit être fort approchée. Mais en fè (er- 
vant de la méthode III n°. 5 8 » on trouve x zz o,^^ < 5 77 1 ^'où réfulte 
l'amplimde plus exaâe X|4<^^â^i4. 

8 ^• Donc fi on calcule direâement l'amplitude du jet par la méthode 
du n\ 7 5 I on trouve le réfultat 2,4<^iooi trop périt de j^« Si en fiii* 
yanc la même méthode, on calcule iëparémenc la branche defeendante^ 
f amplitude qui en réfulte 2,4(^7750 eft trop perite de 77^ feulement» 
Quantàlahauteur dujet 0,1 (^i 3 89» elle eft trop perite auffi d'environ 77^* 

Calcul des Tables. 

83* C'eft d'après ces différentes méthodes que nous avons calculé 
les Tables qu'on trouvera à la fin de ce Mémoire. Nous aurions biea 
défiré les rendre plus complettes, en ajoutant le tems de mouvement | 
Fangle de chute ^ ôc furtout la quantité dont l'amplitude augmente lors^ 
que la denfité diminue. Mais ces différens objets exigeant un travail im** 
menfè, & le tems prefcrit par l'Académie étant près d'expirer, nous n'avons 
pu l'entreprendre. 

Si on examine les différences de nos réfultats , on trouvera qu'elles 
a'onc point l'uniformité qu'elles devroient avoir, fi tous les calculs étoient 
fidts fiir une même formule. Ceft que nous nous femmes fervis de diffih 
rentes méthodes fliivant les différens cas. En général , l'amplitude & la 
hauteur du jet font exaâes à moins de -—y fouvent à moins de 7^^^* Les 
hauteurs des jets fent trop perites jusqu' à environ 45^; il en eft de même 
des amplitudes de la branche afcendante: mais l'amplitude totale eft tantôt 



. I 



40 Dissertation 

trop grande 9 tantôt trop petite, ce qui occalionoe des irrégularités datit 
ks différences fans que le calcul en foit moins jufte. 

84. Nous aurions pu fans beaucoup de peine augmenter confidé^ 
rablement le volume de ces Tables , en les interpolant de degrés en degrés^ 
& de ^xiemes en dixièmes pour les valeurs de L Mais ce travail n'en aa« 
roit pas eu plus de mérite. Nous avons mieux aimé préfenter ces réfoltatSy 
tels que nous les avons trouvés, indépendamment les-uns des autres. D'ail^ 
leurs ces Tables ne font encore qu'une pure (péculation, jusqu' à ce que l'ex- 
périence nous apprenne (i la réfiftance eft fimplement proporuonnelfe au 
quarré de la vttellè, ou fi elle renferme d'autres termes dont nous n'avons 
pas tenu compte. Mais quand même notre hypothefe feroit conforme à 
l'expérience, il faudroit toujours avoir égard à la diminution de denfité 
dans la parde fupérieure de la trajeâoire, diminution qui êfl: très fenfiUb 
dans plufieurs cas de k Baliftique. 

Comparai/on des méthodes précédentes avec celles 

de M, M. le Chevalier de Borda & Bé^out. 

85* Nous avons déjà vu (^ 5 & fuiv.)» en adoptant la méthode de 
M. le Chev. de Borda par la branche defcendante , que cette méthode don* 
noit l'amplitude avec une exaâitude fuffifante , pourvu qu'on prît cl aatre« 
ment que ce (avant géomètre. Car en prenant cl de manière à faire coïn- 
cider les denfités extrêmes, il en réfulte dans exemple — d'erreur fur tàm^ 
plitude (^3); erreur qu'on peut diminuer confidérablement en attribuant 
à ce la valeur convenable. Quant à la méthode de M. le Chev. de Borda 
pour la branche aifcendante , elle fuppofe k denfité repréfentée (embkbk* 

ment par -7-- -. On peut voir les formules de l'Auteur dans les 

^ V (,1 + PP) ^ 

Mém. de fAc. des Se. de Paris pour l'an. 1 7 <^9 ; il fuffira d'en préfentor fe 
réfoltat dans notre exemple. Lors donc que h iz 10 6c zz: /^^% 
on trouve par cette méthode Tamplitude de k branché afcendante X z:z 
i,^^ 8 o ^4 , âcla hauteur du jet JT iz i >3 8 1 74<^- Or les vraies va» 

leurs 



SUR LA QUESTION DE/ BALISTIQUE &C. 4X» 

kurs de quaodcés , du moins celles que nous (avons écre très proches des 
véritableSy fbntX zz 1,0414.23, V zz i,3975- Il y a donc en- 
viron -^ d'erreur fur Tamplitude & -^ fur la hauteur ; d'où il réfulte que ces 
formules approchent moins de la vérité que celles de notre méthode UL 
i%i}* Un feul exemple ne fuffiroit pas pour drer cette conclufion; mais (ion 

compare les deux formules de denfité , — — ôc , • -: % 

on verra facilement que la dernière eft la moins variable. M. Iç Chev. de 
Borda prbpofe d'abord une autre méthode pour calculer la trajeâoire dans 
toute Ton étendue: c^eft la même que nous avons donnée pour les pedts 
angles de projeâion (74). 

8 <^* M. Bézout dans (on Cours de Math, à l'ufâge de l'Artillerie (tom« IV. 
prend une route différente. U rejpréfente la trajeâoire par l'équation d x m 

, & détermine les coëfliciens a & ^ de (brte que la viteflè ininale & 

la vitefle au (brnmet fbient les mêmes que dans la vraie trajeâoire. La 
denfité que cette méthode fuppofe eft ' - ■ , quantité qui varie depuis 

a eof^ jusqu'à a dans la branche afcendante, de encore plus dans la branche 
defçendante* Ces variations , qui font fort fènfîbles lorsque l'angle de pro- 
jeâion eft un peu grand , niufent beaucoup à l'exaâitude de cette méthode. 

Il eft vrai que la valeur de a qui eft entre i & — rg, fert en partie à cor- 
riger les erreurs. Mais il y a un grand inconvénient \ fuppofer la denfité trop 
pente au point de projeâion ; la moindre diminution en ce point peut in- 
fluer beaucoup fiir le refte de la trajeâoire. Auffi la méthode de M. Bézouc 
donne- 1 -elle les portées fenfiblement trop grandes. 

87. Sans rapporter les formules de l'Auteur, nous nous contente* 
rons d'en indiquer le réfultat. Lorsque A zz ip, & ^. ZZ 45 ^ elles 
donnent l'amplitude de la branche afcendante X zi 2.,! ^89^9 & 1^ ^^u** 
tcur du jet K ZZ 1,5 1 93 1 <$^; quantités trop grandes, l'une de -j^, l'autre 
de 77. L'amplitude totale fe trouvç par la même -méthode de 3,40 3 9 4^9 
<^ ne di&re que de /, de la vraie amplitude 3)X95 5 ^7«^ D'où il fuit 

F 






4X Dissertation 

que . Peireur (ur la branche defcendante eft moindre que fur la branche 
aicendance. 

88* La méthode de M. Bézoûc a beaucoup d'analogie avec la mé- 
thode que nous avons donnée pour les petits angles de projeâion; elles 

coïncidcroient entièrement û M. Bézout eût pris a zz -—7. Et comme 

* col tf 

nous avons trouvé dans le même exemple (yS)-^!!! i,9ii55&I^IIZ 
3 ,3 5 03 1 1 il eft clair que notre méthode a de l'avantage fur celle de M. 
Bézout pour la branche afçendante. Quand on calcule direâement Fam- 
plitude du jet, (ans conpoitre la branche afcendante, la méthode de M. 
Bézout donne 3,4o3^4($^&lâ nôtre 2,94043; ainfi le dé(avantag)e eft 
de notre côté. Cela vient de ce que la vîtefTe au (bmmet n'eft pas exaâe 
dans notre méthode comme dans celle de M. Bézout. Âuffi avons -nous 
aveni que cette méthode ne devoit être employée que pour de petits angles 
de projeâion, ou du moins qu'il falloir la reôifier en calculant féparément 
la branche defcendante. Il en réfulte alors pour Tamplitude totale 3> 1.0 5 o i ^ 
& l'erreur eft deux foi$ moindre que celle de M. Bézout. Il en eft do 
même de la hauteur du jet^ qui eft deux ou trois fois plus exaéte par notre 
méthode. 

89. Comparons encore ces méthodes lorsque l'angle de projeéHon 
eft plus petit; elles doivent l'une &c l'autre approcher davantage de la vérité. 
Je prends comme au n^ 75^, A zi 10 &, 6 zz lo^ Il en réfiilce 
fuivant M. Bézout l'amplitude de la branche afcendante^^ zi i>5o3883^ 
la hauteur du jet V ZZ 0,1 ^4^3 5, & l'amplitude totale zz 2,5 06 j 53. 
Ces différentes valeurs font trop grandes de -^^ ce qui eft fort loin du de* 
gré d'exaâitude de notre méthode (8 ^)« 

Manière d^ avoir égard au changement 

de denjité. 

50. Les boulets de canon pouvant s'élever jusqu'à 8 ou ^00 toiles 
dans ratmofphcre, on conçoit que dans la partie fupérieure de kar cra- 



gXTK LA <;^0RSTIOK Dlj BAIXSTlQUé &C. 



45 



jeftoiroi la réfîftaocc doit itre fenfiblemeoc dimiouéc. U faudra donc ap« 
porter quelque changement à nos formules , (i nous voulons avoir égard à 
cette diminution de dcnfîcé. 

^T. Ici la première méthode ne nous eft d'aucun (ècours* Car 

s 

Féquation e z= i -^ &c. fur laquelle elle eft fondée i n'eft vraie quie 

|K>ur le premier élément de la trajeâoire. On en auroit 2i la vérité une 
(èmblablc pour les élémens fui vans : mais il faudroit changer à la fois k^ k 
èc6^ ce qui produiroit beaucoup de complication & fort peu d'exaâicude. 
Au contraire la féconde méthode (30) s'applique ici tout naturellement* 

n n'y a que la quantité « à changer dans la formule rrp— — — — . On fuppo* 

i^ra toujours que la denfité èft i au fommet; alors k^ qui jusqu'à préfent a 
repréfenté Tunicé, fera i au fommer, & — au point de projeâion , A étant 

A 



Xcofô — cof* B 



& il 



la denfîté à ce point. On aura par ce moyen « r~â^/5 » 

faudra avoir attention de déterminer h fuivant l'unité fuppofèe. Le calcul 
fait, on changera, fi Ton veut, les réfultats en prenant pour unité la valeur 
de k au point de projeâion. On éviteroit ce changement d'unités en don* 

nant à la denfité la forme -^v-: — -^— , & déterminant les coëfficiens et , f3 



au fommet. 



V (I +p») 
do manière que la denfité fut i au point de projeâion , & — 

A 

Mais l'exemple fuivant fera voir qu'il n'y a pas d'inconvénient à laifier les 
formules trouvées telles qu'elles font. 



E X E M F L B. 



^x. )e fuppofe que la denfité au fommet eft à la denfité au point de 



10 k, 6 



45 



projeâion 1:4:5, ôc fuppofant toujours h zz 
je cherche l'amplitude du jet. 

Si la quantité variable k eft fuppofce i au (bmmet, fa valeur au point 
de projcâion fera j; on aura donc hzzS^^ZZ'^&ttzz^V^ % — !• 

F X 



44 Dissertation 

Plus calculant 1 amplitude du jet comme au n^ 39, on trouvera x in: 
%y6^ 5 I 5 X. Mais fi on prend pour unité la valeur de k au point de pro* 
jeâion, en forte que la denficé foie i à ce même point & j-aufommer^ il faudra 
multiplier la valeur de x par ~, &, on aura l'amplitude x zz 3)3 6^8 9 40. 

^3. Lorsque la denfité efl confiante ) l'amplitude ZZ 3ii 95 5^7* 
D'où il fuit que la denficé diminuant de | vers le fommet, l'amplimde 
augmente d'environ -^ dans cet exemple. Mais il faut examiner avec quel 

deeré de précifion la formule -7-- ^-— repréfente la denfité. 

^ 4* Soit la denfité i au (bmmet & A ou -^ au point de projeâion. Dans 
la branche afcendante il faut que la denfité décroiflè continuellement depuis - 
jusqu'à I ; un maximum ou un minimum tronbleroit l'exaâitude de nos for- 

mules. Or e£Feâivement le minimum de la formule — ^ auroit lieu. 

fi on pouvoic avoir p * rz — — ^• Mais cette quantité efl négative 

dans le cas préfent où «t m -^ 1/ 2 — i. Donc la denfité décroît 
continuellement depuis le point de projeâion jusqu'au fommet, ce qui con« 
vient parfaitement h notre hypothefe. Ainfî nous pouvons être fûrs que la 
branche afcendante 2c la vitcllè au fommct feront déterminés très exaâement 

dans notre exemple. Maïs fi on avoit A < i ~ — la denfité décrois 

a col ff ' 

troit trop rapidement jusqu'à (on minimum^ qui fèroit plus petit que l'unité. 
Néanmoins ces petites inégalités n'empécheroient pas que la branche afcen- 
dante ne fût calculée dfTez exaâement. 

^5. Quant à la branche de fcendante, elle fuppofe la denfité trop 
grande dans toute (on étendue, puisqu'à 45 ^ d'inclinaifbn, ce qui efi: encore 
loin du point de chute , la denfité eft^^ comme au point de projeâion. Il 
ne faut pas croire cependant qu'en vertu de cette caufe l'amplitude fbit fort 
augmentée ; comme la denfité fera toujours vraie dans une étendue fcnfible 
vers le fommet, il n'y aura que l'extrémité de la trajeétoire de dé&Aueufe^ 
âc c'efl celle qui influe le moins fur l'amplitude. Au refte on pourroit^ 



Sun LA, QUESTION DE BALISTIQUE dcC 

pour plus d'exaâitude , calculer féparément la branche defceadante en pre« 
nant une valeur plus petite de a. 

^6. Eilayons maintenant fi la troifieme méthode ne nous^meneroit 
pas au même but d'une manière plus fimple. D abord la formule 

qui Tepréfentoic la denfité dans la branche a(cen- 



V (I— ^p) V (I +pri 

dante, peut s'appliquer au cas où la denfité eft variable. Au lieu de prendre 
« — fin ^ cof ^, on fera en forte que la denfité foie A au point de projeâion^ 

ce qui donnera « zz :: ;;— . Le maximum de la denfité aura Beu 

lorsque p zz ^ — K Çj^ — j). D'où il fuit que fi « > :^ , 

il n'y aura point de maximum , & la denfité décroîtra continuellement de- 
puis le point de projeâion jusqu'au fbmmer. Dans notre exemple ^ zz 4 5 *» 

A zz 7 , ce qui donne a iz — > -rr— • Donc il n'y ^ura pas de 

maximum & la denfité fera repréfentée exaâcment par notre formule. Il 
en feroit de même fi ô étoit plus petit. Mais fi on avoit, par exemple 

tf ZH ^o®, quel que fût A, a feroit plus petit que --r— & par conféquent 

il y auroit à la fois un maximum & un minimum. Dans le cas préfent où 
A zz \y ^^ minimum auroit lieu à 5 x^ d'inclinaifon, il feroit 0,984* 
Le maximum répondroit à 17^ & feroit 19035» Au refle fi la denfité 
paroît diminuer afTez rapidement pour qu'à 5 x^ d'inclinaifbn elle foitdéj^ 
moindre qu'au fommet, la portée n'en doit pas être fort augmentée. Car 
il faut ique le projeâile parcoure environ la moitié de Tamplitude de la bran* 
che afcendaotCy avant que fa dircâion fbit changée de 8^* Ces inégalités 
ne doivent donc pas faire craindre de grandes erreurs , & n'empêchent pas 
que notre méthode ne foit ^dmifSble pour des angles de projeâion même 
au defilis de ^o^ 

^7. Comme on a fubftitué la valeur de a dans les formules du n^ 51*, 
& que cette valeur efi maintenant différente ^ voici celles qu'il convient 
d'employer. 

F 3 



4^ DlSSBRTATXOlV 



a, 



, c 



A^tangfl ' "^ A 4icor*# 

coftf 



X=._'^+CL(.,,^^) 



r = (. - o - - - t»g< - _ (i - ^. 

98* Ces formulei donneroac l'amplitude de la branche afcendante 
& la hauceur du jet* Four calculer Famplicude de la branche defcendante, 
il faut commencer par déterminer la hauceur h' due à la vîcefle au fommec. 

Nous la trouverons par la raleut de -^ au fbmmet, & nous aurons (51) 

I I — c • ' 

— =1 — ^ — • Mais la formule de la féconde méthode (33) nous don* 

oera plus exactement cette valeur àe ^y & mettant la valeur de u qui lui 
convient (91)1 nous aurons 

- ;= -^ + ^ tang 6 4- "^^'"^ 
Xa raifoo pour laquelle nous préférons cette valeur de A', c'eft que la for- 
mule -; ^-r- ne change pas fenfîblement vers le fommec. ce qui cft 

V(i+p*) 

plus eonforme à la vraie dcnfîté. Il faut avouer qu'il y a fur cet élément un 
peu d'incertitude; car il ne fuâît pas que la denfîté diminue depuis le point 
de projeâion jusqu'au fommet, d'une quantité donnée, il faut encore con-* 
noitre la loi de cette diminution, & chaque loi que l'on fuppofera, donnera 
un réfultat différent pour la vîtefle au (bmmet. Si on étoit fcrupuleux là- 
deflus, on pourroit calculer les denfités qui répondent à différentes valeurs 
dey, & voir dans quelle hypothefela diminution de denfîté feroît plus exaâe- 
ment proportionnelle à y. Çeft cette hypothefe qu'il faudroit admettre. 

^^. Cela pofë, nous repréfenterons la denfîté dans la branche defcen- 
dante par vV ^^ -. » ^ P^"^ qu'elle foit A au point de chute où je fup- 

pbfc p ~ m, il faudra prendre a ~ TULHl^ Mais comme 



SUR lA <^tJÊSTION DS BAX.XSTIQVB &C. 47 

la denfîcé a un maximum^ qui cft V^ (i -|* ^^) lorsque /i ZZ ^9 il f^ut 
faire en forte que « ne (bit pas trop grand, afin que 1/ (i -f" **) o^cxcede 
pas K Dans les cas où a feroit trop grand , il faudroit prendre pour m la 
tangente d'un angle moindre que Tangle de chute. Cela fuppoferoit que la 
denfité eft A un peu avant le point de chute , & il n'y a pal d'inconvénient. 
Oh pourroit encore diminuer A ; mais la meilleure manière » lorsque A eft 
fenfibiement au deflus de l'unité, c'eft de fuppofèr \/ {i +«flt)zzA, 
on A zz V^ (A* — i). Ainfi dans notre exemple A étant ^, on 
jprendra ^ ZZ \. Fuis elle diminuera jusqu'au point de chute où elle (èra à 
peu près i comme au fommet. Par ce moyen l'amplitude fera diminuée de- 
puis p ZH o jusqu' à p n -^ ; & elle fera augmentée dans le refte de la 
courbe ; d'où réfultera une efpece de compenfadon» Il paroit cependant 
que Famplitude fera trop petite , & qu'on feroit encore mieux de prendre 
ce un peu plus pedt. En effet la denfité depuis le (bmmet jusqu'au point de 
chute , (è trouvera toujours comprife entre les limites i & 7 » comme on 
le défire ; mais elle fera la plus grande dans les points qui ont le plus d'in« 
fluence fiir Famplitude. 

]E X Ê M P L B. 

100. Les mêmes chofes étant fuppofées qu'au n^. ^x, je trouve par 
les formules précédentes (^7) l'amplitude de la branche defcendante X =Z 
1^6^^ 1 8 J > & Id hauteur du jet K H: i ^ i 5 1 7 (^7 • Enfuite la formule 

du n^^8 me donne — zz 2,7 (^ 18 44 1 & comme « fuivant le n^ précé- 
dent doit être 4 ou un peu moins ^ je prends b zz i Çn^^ ^o). H en 
réfiilte » ZZ a A', & l'équadon à réfoudre pour trouver l'amplitude de la 

bi^andie defcendante, eft 0,83405^ -j- x zz -— x L f — ^ — ^V^J* 

Je trouve jr m 0,(^5^(^7301 & par cooféquent l'amplitude totale ZZ 
^f^9 5 ^ ^ 3 • J'augmente ces réfiiltats de ^^ afin d'avoir leurs valeurs en prcr 
nant pour uni^ le k du point de projeâion. 



48 DiSSBRTATIOM -^ 

: J'ai TampHcude de la branche afcendance - x^ix^^j^ 

la hauteur du jet - • • ^A397^9 

l'amplitude de la branche alceodante - 1^x^45 ^i x 

l'amplitude totale ... 3)3^98^^ 

Oo voit que l'amplitude s'accorde parfaitement avec celle que nous avons 
trouvée par l'autre méthode (^i). Cet accord vient non de l'exaâitQâe 
parfaite des deux méthodes ^ mais de ce qu'elles s'écartent de la vérité dans 
le même fens. Car elles donnent toutes deux l'amplitude trop petite , & 
fi nous fommes (ûrs qu'elles approchent beaucoup de la vérité^ nous ne pou- 
vons pas cependant dire que ce foit à ~^ près. 

Remarque. 



loir M. Bézout dans (on Cours d'Artillerie (pag. 445) donne une 
méthode pour avoir égard au changement de denfité. Il fuppofe que la 

trajeâoire a pour équadon dx zz -7—^9 A 6l B étanp des confiantes. 

ddo A 

Mais il en réfulte que la dcnfité — -r- ^^ -7 :♦ quantité qui bieo 

loin de diminuer vers le (bmmet, eft au contraire la plus grande en ce 
point. M. Bézout détermine les confiantes A Se B de manière que la vi- 
tefle initiale foit ce qu'elle doit être , & que la viteilè au fommet (bit due à 

D 

une hauteur — H, Il défîgne par D & 27 les denfités au point de pro- 

jeâion & au fommet, & par H la hauteur due à la vîteiTe au fommet dans 
le cas d'une dcnfité uniforme D. Cette hypothefe n'eft appuyée fur aucun 
fondement certain , & il paroit que l'Auteur en fe fervant de l'éqùadon 

ijp = — dtangH:^C — tang'« (| fec H + ^ cot HL rang (4J® + i ») )) 

d^a pas fait attention qu'elle fuppofoit la dcnfité confiante , jpuisqu'elle réful- 
toit d'une intégradon# ]VL Bézout calcule féparément la branche defcen- 
djinte , mais fuivant les mêmes principes qui nous paroifTent vicieux. 



SUR LA QUESTION DB BALISTIQUE &a 4^ 

Nous avons voulu voir jusqu'à quel point ces Yuppofîciôns éloigne- 
îoieot de la vérité» En conféquence nous avons calculé la trajeâoire do 
Pexem^le précédent par la méthode de M. Bézout. Nous avons trouvé. 

Usthiplitude de la branche afcendante - %y%6i% -^ 

la hauteur du jet - - • - 1^733 

Tamplitude de la branche defcendante - i^i 3 1 x 

l'amplitude totale - *• ' - 3,(^9 xy* 

D^où il fuit (100) que la hauteur du jet efl trop forte d'un cinquième^ & 
que l'amplitude eft environ trois fois plus éloignée de la vérité que celle 
<lu'on auroit en ftippofant la denfité confiante & la même qu'au poiiic 
de projeâion» 

Formules pour déterminer le tems. 

lox. La féconde méthode , où nous avons (uppofé la denfité zz 
V ' ^^ a > ^^ °^^' permet pas de déterminer Texprcffion du tems« Car 
la formule dpdjc zz — gàt^ donnant dt]/ g ::z V^ (— dpdjc); 
û on fubftîtue la valeur de d jc (3 3), onzdt]/ g ZZ ^ 

• *'("-' -7' V* 

quantité qui n'eft point intégrable par les méthodes connues» Heureufo- 
ment que la croifieme méthode (47) eft plus traitable: mais il faut calculer 
féparément le tems de la montée & celui de la defcente. 

Tems par la branche afcendante, 

lo?. OnauraC< i) df K — — ZlJl . Soit 

V (i — ap) — C z: «', on aura dr K — = -^ («'-f C) d»; 

CL €t 

tfoù réfulte 

' ^" T = i (t + ^0 - t(j^ù^> + C). y-^^' 

G 



f« DlSSSKTATIOH 

_ « 

AppeHatit doiic Tlctcmsûc la montée, on aura 

La quantité g eft 3o,x pieds, mais on aura foin^ de la réduire à la mémo 
unité que h^àc alors T exprimera des fécondes. 

Exemple L 

_ ♦ 

104. JefuppofeA iz io,^ZZ45^ & le milieu d'une dehfité 
uniforme, ce qui donne <t zz fîn ^ cof û ZH \. Soit déplus l'unité 
k zz 3750 pieds, en forte que la vîtefle initiale qui eft due à la hauteur 
I o A:, foit d'environ 1500 pieds par féconde. Four trouver le tems de 

la montée on fera g HZ ■ , & on trouvera T li; 14'', ^4* 

Exemple IL 

10^. Si on fuppofe que la denfité diminue à mefure que le corps 
monte, en (brte qu'elle ne foit plus que - au fommet, tout reftant d'ailleurs 
comme dans l'exemple précédent , on prendra ^^ =1 77, A m 8 parce 

que runicé change ^ icg ZZ — . -i— - par la même raifbn. D*où Ton 

«ooclura 7" =I 15") 39. 

Tems par la branche defcendante. 

1 06. La deoficé étant ,'^*\, on a (5 €) ^' - ^' +«'')*-^* 



V (I +FPr ^' * Ax a a 

a 



Boncdfl/^ ZZ V [(, +^f)'''--g'3 ' ^ «n intégrant f K 

^i "^ ^'^ ^ ^^^ "L^gai* " '0 ' ^<*"""^® 9™ donnera le tems dcuh 
delcente en mettant poqr/> la tangente de Fangle de chûte« 



SUR £A QUBSTIOK DS BAtlSTIQTTB &C. 51 

Exemple L 
107. Soit comme au n® (îi, « iz V" i — i, /> 74^ ZI taog 
C* ZI — 0,03 37 !• Soicdeplu$^ ZZ -^^j la deoficé étant coa* 

fiante, on aura r m 2 1 ''^o 3 . La vicefle étant moindre^ il n eft pas éton* 
nant que le/tems de la defcente foit plus long que celui de la montée. Les 
deux tems réunis donnent 3 ^" ^n nombres ronds. Si l'on vouloit plus de 
précifion , il faudroit chercher une valeur plus exaâe de fangle de chute. 

Exemple IL 

I o 8 • Pour calculer le tems de la defcente lorsque là denfité diminue 
de j au fommet, on prendra les mêmes valeurs qu'au n^ 100; on fuppo- 

fera de plus g ^^ -^-^ & p ZZ tang 74% ce qui donnera t zz %x\^'i. 
Donc la diminution de denfité augmente le tems total d'environ i'\3. 

Formule du tems lorsque F angle de projeâion 

eft petit, 
100. Dans ce cas nous avons (74) — iz — — i— - t ^^* . 



d* *cofl 



Donc At'V %gh zz —Tn ^ ^^ • D'où Ton tire 



tV\gh zz «'"'* — I. 

* _ 

Formule très fimple qui donnera t en fecondes, fi' on exprime g avec la 
même unité que^A. 

Exemple L 

iio. Soit comme au n^ 75, h zz 10, ^'^ZZ 10°. Soit de 
plus l'unité k ZZ 375^ P^^^^ > ^ on demande le tems total du mouve- 
menty on fera x zz 2|4^X| &oa trouvera r ZZ, ix",4i« 

G 1 , 

f 



N 



51 I DlSSSRtATION 

Exemple* IL 

îii. Soit encore A: zz; 3750 pieds, h zn 10, mais ^ ZZ 45^ 
Si on prend l'amplitude trouvée (78) Savoir x zz 2.,^ 4, on trouvera 
t zz 34",8^» Or nous avons trouvé 3^" par une méthode plus exaâe« 
jOn voit donc que la formule précédente détermine le tems d'une manière 
àfHz approchée , même lorsque Taogle de projeâion eft grand , pourvu 
qu'on fubftîtue pour x l'amplitude trouvée tout d'un coup par l'équation du 
n^. 75* Car (i on eût fubflitué pour s^ la vraie amplitude 3>i^^| il en 
feroit réfulté t ZZ 4^^9 ij ce qui eft trop éloigoé de la vérité. 

De r angle dé la plus grande portée. ^ 

II2» Cet angle eft de 45^ dans le vide; mais il eft moindre dans 
un milieu réfiftant, & d'autant moindre que la réfiftance eft plus grande» 
On en jugera mieux par les Tables ci -après que par les formules prolixes 
que nous pourrions produire à ce fujet. Ainfî lorsque A zz ^ ou lorsque 
la réfiftance initiale vaut neuf fois lé poids du corps , on voit que l'angle 
de la plus grande portée eft entre 30 & 3 5^ mais plus près de 3 5. On 
trouvera facilement par les interpolations que cet angle eft de 31* 5 5'i> & 
que la portée correfpondante ZZ 5i^439* 

Expériences Jiir les portées des bombes et 

des boulets. 

113. Si nous avions une fuite d'obfcrvations exaâes (ur les portées 
des pièces d'Artillerie j nous pourrions maintenant décider fi la réfiftance eft 
fimplement proporàonnelle au quarré de la vîteflè, ou fi elle renferme quel* 
qu'autre terme dont nous n'avons pas tenu compte. Dans le cas où notre 
fuppofition feroit fuffifamment d'accord avec Texpérience, les Tables que 
nous avons drefli^es feroient des Tables de Baliftiqùe telles que l'Académie 
paroit les défirer. Il refteroit à lés étendre & à les interpoler pour d'autres 
valeurs de A ^ à fixer l'unité pour difFérens calibres , & à y ajouter quelques 



SUR LA QUBSTIOS DB BAtlSTK^UB &C. 



n 



élémens pour en rendre rufage plus commode. Nous codnoitrions. en 
même tems la force de la poudre & la réfiftance de l'air avec plus d'exaâi* 
tude qu'on n'a pu les déterminer jusqu'à préfcnc. Mais toutes <^es corinoif- 
lances nous manquent à la fois, faute d'obfervations fur lesquelles on puifle 
compter. La force de la poudre eft fi variable, elle dépend de circonftan- 
fiances fi minutieufes, qu'avec toutes les précautions poffiblcs^ les portées 
(bus le même ^ngle 6c avec la même charge jdifferent fbuvent entr'elles. 
d'un dixième 6c quelquefois plus. Il faudroit donc une quantité prodi* 
gieufe d'épreuves y pour avoir quelque degré de certitude (uf leur réfultat; 
et quand même on auroit des Tables drefTées avec toute l'exaâitude poifible, 
on pourroit toujours craindre dans la pratique un vingtième d'erreur fur 
les portées. 

114. Les Tables qui fuivent font tirées du Cours d'Artillerie déjà 
cité. Elles renferment diverfes épreuves faites à la Fere en 1740& 1771* 
On en a de plus récentes 6c fur difFérens calibres : mais les angles de pro- 
jcâion font trop petits^ pour qu'elles nous foient de quelqu'utilité. 



TABLE L 

Portées cPune pièce de 2,4 chargée à^^ de poudre^ le diamètre du boulet 




étant de 5^""'- f • 



Angle de pro- 
jeâion. 


Portée. 


Angle de pro- 
jeâion. 


Portée. 


1° 11' 


300 


So** 


1910 «^^ 


4 


gao 


35 


20X0 


ï5 


1(^75 


40 


2050 . 


ao 


1740 


45 


axoo 


2.5 


1815 


, 


/ 











G 3 



V ^ 



54> DxSSBRTATXOir 

TABLE II. 

Portées (Tune pièce de i/f chargée à S^ \de poudre^ le diamètre du 

boulet étant de s'\. 



Angle 

de 

pro- 

iedion 


Portées obfcrvécs 
dans plufieors épreuv. 


Portée 
moyenne 

toifes* 
^20 


Tems. 


Angle 

de 

pro- 

je<fHon. 


Portées obfervées 
dans plufieurs ^reiif . 


9 

Portée 
moyeAine 


Teini. 


5' 


cotfes. 

898 - - 910 
917 - - 94^ 


7" 

• 


40° 


toifes 
I8SI -- I913 

i^6f - • 1001 
1013 


toiles* 

1951 


3^"7 


10 


1199 -- izi8 
1x37 --1x73 


1x31 


loi 

4 


43 


114^ - - 11(^3 

117^ - - llIO 

1111 


XI83 


34 

1 


M 


1495 -- 1588 
16^50 -- 166^ 


1^00 


Ml 


45 


1955 •- 1031 

1040 - - 10^4 

ii(?7 


1058 


34 - 


ao 


1616-- 1^89 
.1783 -- 179^ 


i7i(^ 


^9 


50 


195 % -- 1972 

1980 -- lOOO 


i97<î 


Z^ 


^5 


1740 - - i'j66 
1805 -- 1909 


1805 


20 


60 


1487-- 1584 

1^89 -- ^^66 


1^31 


437 


30 


1843 -- «877 
1945 -- ao3o 


1924 


Mi 


70 


ÏI23 -- 1194 
1171-- 1351 


12-35 


û^S 


35 


1871 •- i9<^o 


1881 


X7 


75 


88» - - 885 
910 - - 917 


899 


48i 



SUR LA QUESTION DE BALISTIQUE &C* 

TABLE IIL 



<i 



Portées de Bombes du poids de i^z ^ & de it^' lo^ de diamètre^ jettées 

par une charge de poudre dej^^. 



Incfin. 



lO 



ao 



30 



40 



43 



Portées obiervées 



toï&s. 
IXI - - - X28 

249 257 



394--- 398 

4^4 • - • 44^ 



451 -^-49x 
5i(^ 537 



544 5^9 

574- 575 -577 



50^ 509 

517- 543-544 



Portée 
moyen. 


Tems 

4" 


Inclin. 

45° 


coifes. 

a39 


414 


71 

.01 


5° 
^0 


495 


5^8 


'4f 
»4 


70 
75 


514 



Portées obfèrvées. 



coifes. 

489 — 490 

505 -53^-554 



481 488 

507 ^5ia 



4x4 
457 



448 

457 



297 
349 



318 
349 



%^6 

2^5 



%6i 
198 



Portée 
moyen. 



toifes. 
515 



Tems. 



497 



447 



i^mmmmmm 



331 



270 



• î"! 



«?i 



22 



2X 



115. Il ne faut pas un examen bien rigoureux pour voir que ces ex« 
périences ne font point d'accord entr'elIeS| & qu'il en faudroit un bien plus 
grand nombre pour répandre quelque lumière fur les objets qui nous inté- 
reflènt. Tant qu'on ne trouvera pas moyen de rapprocher davantage les 
expériences les unes des autres , il n'y a que le nombre de ces réfultats qui 
puifle fuppléer à leur inexaâitude. Ainfi pour travailler d'une manière 
utile à la perfeâion de la Baliftique, il faudroit faire de cinq en cinq degrés 
cent épreuves au moins pour le même calibre ^ afin que la portée moyenne 
fous chaque inclinaifbn fut exaâe à un centième près. On obferveroît que 
tout fut égal dans ces^xpériences y même l'état de l'atmoiphere y s'il étoit 
poffible. Si les réfultats s'accordoient pour un calibre avec notre théorie, 
3 itiffiroit pour les autres calibres de faire des expériences femblables (bus 
deux inclinaifbns différences , par exemple (bus i o & fous 35 degrés. La 
théorie acheveroit les Tables pour d autres degrés d'inclinaifon* 



/ 






j-f 



DiSSBETATIOK 



Mefiire de la réjijlance Jiiivant Nevf/ton. 



116. Suppofoos avec Newton que la réfiftance d'un globe eft la 
moicié de celle qu'éprouve fon grand cercle ^ & que la réfîftance d'une fur- 
face plane eft égale au poids d'une colonne d'air qui a pour bafe la furface 
choquée, & pour hauteur la hauteur due à fa vitefTe. Nous favons que 
cette mefure réuffit aflez bien pour les petites vitefTes auxquelles Newton 
a fournis Tes globes; on peut donc s'en ièrvir jusqu'à ce qu'on en connoiflc 
un6 meilleure. Soit a le diamètre du projeâile, «^fadenfîté, <^ celle de 
Fair^ ^ le rapport de la circonférence au diamètre;; la réfiftance abfolùe fera 

é • Divifant cette quantité par la madê de globe , on aura 



X 



fr a 



la force retardatrice |- • j 



u 



que, nous avons nommée ci-dcfTu^ — -^ 



Donc k zz: \ a . p Ceft la quantité que nous avons prife pour unité 

dans nos formules. 

1 1 y. De là on pourroic déduire ce théorème de M. le Chev. de Borda : 
Si les hauteurs dues aux vitejfes de projection font comme les. diamètres des 
Boulets^ les portées fous des angles égaux feront comme ces mêmes diamètres^ 
& les trajectoires feront femblahles. 

1 18* Lorsqu'on voudra avoir égard à |a diminution de denfîté dans 
la |>artie fupérieure de la trajcâoire , on calculera grolBerement la hauteur 
du jet 1^ & on cherchera la deniité qui convient à cette hauteur. Mais 
(ans confultcr des Tables de denfité; il fuflira pour cet objet d'employer la 
formule de M. Daniel BernouUi , qui donne pour la denfîté à la hauteur P^ 



3700 



3700 + Y^ 



la deniité à l'horizon étant 1^ icY exprimant des toifes*' 



Calcul des épreuves de la Table L 



1 1^. Le diamètre du boulet étant de 5 pouces ^, & la denfîté de 
l'air étant environ ^047 fuis moindre que celle du fer fondu , on aura A: 
ZZ ^10 ^'^^. Il faut voir d'après cette unité quelles font les valeurs de k 

qui 



I r 

SUR LA QUESTION DE BALISTIQUE &C. 57 

qui peuvent donner les ampKnides obfervées. Je rejette d^abord la portée 
(bus 45^9 parce quelle cft trop éloignée des autres, & je réduis <:elles - ci 
en unités de (^lo toifes. Ainfi la portée (bus 40^ devient 3,3(^1 & la 
valeur de h qui donne cette portée eft fuivant nos Tables i o,<^8 ^ peu près* 
Calculant de même les valeurs de h qui dooneroient les autres portées | je 
trouve 

40* - - A zz 10,^8 
35 - - A zi 9,57 
30 - - A zz 8,11 

*5 - - * = 7>73 
zo - - A = 7,83 
15 - - A 1= 8,95- 
La différence de ces réfukats dent fkns doute à bien des caufès , mais prin- 

» 

cipalement à l'inexaâitude des expériences & à l'erreur qu'il peut y avoir 
dans la valeur de A:. On pourroit croire d abord qu'une partie de ces diffé- 
rences doit être attribuée à la diminution de denfîré dont nous n'avoos pas 
tenu compte*' Mais alors les valeurs de h devroient croître conrinuellemenc 
depuis 'la portée de 1 5^ jusqu'à celle de 40. Or elles commencent par dé- 
croître (enfîblefflenn 

1 1 o • Puisque la diminurion de denfité n^explique pas les différences 
que nous trouvons dans, les valeurs de h , changeons l'unité ^ &; au lieu de 



6\o toifeSi 


fuppofonsA: ~ 


: 905, 


nous trou 


degrés d'inclinaifon 








40 


- h 


= 3142- 




35 - 


- h 


= 3,18 




30 - 


- h 


— 3,01 




XS - 


- h 


iz 3,ot 


1 


20 


- h 


= 3,^3 


• 


15 - 


- h 


'=■ 3,81 



Valeurs qui s'accordent entr'elles un peu moins mal que les précédentes. 
On voie par laquelle incertitude il 7 a fur la vraie mcfure de la réfiftance & 
{vs la v2te(re de projeâion* 

H 



<8 Dissertation 

I a I • Sî dans Phypothefe de A: z= 61 o\ on prend le milieu des' va* 
leurs de h^ on trouvera k zz 8)895 m 541^^. Calculant d'après 
cette valeur les ponées fous differens degrés d'inclinaifon ^ on trouveroit des 
réfultats qui cadreroiént à peu près avec les portées obfervées^ ou du moins 
qui ne s'en écarteroient pas plus que ces portées ne s'éCartent entr'elles* 
Ceft ainfi qu'en a ufé M. Bézout dans Ton Cours d'Artillerie; mais il n'y a 
rien à conclure de ces approximations. 

I IX. En efïêt (i Ton fuppofe k ni 9 1 5^9 ce qui diminue la réfî- 
ftance d'un tiers , nous avons vu qu'on fatisfaifoit mieux aux expériences. 
Or la valeur moyenne de h qui en réfulte eft 3,3 o ou 3 o 1 9'*. Voilà donc 
la valeur de h réduite presque à la moitié, &, cette féconde hypothefè eft 
plus vraifemblable y puisqu'elle cadre mieux avec l'expérience. Dans le 
premier cas la vitcfTe initiale auroit été de 1400 pieds par féconde^ dans 
celui - ci elle n'eft plu$ que de i o 5 o. 

123. La feule conféquence que je tirerai de là, c'eft que la viteHê 
initiale d'un boulet de 24 n'eft peut-être pas auffi confidérable qu'on.l'a cru 
jusqu'à préfènt; 6c ce qui peut confirmer ce (bupçon, c'eft que l'angle de 
la plus grande portée ne paroît pas être fort au deflbus de 4 5 ^. La vîteile 
initiale étant plus petite qu'on ne la fuppofoit, on aura moins à craindre que 
la réfiftance n'augmente prodigieufement par la preiiîon de l'atmofphcre fur 
la parde antérieure du globe ^ & nos Tables s'accorderont d'autant mieux 
avec l'expérience. 

114. Je n'entrerai pas dans d'autres détails fut les expériences que 
j'ai rapportées. Celles de la Table II. ne s'accordent pas plus que celles de 
la Table I, & celles de la Table IIL qui ne font pas beaucoup plus exaâeSi 
fuppofent une viteflê initiale un peu plus pente que dans les Tables ci - après* 
Il auroit fallu prolonger celles-ci en donnant à k les valeurs o, 8| 0| (^ ôcc. 

115. Si on avoir une fuite d'expériences exaâes, voici comment 
il faudroit s^'y prendre pour les calculer* On choifiroit, par exemple, les por- 
tées fous 35 6c 10^; après avoir pris leur rapport, on chercheroit dans la 

Table la valeur de A ou de --- qui donne le métne rapport. On auroit aufS^ 



SUR LA QUESTION DB BALISTIQUE &C. 59 

c6c les valeurs abfblues de A & de k. On verroic enfuice fi ces valeurs don* 
oent les autres portées conformément à l'expérience. Mats pour plus d'ex- 
aâitude y il fau4roit tenir compte de la diminution de denfîté. Une pre«- 
miere approximation feroic connoître aflez exaâement la hauteur du jet, & 
par conféquent la quantité dont la denfité diminue à cetipe hauteur. On 
i^ercheroit donc fuivant chaque angle de projeâion la partie de l'amplitude 
qui eft due à la diminution de denfité, & retranchant cette partie de chaque 
portée obfêrvée, los reftes feroient les vraies amplitudes dans l'hypothefe 
d'une denfité confiante. On chercheroit enfiiite une nouvelle valeur de 

— qui y (àdsfity & de là réfulteroient les valeurs abfblues de hicdek beau- 

coup plus exaâement que par le premier calcul. Mais il faudroit que les 
valeurs trouvées par deux portées choifies y fatisfifTent à toutes les autres^ 
fans quoi l'hypothefe de réfiflancé qui fert de bafe à nos calculs feroit faufiè. 

Telles font les recherches que je foumets au jugement de l'Académie; 
elles auroient été plus dignes d'être préfentées à cette illuflre Compagnie, fi 
Texpérience m eût fourni des fecours fuffifans. 

Appendice. 

L Sur la trajectoire dans les milieux dont la réjîjlance ejl en partie confiante 
& en partie proportionnelle au quarré de la viteffe. 

ta ^ 

1x6^ Si la réfiflance outre la partie -— proportionnelle au quarré de 

lavîteflè, contenoit une partie confiante «^, les équations du mouvement 
feroient (3) 

dxdp ZZ — gdt^ 

dx 



Cd7) = ~(r. + "OV 



Je divife la féconde par -— . & mettant au lieu de -r- & — leurs valeurs 

-7-T — ' — r OC -77-; — ; — r, jai léquation 

V (I + />rt » V (i + ppY * ^ 

H 1 



6o DlSSBRTATXOH 

1 ép 



du 
„3 






:ant intégprée à la mamere des équations lioéaires 

H * __ (« • — I) (I + pp) 



On déterminera la confiante C par cette condition, que uzzil^ zz\^ ^gh 
lorsque p ZH tang t Cette intégrale eft donc algébrique, excepté dans le 
cas de a m o comme ci^-defTus, & dans le cas de « ZZ + x • 

117. Uéquationd Tt^') ~ — Ç"— + ^5"^ -7 P^^* ^^ 



adp 



encore mife fous la forme 

\dtj dt — a* ~ V (i +pp) 

d'où rifulce rincégraie 

^f: = (/' + K (I -h pp))" . . 

dans laquelle^ iz; Ç- — rî~7 * ^^^^ Ces deux intégrales combi- 
nées donneront 



ri 



\ cof$ J 



ê 

1 m 



I + fin tfV "^ K (€t« — ^ i 



A cofa tf 



D*où l'on pourra calculer la trajeâoire par parties, comme dans la méthode 
première (i7)* 

I a 8* Si la panie confiante de la réfîfhince étoit égale à la moitié du 
poids du corps, on auroit « ZZ 7, & Téquation précédente fe fimplifie* 
roit beaucoup; elle deviendroit 



« 



Et les valeurs féparées de d jc 2c d y (broient intégrables. 



SVK LA QVESTiOH DB BALlSTIQUS && 



^t 



I %^. On pourroîc employer ces formules pour déterminer le mbu* 
vement d'un projeâile donc la vicefle itiidale feroic de plus de i loo pieds^ 
dans rhypothefè que la réfiftance (eroit alors augmentée de toute la preffion 
de Tatmolphere fur la furface antérieure du globe. Ce fiircrolc de ré&' 
fbnœ (eroit repréfenté par (tg; il cefleroit d'avoir lieu lorsque la viteflê (eu- 
rent réduite à i xoo pieds, & alors on reprendroît les formules ordinaires. 
Au refie ces déterminations (èroient encore bien hypothétiques i^ parce 
qu'en fuppofant un vuide derrière le corps , la preffion de Tatmofphere ne 
peut pas agir lorsque l'air lui •'même eft en mouvement, comme elle agit 
lorsque Fair eft en repos, x^ parce que la viteflè du corps devenant moindre 
que 1 2 G G pieds, on ne peut pas fuppofer qu^l y ait tout d'un coup équilibre 
entre les preffions de Tacmolphere fur les deux furfaces antérieure Se pofté^ 
rieure. Ces difficultés^ feroient beaucoup moindres fi la vîtefic initiale des 
boulets étoit, Comme nous le fbupçonnons, fenfibkment au deâbus de 
celle qu'on leur attribue. Il en réfulteroitauffi que la réfiftance de Tair n'eft 
pas fi confidérable , Se ce qui peut le faire préfumer, c'efl que l'air ne pou- 
vant s'échapper latéralement en aâez grande quantité ^ iîut devant le corps^ 
& diminue la prefEon du refte de la maflè. 

n. Sur la trajectoire dans les milieux dont la denjîté à la hauteur 

/» J a + y 

1 3 G. Cette hypodieie de denfité comnent parfôtement h, l'atmo- 
fphere, furtout pour les petites hauteurs auxquelles s'élèvent les boulets; 
on fera alors a zr 3700 toiles, fi y exprime aufE des toifes (x 1 8}* Si 

dans l'équation générale kddp zz dp d s on (ùbftitue ■ au lieu de *^^ 



dpds 



dpdx V (i 4* PP)> ^'^^ 



on aura fi + — J ddp iz 
l'on nre en intégrant 

— 4C 



|L(i,+ K(i+pp)) 



H 3 



(Tv. yDlSSEIlTATXOir . . 

\ 
& la conftante fera 



a ' hcof^ê ' cof^tf 



• \ 



« 



Mail 1^=1. r—fli±i^, delàondéduic 



tt» 



(i + 7) (ï + Prt 






1+^ 



C — '^ — p V (I + pp) — L [p + V (I + pp)] 

a 

Ceft la hauteur due à' la vicefTe en un point quelconque , en prenant tou- 
jours pour unité la valeur de k au point de projeâion. 

131. Repréfentons Féquatioo trouvée par T i -f- —j -? zz — P ; 

P étant une fonétion connue de p^ on aura en féparant — ^ m — ^-^ 
donc . 

D^où il fuit que la trajeâoire peut fe conftruire par les quadratures. 

132. Nous ne nous arrêterons pas aux conféquences qu'on pourroit 
déduire de ces formules. Nous obfèrverons feulement que la hauteur h' 
due à la vitefle au fommet s'exprime fort fîmplement par la formule 

Les quantités qui y entrent font aflèz connues par ce qui précède; cependant 
nous rappellerons que la valeur de A: eft i au point de projcâion & A au fom- 
met; donc la denfîté eft i au point de projeâion 2c -— au fbmmer. Con- 

A 



M I 



noîflânt la hauteur du jet K & la denfîté au fommet —^ on connoitra a par 

l'équation A — i -| , ou vice vtrfa. Appliquant cette formule à 

l'exemple n^ i oo^ on trouvera que la valeur de A'efl d'en viron -^ plus grande 
que nous ne l'avions fuppofée alors d'après la formule du n^ ^ 8 • 



SUR I.À qVBSTION OZ AALXSTXQUB &C. 



<fî 



T A B LE S 

pour déterminer le mouvement d^un projeâile dans un milieu d^une denjité uni- 
forme ^ la réjijlance étant proportionnelle au quarré de la vitejje. 

Voyez Tart. 8 3 • 



TABLE I. h 



I. 



Ao^lc àt 


Amplitude dé U 




Hauteur dtke ^ la ▼!- 


Afliplftnde de U 
brancnc defcendante 




projtâioD 


branche afcendance 


Hauteur du jee 


teife au fommet 


AnitlHude toitl* 


5** 


o,itfoi 


OjOoyx 


0,8454 


0,1519 


0,3 X 10 


xo 


0,^93^ 


OjOzyx 


0,7117 


OyZ6j6 


0,5 ^ii 


M 


0^401^ 


0,0577 


Oy6l^6 


0,3558 


0,7588 


10 


0,49 1 9 


0,0971 


0,5330 


0,4113 


0,9 1 4* 


2^5 


o»5595 


0,143* 


0,4581 


0,47 1 1 


1,030^ 


30 


0,^078 


0*1945 


0,39*3 


0,5040 


x,ni9 


35 


0,^375 


0,2494 


0,333^ 


0,5*33 


I,I^IX 


40 


0,^507 


0,30^5 


0,1807 


0,5301 


1,1809 


45 


0,^474 


0,3^47 


0,1318 


0,5*53 


1,1717 


50 


0)^x8^ 


0,4**7 


0,189* 


0,509^ 


i,i38^ 


55 


0,55^^ 


0,4800 


0,149^ 


0,4834 


x,o8oo 


^0 


0,5514 


0,5 3 ^x 

• 


0,1x39 




0,9981 

■ 



^4 



DtSSB&TATXOir 

TABLE II. h - 



&* 



projeftioD 


Amplînide de It 
branche .«rceudance 


Hauteur du jec 


Haareur duc k la 
vtccflê au fommet 


Ampliratfe de U 
branche delcendance 


Amplitude tpute 


5*^ 


0,1579 


0,0137. 


1,47x7 


0,X7II 


0,5^91 


lO 


0,5 194^ 


0,0498 


1,1494 


0,443 X 


o,^6%6 


15 


o,<J^8^4 


o,iox8 


0,9175 


0,5^^00 


1,14^4 


lO 


0,8 MO 


0,1^85 


0,7^34 


0,^393 


1,4543 


*5 


Oy^oé^^ 


0,1445 


0,^353 


o,^94x 


x,^oo4^ 


30 


0,9 (5^7 X 


0,3x70 


0,5311 


0,7x78 


x,^949 


35 


i,ooa($^ 


0,4140 


0,4439 


0,743^ 


1,744* 


40 


1,0053 


0,5037 


0,3(^90 


0,744* 


1,7535 


45 


0,9954 


0,5943 


0,3034 


0,7311 


1,7 x^$ 


5«» 


0)9^12 


0,^847 


0,1454 


0,705 X 


1,^5^5 


55 


0,908^ 


0,7743 


0,1937 


0^66'] 


1,575^ 


60 


0,8393 


0,8*^34 


0,1475 


0,(^155 


1,4548 



TABLE III. h 



Ançle de 


Ampliniile île li 




Hauteur due )i la 


Amplitude de la 




projeAioo 


branche a(ccndante 


Hauteur du jet 


vite^Te au fommet 


branche defcetidacte 


Amptinide totale 


5o 


0,4190 


0,015^ 


1,95 ^<î 


0,3^78 


0,78^8 


10 


0,7030 


0,0^53 


1,4313 


0,5703 


i,*733 


M 


0,9053 


0,1400 


1,1117 


0,^97 5 


x,^ox8 


.10 


',0558 


0,12^5 


0,8919 


0,7800 


ï,8358 


*5 


1,1581 


0,3^38 


0,7x93 


0,8317 


1,9908 


30 


I,X1X(^ 


0,4187 


0,^0x3 


0,8^x8 


*,o854 


35 


i,x54x 


o,5385 


0,4989 


0,8743 


1,1185 


40 


1,15^7 


0,^507 


0,41x1 , 


o,8<?9<f 


1,11(^3 


45 


i,x33i 


o,7<^38 


0,337^ 


0,8501 


i,o833 


50 


i,i8<^i 


0,87(^5 


0,27x4 


0,8173 


x,oo35 


55 


1,1184 


0,9884 


0,1147 


0,7719 


1,8903 


60 


1,03x1 


1,1004 


0,1(^35 


0,71x0 


1,7441 



SUK. LA QUESTION DB BALISTIQUE &C. 

TABLE IV. h zz 



<^5 



Ai^ de 


Amplitude de U 
btanche afcendime 


Hauteur dn jet 


Hiutcur d4e > U 
vlteflè an rommét 


Amplitude âe \k 
brâocne deficendânte 


Amplitude toctto 


5' 

10 

M 

10 


0,5170 

0,8577 
i,o83^ 
1,1478 


0,015 1 

o,o8<^5 

0,1^18 
0,1747 


i,Hi3 
i,<^333 
1,1343 

0.9739 


0,4485 

o,^<^8^ 
0,7988 

0,8799 


0,9755 

1,5159 

1,8814 

1,1177 


15 
30 

35 
40 


i,355<^ 
1,410^ 

1,4491 

1,4454 


0,3891 
0,5 1 \6 

0,^389 
0,7^8^ 


0,787^ 

o,<^45 4 

0,5319 
0,4378 


0,9300 
0,9 5 ^3 
9,9(^38 
0,9545 


iii85^ 
1,37^9 

1,4119 
1,3999 


45 
50 

55 

60 


1,4133 
1,3558 

1,1759 
1,17^1 


0,8988 

i,oi83 
1,1571 

1,18^^ 


0,3577 
0,1881 
0,1171 . 

0,1730 


0,930^ 
0,8915 

0,8403 
0,7758 


1,3439 
1,1483 
1,1 \6\ 

1,9510 



TABLE V. h 



5 



An^e de 
pfbfe&ton 


Amplitude de le 
btanwe afcendante 


Hauteur du jet 


Hâuteut dtke \ la 
vîtede au ibmmet 


Amplitude de la 
braucne defeendante 


Ampiftude toéalt 


5'' 


0,^144 


0,0 3 ox 


1,(^5 44 


0,5171 


1,1415 


10 


0,9914 


0,1018 


1,7835 


0,74^^ 


i,738o 


M 


1,1341 


0,199^ 


i,3ii7 


0,8777 


1,1118 


10 


1,4074 


0,31^3 


' 1,0307 


0,95^4 


1,3^38 


15 


1,5181 


0,4449 


0,8171 


1,0034 


1,5115 


30 


1,5813 


s 0,58-18 


0,^745 


1,01^^ 


1,^089 


35 


1,(^071 


0,7233 


0,5 5 38 


1,0318 


1,^400 


40, 


1,5978 


0,8^71 


0,4547 


1,0181 


1,(^159 


45 


1,5581 


1,01 II 


0,3710 


0,9905 


1,548^ 


50 


1,491^ 


ifi543 


o,i98<^ 


0,9471 


1,4388 


55 


1,401^ 


1^x^66 


0,1351 


0,8917 


1,1 933 


60 


1,1908 


1,4400 


0,1791 


0,8117 


1,1135 



66 



Dissertation 



TABLE VL h 



Angles de 
jprojeâion 



5' 

lO 



AmpHrude de !a I 
branche afcendante | 



2.5 

30 

35 

40 



45 

50 

55 

60 



0,7131 
1,1091 

i>3<^43 
1,5440 



ly6%6l 

i,74oz 
'»7*5 5 



1,^791 

1,^048 
1,50^0 

1,3858 



Httiteur du jet 

0,0349 

0,1158 
0,1x44 

0,3530 



o»49 3 7 
0,^41^ 

0,79^3 
0,9519 



1,1075 
1,1^19 

1,4155 

1,5705 



Hauteur dUe ^ la 
vlteiTe au fommet 



&,9 1 41 
1,9000 

1,3872. 
1,0714 

0,8559 
0,^953 

0,5^95 
0,4^^8 



0,3804 
0,30(^0 
0,1409 

o,i83<^ 



6. 

Ainplicnde ^ la 1 
branche defcendante 



o,5 7<^5 

0,8 1 1 5 
0,9417 

1,01^1 



1,0588 

1,0770 

1,0831 
1,0 6^9 4 



Amplitude total* 

1,189^ 

1,910^ 
1,^0 60 
%f^6o7. 



^',7149 

*»7959 
1,8134 

2',7949 



i,o338 


1,7119 


0,9851 


1,5899 


0,9171 


1,43 3 a 


0,8^10 


1,1478 



TABLE VIL k 



Angle de 


Amplitude de la 




Hauteur dite k la 


Amplitude de ta 


• 


projeâion 


branche afcendance 


Hauteur du je» 


vlteiTe au femmet 


branche defcendance 


Amplitude cocilt 


5*^ 


o,794<^ 


6,0393 


3,1333 


0,^187 


i,42'33 


10 


1,1141 


0,1185 


1,9919 


0,9666 


1,0 8 oj 


M 


1,4790 


0,14^8 


i,438i 


0,9951 


1,4741 


ao 


i,<^<^33 


0,3841 


1,1044 


i,o<$^7o 


-1,7303 


15 


1,77(^0 


0,5390 


0,8777 


1,11 1 1 


1,8871 


30 


1,8371 


0,^9(^5 


0,7 1 1 


1,11(^7 


1,9^^3 8 


35 


1,8549 


o,8^o<^ 


0,5 8 II 


1,1157 


i,98o<^ 


40 


1,8353 


1,01(^3 


0,4758 


1,1054 


1,9407 


45 


1,7819 


1,1918 


0,3874 


1,0(^90 


1,8510 


50 


1,7017 


1,35^0 


0,3 1 1 5 


1,0147 


1,71^4 


55 


1,5951 


1,5191 


0,1451 


0,9(^19 


1,5580 


60 


1,46^^7 


1,^840 


0,18^8 


0,8900 


1,35^7 



SUJL LA QUESTION DBSALISTiqVB &C.' 



^r 



TABLE VIII. h 



8. 



An|1e de 
projeâion 


Amplitude de la 
branche afcendante 


Hauteur du jet 


1 

Hauteur due \ It 
vlteiTe au fommet 


Amplitude de U 
brakiche defcendaote 


• 

Amplitude tetile ■ 


5° 


0,8^99 


0,0435 


3,32.05 


0,^750 


1,5448 


lO 


1,3091 


0,1403 


x,o<^89 


0,9 1 40 


x,xx3i . 


M 


1,5815 


0,1^73 


1,4788 


1,0407 


x,^xx% 


ao 


1,7^91 


0,4154 


1,1x9^ 


1,1108 


x,88ox 


*5 


i,88io 


0,57^0 


0,8948 


1,1507.. 


3,032.7 


30 


1,9413 


0,7449 


o,7x3x 


1,1^54 


3,10(^7 


35 


1,9558 


0,9180 


0,5903 


1 ,1 60 5 


3,11^* 


40 


1,9317 


1,09x8 


0,4818 


1,1401^ 


3,07x3 


45 


1,8738 


i,a^^9 


0,39x8 


1,1007 


x,9745 


50 


i,78<^3 


1,4395 


0,3157 


1,0545 


M 40 8 


55 


1,^7x9 


i/xii 


0,2485 


0,9339 


xj^5 ^8 


^0 


1,5371 


1,7844 


0,1894 


0,9085 


Xi445^ 



TABLE IX. h 



Angle de 


Amplitude de U' 


p 


Hauteur dite ^ la 


Amplitude de la 


% 


pro)ccUon 


branche afcendante 


Hauteur du jet 


vite^e- au fommet 


branche defcendante 


Amplitude totale 


5° 


0,9399 


0,0475 


3*4814 


0,7 1 6ûc 


i,<^5^3 


10» 


1,3957 


0,1511 


x,i3io 


0,955^ 


1,35 ï3 


M 


1,^741 


o,x8^i . 


1,51x1 


i,o8ox 


2.,7543 


xo 


i,8<^45 


0,44x5 


1,1500 


1,1483 


3,0118 


2-5 


1,9770 


0,^115 


0,9085 


i,i855 


3,1^x5 


30 


1,0344 


0,7887 


0,7331 


1,1990 


3,2-333 


35 


1,0457 


0,9700 


o,597<J 


1,1931 


3,1388 


40 


1,0175 


1,15x7 


0,4884 


1,1700 


3,1875 


45 


1,9547 


1,334^ 


0,397* 


«,1313 


3,08^0 


50 


1,8^15 


1,5147 


0,3191 


1,0785 


2,9400 


55 


1,7418 


1,^937 


0,1511 


I,OIIX 


*,75 3o 


60 


1,5994 


1,8745 


0,1914 


l 0,9197 


x,5X9i 



I X 



ié 



AbéU d« 


Ampl 
tomcJb 


J° 


i,c 


lO 


I.^ 


• 


ï»^ 


ao 


ï»5 


x5 


*,<: 


30 


a,i 


35 


1,1 



40 

45 
50 
55 



x,c 



'M«ai^ 



/ 1 V, 



«A''